导数与微分的概念

§2.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.13 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

21.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限函数的连续性与间断点③ 掌握后可解锁求导法则（四则、复合、反函数）微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）洛必达法则函数的单调性与极值不定积分的概念与性质偏导数全微分

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 可导 $\Leftrightarrow$ 可微，二者都强于连续：为什么可导必连续，而连续未必可导★★ 必会

对一元函数来说，可导与可微是同一回事：

Δ y = A Δ x + o (Δ x)

中的

A

就等于

f^{'} (x_{0})

，因此

d y = f^{'} (x_{0}) d x

。二者都强于连续，即可导（可微）

\Rightarrow

连续，但反过来并不成立。这一蕴涵关系只能单向使用，判断分段点处以及抽象函数的可导性时都以它为依据：如果函数在某点不连续，那么它在该点必不可导，不必再去计算左右导数。

证明 / 推导

可导 $\Rightarrow$ 连续. 设

f^{'} (x_{0})

存在，则

Δ x \to 0 lim Δ y = Δ x \to 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} \cdot Δ x = f^{'} (x_{0}) \cdot 0 = 0,

于是

lim_{Δ x \to 0} f (x_{0} + Δ x) = f (x_{0})

，这就是说

f

在

x_{0}

处连续。

■

举例说明

逆命题的两类反例.
（i）

f (x) = ∣ x ∣

在

0

处连续，但

f_{-}^{'} (0) = - 1 \neq = f_{+}^{'} (0) = 1

，所以不可导，此时图像有尖角。
（ii）

f (x) = 3 x

在

0

处连续，

f^{'} (x) = \frac{1}{3} x^{- 2/3} \to + \infty

，切线为竖直方向，导数为

\infty

，它不是有限数，所以也不可导。
由此可见，连续并不足以保证可导，还要求曲线是光滑的，即既没有尖角，也没有竖直切线。

2. 分段点处求导的两个步骤与导数极限定理：何时可以用 $lim f^{'} (x)$ 代替 $f^{'} (x_{0})$ ★★ 必会

判断分段函数在分界点

x_{0}

处是否可导，标准做法分两步：先验证函数在该点连续，如果不连续就必不可导；再验证左导数 $=$ 右导数。
常用的另一条途径是导数极限定理：设

f

在

x_{0}

处连续，且在

x_{0}

的某个去心邻域内可导，如果

lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x) = A

存在，那么

f^{'} (x_{0})

存在，且

= A

。有了它，就可以对两段的导函数分别取极限来求分界点处的导数，但必须以这个极限存在为前提。如果

lim f^{'} (x)

不存在，并不能由此断定

f^{'} (x_{0})

不存在，下面的反例说明了这一点。

证明 / 推导

导数极限定理的证明. 取

x_{0}

右侧的点

x

。由假设，

f

在

[x_{0}, x]

上连续，在

(x_{0}, x)

内可导，根据拉格朗日中值定理，存在

ξ \in (x_{0}, x)

，使

\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = f^{'} (ξ) .

当

x \to x_{0}^{+}

时有

ξ \to x_{0}^{+}

，因而上式右端

\to A

，于是

f_{+}^{'} (x_{0}) = A

。对左侧作同样的讨论，得

f_{-}^{'} (x_{0}) = A

。左右导数相等，所以

f^{'} (x_{0}) = A

。

■

举例说明

正例（定理可用）. 函数

f (x) = {e^{x}, 1 + sin x, x \leq 0 x > 0

在

0

处连续，因为两侧的极限值都是

1

。又

f^{'} (x) = e^{x} (x < 0) \to 1

，

f^{'} (x) = cos x (x > 0) \to 1

，两个极限都存在而且相等，所以

f^{'} (0) = 1

。
反例（定理不可用）. 设

f (x) = {x^{2} sin \frac{1}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0

。按定义算得

f^{'} (0) = lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0

，导数存在；但当

x \neq = 0

时

f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}

，它在

x \to 0

的过程中振荡而没有极限。这说明

lim f^{'} (x)

不存在并不能否定

f^{'} (0)

的存在，定理只能按原来的方向使用。

3. 把式子凑成导数定义的形状：求抽象函数极限的基本方法★★ 必会

有一类题目只给出

f

在

x_{0}

处可导以及

f^{'} (x_{0})

的值，却要求某个含

f

的极限。基本做法是把所给式子凑成导数定义的形状

\frac{f ( x _{0} + □ ) - f ( x _{0} )}{□}

，其中

□ \to 0

，再用

lim = f^{'} (x_{0})

求值。这里要注意：分子上两个自变量增量之差，应当借助

f (x_{0})

拆成两项补齐，每一项再配上相应的分母，而增量的倍数则作为系数提到外面。

证明 / 推导

证. 设

f

在

x_{0}

处可导，

a, b

为常数。下面证明一般的公式

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} + bh )}{h} = (a - b) f^{'} (x_{0}) .

