求导法则（四则、复合、反函数）

§2.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.98 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

13.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）导数与微分的概念③ 掌握后可解锁隐函数与参数方程求导高阶导数不定积分的概念与性质换元积分法与分部积分法多元复合函数求导法则

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 乘积法则为什么是 $u^{'} v + u v^{'}$ ，以及它到三个因子的推广

乘积的导数并不是两个导数相乘，而是依次对其中一个因子求导，其余因子保持不动，再把各项相加。按照这一结构可以直接推广：

(uv w)^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + uv w^{'}

；对于

n

个因子的情形也与此相类似。从几何上看，边长为

u, v

的矩形，当边长有增量时，面积的增量主要来自两个长条

v Δ u

与

u Δ v

，而角上的小矩形

Δ u Δ v

是高阶无穷小。

证明 / 推导

证. 记

Δ u = u (x + Δ x) - u (x)

，

Δ v = v (x + Δ x) - v (x)

，也就是

u (x + Δ x) v (x + Δ x) = u (x) + Δ u, = v (x) + Δ v .

代入定义直接展开：

Δ (uv) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x) = [u (x) + Δ u] [v (x) + Δ v] - u (x) v (x) = Δ u \cdot v (x) + u (x) \cdot Δ v + Δ u Δ v .

两边除以

Δ x

，再令

Δ x \to 0

。这时前两项

\to u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

；

v

可导必连续，故

Δ v \to 0

，末项

\frac{Δ u Δ v}{Δ x} = \frac{Δ u}{Δ x} Δ v \to u^{'} (x) \cdot 0 = 0

。简记

u = u (x)

，

v = v (x)

，这就是

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

。对于三个因子，只要写成

uv w = (uv) w

，再用一次上述法则即得。

■

2. 链式法则：由外向内逐层求导，抽象函数的复合是考查的重点★★ 必会

设

y = f (g (x))

，则它的导数

= f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

。也就是说，先把外层函数作为一个整体求导，再乘以内层函数的导数；复合的层数更多时，就逐层相乘。这一法则的直观来源是

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x}

，即变化率相乘。试题中常常只给出抽象函数

f

，考查的重点在于能否带出内层的导数，并且把内层的值代对。

证明 / 推导

要点推导. 设

u = g (x)

在

x

处可导，

y = f (u)

在

u = g (x)

处可导。当

Δ x \to 0

时有

Δ u \to 0

，于是

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x} \to f^{'} (u) \cdot g^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .

（严格的证明还要讨论

Δ u = 0

的情形，改用增量式

Δ y = f^{'} (u) Δ u + o (Δ u)

即可避开，结论不变。）

■

举例说明

例. 设

f

可导，

F (x) = f (x^{2})

，已知

f^{'} (4) = 3

，求

F^{'} (2)

。
解.

F^{'} (x) = f^{'} (x^{2}) \cdot (x^{2})^{'} = 2 x f^{'} (x^{2})

。以

x = 2

代入，得

F^{'} (2) = 2 \cdot 2 \cdot f^{'} (4) = 4 \times 3 = 12

。
易错：内层应当代

x^{2} = 4

，而不是

2

；此外，因子

2 x

也不能遗漏。

■

3. 反函数的求导法则，以及由它导出反三角函数的导数★ 要懂

设

y = f (x)

单调可导，且

f^{'} (x) \neq = 0

，那么它的反函数

x = f^{- 1} (y)

也可导，并且

[f^{- 1} (y)]^{'} = \frac{1}{f ^{'} ( x )}

，即

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x}

。从几何上看，这就是切线的斜率取倒数，所以结论是自然的。由这个法则可以导出

arcsin, arctan

等函数的导数，不必强记公式。

证明 / 推导

证（以 $arcsin$ 为例）. 设

y = arcsin x

，即

x = sin y, y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

。在这一区间上

cos y \geq 0

。由反函数的求导法则，

(arcsin x)^{'} = \frac{1}{( sin y ) ^{'}} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{1 - sin ^{2} y} = \frac{1}{1 - x ^{2}} .

与此相类似，由

x = tan y

可得

(arctan x)^{'} = \frac{1}{sec ^{2} y} = \frac{1}{1 + tan ^{2} y} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

。

■

4. 对数求导法：幂指函数为何不能只按其中一种方式求导★★ 必会

对于幂指函数

u (x)^{v (x)}

，以及由连乘、连除和根式构成的复杂函数，先取对数再求导最为简便。幂指函数

u^{v}

既不能按幂函数求导（

v u^{v - 1} u^{'}

），也不能按指数函数求导（

u^{v} ln u \cdot v^{'}

），原因在于底数与指数同时在变，上面两种写法各自只顾及了一半。取对数，这等价于写成

u^{v} = e^{v l n u}

，就能把这两方面一次求导完毕。

证明 / 推导

通用公式. 设

y = u^{v} = e^{v l n u}

，则

y^{'} = e^{v l n u} (v^{'} ln u + v \cdot \frac{u ^{'}}{u}) = u^{v} (v^{'} ln u + \frac{v u ^{'}}{u}) .

由此可见，所得结果恰好是按指数函数求导的一项与按幂函数求导的一项之和。因此这两项缺一不可。

■

举例说明

例. 求

y = (sin x)^{x} (0 < x < π)

的导数。
解. 两边取对数，得

ln y = x ln sin x

。再对两边求导，

\frac{y ^{'}}{y} = ln sin x + x \cdot \frac{cos x}{sin x} = ln sin x + x cot x .