在分子中插入

f (x_{0})

，把它拆成两项，得

\frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} + bh )}{h} = \frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} )}{h} - \frac{f ( x _{0} + bh ) - f ( x _{0} )}{h} .

先看第一项。如果

a \neq = 0

，那么当

h \neq = 0

时

\frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} )}{h} = a \cdot \frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} )}{ah} .

令

t = ah

，则

h \to 0

时

t \to 0

且

t \neq = 0

。由导数的定义，

t \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + t ) - f ( x _{0} )}{t} = f^{'} (x_{0})

。因此第一项趋于

a f^{'} (x_{0})

。如果

a = 0

，那么第一项恒等于

0

，而

a f^{'} (x_{0}) = 0

，结论仍然成立。第二项的讨论与此相类似，它趋于

b f^{'} (x_{0})

。两个极限都存在，由差的极限运算法则，得

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} + bh )}{h} = a f^{'} (x_{0}) - b f^{'} (x_{0}) = (a - b) f^{'} (x_{0}) .

这就证明了所述的公式。式中的系数

a - b

只由两个增量的倍数决定。
反过来不成立. 上式的极限存在，并不能推出

f

在

x_{0}

处可导。事实上，取

f (x) = ∣ x ∣

，

x_{0} = 0

，

a = 1

，

b = - 1

。当

h \neq = 0

时

f (h) - f (- h) = ∣ h ∣ - ∣ - h ∣ = 0

，故该极限存在且为

0

。但

f_{+}^{'} (0) = 1

，

f_{-}^{'} (0) = - 1

，左右导数不相等，

f

在

0

处不可导。由此可见，可导是题设给出的条件，不能由极限的存在反推出来。

■

举例说明

例. 设

f^{'} (x_{0}) = A

，求

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + 2 h ) - f ( x _{0} - h )}{h}

。
解. 在分子中插入

f (x_{0})

，把原式拆成两项：

\frac{f ( x _{0} + 2 h ) - f ( x _{0} )}{h} + \frac{f ( x _{0} ) - f ( x _{0} - h )}{h} .

第一项

= 2 \cdot \frac{f ( x _{0} + 2 h ) - f ( x _{0} )}{2 h} \to 2 A

；第二项

= \frac{f ( x _{0} - h ) - f ( x _{0} )}{- h} \to A

。因此原极限

= 2 A + A = 3 A

。

■

必须注意：直接写成

[f (x_{0} + 2 h) - f (x_{0} - h)] / h \to f^{'} (x_{0})

是错误的，应当按增量的倍数配上系数。

4. 微分 $d y$ 与增量 $Δ y$ ：以直代曲的线性近似及其误差★ 要懂

Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})

是曲线上纵坐标的真实改变量，

d y = f^{'} (x_{0}) Δ x

则是沿切线移动所产生的改变量。二者之差为

o (Δ x)

，它是比

Δ x

高阶的无穷小。由此得到近似公式

f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x,

∣Δ x ∣

越小，这个近似就越精确。这就是以直代曲的思想，也是泰勒公式只保留一次项时的情形。记号不要混淆：

d y = f^{'} (x_{0}) d x

，不能把

d y

当作

Δ y

。

证明 / 推导

证. 设

f

在点

x_{0}

处可导。
① 先证切线带来的误差是

Δ x

的高阶无穷小。当

Δ x \neq = 0

时，令

α = \frac{Δ y}{Δ x} - f^{'} (x_{0}) .

由导数的定义，

lim_{Δ x \to 0} α = 0

。把上式移项，得

Δ y = f^{'} (x_{0}) Δ x + α Δ x

，即

Δ y - d y = α Δ x

。又

Δ x \to 0 lim \frac{α Δ x}{Δ x} = Δ x \to 0 lim α = 0,

所以

α Δ x = o (Δ x)

。于是

Δ y = d y + o (Δ x)

。
② 再证具有这一性质的直线只有切线一条。设直线过点

(x_{0}, f (x_{0}))

，方程为

y = f (x_{0}) + A (x - x_{0})

，其中

A

为常数。它在

x_{0} + Δ x

处给出的增量是

A Δ x

。如果

Δ y = A Δ x + o (Δ x)

，那么当

Δ x \neq = 0

时两端同除以

Δ x

，得

\frac{Δ y}{Δ x} = A + \frac{o ( Δ x )}{Δ x} .

令

Δ x \to 0

，右端第二项趋于

0

。因此

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = A

，即

f

在

x_{0}

处可导，且

A = f^{'} (x_{0})

。反过来，如果取

A \neq = f^{'} (x_{0})

，那么误差为

Δ y - A Δ x = (f^{'} (x_{0}) - A) Δ x + o (Δ x),

其中首项与

Δ x

同阶。这时误差不再是

Δ x

的高阶无穷小。由此可见，只有切线能使误差成为

Δ x

的高阶无穷小。这就是以直代曲必须取切线的原因。
③ 最后说明记号

d y = f^{'} (x_{0}) d x

的由来。对函数

y = x

使用微分的定义。此时

y^{'} = 1

，故

d y = 1 \cdot Δ x = Δ x

。而这里的

y

就是

x

，所以

d x = Δ x

。可见自变量的微分等于它自身的增量。于是

d y = f^{'} (x_{0}) Δ x

可以写成

d y = f^{'} (x_{0}) d x

，两端除以

d x

便得

\frac{d y}{d x} = f^{'} (x_{0})

。这就证明了

\frac{d y}{d x}

不只是导数的一个记号。它确实是两个微分之商。导数因此也称为微商。

■

举例说明

例. 估计

ln 1.01

的值，并说明误差的方向。
解. 取

f (x) = ln x, x_{0} = 1, Δ x = 0.01

，则

f^{'} (1) = 1

，故

ln 1.01 \approx 0 + 1 \times 0.01 = 0.01

。
由于

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \dots < x

，可知近似值

0.01

略大于真值，真值约为

0.00995

。误差的量级是

- \frac{( 0.01 ) ^{2}}{2} \approx - 5 \times 1 0^{- 5}

，即上面所说的

o (Δ x)

。

■

💡 小知识

莱布尼茨发明的

\frac{d y}{d x}

记号故意写成分数的模样，牛顿则在字母上加一点，写作

\overset{y}{˙}

。两套记号背后，是两位巨人围绕微积分发明权的世纪之争。至于

0/0

这个悖论何时才被真正说清楚，还要再等一百多年，直到柯西和魏尔斯特拉斯用极限把无穷小讲明白。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用导数定义求

f (x) = 2 x^{2} - x

在

x = 1

处的导数

f^{'} (1)

。难度 1

按定义

f^{'} (1) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( 1 + Δ x ) - f ( 1 )}{Δ x} .

先算

f (1) = 2 \cdot 1^{2} - 1 = 1

，再算

f (1 + Δ x) = 2 (1 + Δ x)^{2} - (1 + Δ x) = 1 + 3Δ x + 2 (Δ x)^{2} .

故

f^{'} (1) = Δ x \to 0 lim \frac{3Δ x + 2 ( Δ x ) ^{2}}{Δ x} = Δ x \to 0 lim (3 + 2Δ x) = 3.

（可用公式验证：

f^{'} (x) = 4 x - 1

，

f^{'} (1) = 3

。）

例 2 求曲线

y = ln x

在点

(1, 0)

处的切线方程与法线方程。难度 1

先求斜率：

y^{'} = \frac{1}{x}

，故

k = y^{'}_{x = 1} = 1

。
切线过

(1, 0)

，斜率

1

：

y - 0 = 1 \cdot (x - 1) ⟹ y = x - 1.

法线斜率为

- \frac{1}{k} = - 1

：

y - 0 = - 1 \cdot (x - 1) ⟹ y = - x + 1.

例 3 设

f (x) = {e^{x}, a x + b, x \leq 0, x > 0,

问常数

a, b

取何值时

f

在

x = 0

处可导。难度 2

第一步：连续。 可导必先连续，要求左、右极限与函数值相等：

x \to 0^{-} lim e^{x} = 1 = f (0), x \to 0^{+} lim (a x + b) = b ⟹ b = 1.

第二步：左、右导数相等。

f_{-}^{'} (0) = (e^{x})^{'}_{0} = 1, f_{+}^{'} (0) = (a x + b)^{'}_{0} = a .

可导要求

f_{-}^{'} (0) = f_{+}^{'} (0)

，即

a = 1

。
综上

a = 1, b = 1

。

例 4 利用微分求

4.02

的近似值。难度 2

取

f (x) = x

，则

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}

。以

x_{0} = 4, Δ x = 0.02

，由线性近似公式

f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x

：

4.02 \approx f (4) + f^{'} (4) \times 0.02 = 2 + \frac{1}{4} \times 0.02 = 2.005.

（真值约

2.004994

，误差是比

Δ x

更高阶的无穷小。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数二 · 第 7 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

连续，给出下列四个条件：

①

x \to 0 lim \frac{∣ f ( x ) ∣ - f ( 0 )}{x}

存在；　②

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - ∣ f ( 0 ) ∣}{x}

存在；

③

x \to 0 lim \frac{∣ f ( x ) ∣}{x}

存在；　④

x \to 0 lim \frac{∣ f ( x ) ∣ - ∣ f ( 0 ) ∣}{x}

存在。

其中能得到「

f (x)

在

x = 0

处可导」的条件个数是（　　）

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

2025 年 · 数二 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x)

在

x = 0

处连续，且

x \to 0 lim \frac{x f ( x ) - e ^{2 s i n x} + 1}{ln ( 1 + x ) + ln ( 1 - x )} = - 3

，证明

f (x)

在

x = 0

处可导，并求

f^{'} (0)

。

2024 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设函数

y = f (x)

由参数方程

{x = 1 + t^{3} y = e^{t^{2}}

确定，则

x \to + \infty lim x [f (2 + \frac{2}{x}) - f (2)] =

（　　）

A $2 e$
B $\frac{4 e}{3}$
C $\frac{2 e}{3}$
D $\frac{e}{3}$

2023 年 · 数二 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设函数

y = f (x)

由

{x = 2 t + ∣ t ∣, y = ∣ t ∣ sin t

确定，则（　　）

A $f (x)$ 连续， $f^{'} (0)$ 不存在
B $f^{'} (0)$ 存在， $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续
C $f^{'} (x)$ 连续， $f^{''} (0)$ 不存在
D $f^{''} (0)$ 存在， $f^{''} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

f (x)

在

x_{0}

处可导，且

f^{'} (x_{0}) = 2

，则

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} - h ) - f ( x _{0} )}{h} =

（　）

A $2$
B $- 2$
C $1$
D $- 1$

练习 2 · 选择题

下列函数在

x = 0

处不可导的是（　）

A $x ∣ x ∣$
B $x^{2}$
C $∣ x ∣$
D $x^{4/3}$

练习 3 · 填空题

曲线

y = e^{x}

在

x = 0

处的切线方程为 ____。

练习 4 · 填空题

设

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4)

，则

f^{'} (1) =

____。

练习 5 · 填空题

设

f (x)

在

x = 1

处可导且

f^{'} (1) = 2

，则

x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x ^{2} - 1} =

____。

练习 6 · 选择题

设

f (x) = (x^{2} - x - 2) x^{3} - x

，则

f (x)

的不可导点的个数为（　）

A $0$
B $1$
C $2$
D $3$

练习 7 · 填空题

设

f (x)

在

x = 0

处可导，且

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - 2 f ( 2 x )}{x} = 3

，则

f^{'} (0) =

____。

练习 8 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}, a x + b, x > 0, x \leq 0.

问常数

a, b

取何值时

f (x)

在

x = 0

处可导？并求此时的

f^{'} (0)

。

2022 年 · 数二 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

f (x)

在

x = 1

处可导，且

x \to 0 lim \frac{f ( e ^{x^{2}} ) - 3 f ( 1 + sin ^{2} x )}{x ^{2}} = 2

，求

f^{'} (1)

。

2021 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{e ^{x} - 1}{x}, 1, x \neq = 0, x = 0

，在

x = 0

处（　　）

A连续且取极大值
B连续且取极小值
C可导且导数等于 $0$
D可导且导数不为 $0$

导数与微分的概念

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 可导 ⇔ 可微，二者都强于连续：为什么可导必连续，而连续未必可导★★ 必会

2. 分段点处求导的两个步骤与导数极限定理：何时可以用 limf′(x) 代替 f′(x0​)★★ 必会

3. 把式子凑成导数定义的形状：求抽象函数极限的基本方法★★ 必会

4. 微分 dy 与增量 Δy：以直代曲的线性近似及其误差★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 可导 $\Leftrightarrow$ 可微，二者都强于连续：为什么可导必连续，而连续未必可导★★ 必会

2. 分段点处求导的两个步骤与导数极限定理：何时可以用 $lim f^{'} (x)$ 代替 $f^{'} (x_{0})$ ★★ 必会

4. 微分 $d y$ 与增量 $Δ y$ ：以直代曲的线性近似及其误差★ 要懂