因此

y^{'} = (sin x)^{x} (ln sin x + x cot x)

。

■

💡 小知识

链式法则

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

看上去像是把分数里的

d u

约掉了。莱布尼茨记号的巧妙就在这里，它像一个会骗人却总说真话的谎言：形式上是约分，实际做的是两个变化率相乘。正因如此，物理里换元、换单位的时候，才能放心地上下一约。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

y = x^{2} ln x

的导数。难度 1

用乘积法则

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

，取

u = x^{2}, v = ln x

：

y^{'} = (x^{2})^{'} ln x + x^{2} (ln x)^{'} = 2 x ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x ln x + x .

例 2 求

y = (2 x + 1)^{10}

的导数。难度 1

这是复合函数，外层幂函数、内层

2 x + 1

。由链式法则「外层求导

\times

内层求导」：

y^{'} = 10 (2 x + 1)^{9} \cdot (2 x + 1)^{'} = 10 (2 x + 1)^{9} \cdot 2 = 20 (2 x + 1)^{9} .

（切记带出内层导数

2

，否则会漏系数。）

例 3 求

y = \frac{x}{1 + x ^{2}}

的导数。难度 2

用商法则，分子

u = x

，分母

v = (1 + x^{2})^{1/2}

，

v^{'} = \frac{x}{1 + x ^{2}}

：

y^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{1 + x ^{2} - x \cdot \frac{x}{1 + x ^{2}}}{1 + x ^{2}} .

分子通分：

\frac{( 1 + x ^{2} ) - x ^{2}}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

。故

y^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2} ( 1 + x ^{2} )} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} .

例 4 用对数求导法求

y = x^{x} (x > 0)

的导数。难度 2

幂指函数两边取对数：

ln y = x ln x

。两边对

x

求导（左边

y

是

x

的函数，用链式法则）：

\frac{y ^{'}}{y} = ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1.

故

y^{'} = y (ln x + 1) = x^{x} (ln x + 1) .

（

x^{x}

既不能写成

x \cdot x^{x - 1}

，也不能写成

x^{x} ln x

——必须取对数让底数与指数同时被求导。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{1}^{x^{3}} \frac{e ^{t}}{1 + t ^{2}} d t

，

f

的反函数为

g

，则（　　）

A $g (0) = 1, g^{'} (0) = \frac{3}{2} e$
B $g (0) = 1, g^{'} (0) = \frac{2}{3 e}$
C $g (1) = 0, g^{'} (1) = \frac{3}{2} e$
D $g (1) = 0, g^{'} (1) = \frac{2}{3 e}$

2021 年 · 数二 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速度分别为

2 cm/s

，

- 3 cm/s

，当底面半径为

10 cm

、高为

5 cm

时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速度分别为（　　）

A $125 π cm^{3} / s$ ， $40 π cm^{2} / s$
B $125 π cm^{3} / s$ ， $- 40 π cm^{2} / s$
C $- 100 π cm^{3} / s$ ， $40 π cm^{2} / s$
D $- 100 π cm^{3} / s$ ， $- 40 π cm^{2} / s$

2019 年 · 数二 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

f (x) = {x^{2 x}, x e^{x} + 1, x > 0, x \leq 0,

求

f^{'} (x)

，并求

f (x)

的极值。

2016 年 · 数二 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

已知动点

P

在曲线

y = x^{3}

上运动，记坐标原点与点

P

间的距离为

l

。若点

P

的横坐标对时间的变化率为常数

v_{0}

，则当点

P

运动到点

(1, 1)

时，

l

对时间的变化率是 ___。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

\frac{d}{d x} sin 2 x =

（　）

A $cos 2 x$
B $2 cos 2 x$
C $- 2 cos 2 x$
D $2 sin 2 x$

练习 2 · 选择题

设

y = e^{x^{2}}

，则

y^{'} =

（　）

A $e^{x^{2}}$
B $2 x e^{x^{2}}$
C $x^{2} e^{x^{2}}$
D $2 e^{x^{2}}$

练习 3 · 填空题

\frac{d}{d x} ln (cos x) =

____。

练习 4 · 填空题

设

y = x^{x} (x > 0)

，则

y^{'}_{x = 1} =

____。

练习 5 · 填空题

设

f (x) = arctan 2 x

，则

f^{'} (0) =

____。

练习 6 · 选择题

设

f (x) = x^{3} - x g (x)

，其中

g (x)

在

x = 0

处连续，则

f (x)

在

x = 0

处可导的充分必要条件是（　　）。

A $g (x)$ 在 $x = 0$ 处可导
B $g^{'} (0) = 0$
C $g (0) = 1$
D $g (0) = 0$

练习 7 · 填空题

设

y = \frac{( x - 1 ) 3 x + 2}{( x + 3 ) ^{2} e ^{x}} (x > 1)

，则

\frac{y ^{'}}{y} =

____。

练习 8 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{ln ( 1 + 2 x )}{x}, a + b x, x > 0, x \leq 0.

(1) 求

a

，使

f (x)

在

x = 0

处连续；

(2) 在 (1) 的基础上求

b

，使

f (x)

在

x = 0

处可导，并求

f^{'} (0)

；

(3) 写出

x > 0

时

f^{'} (x)

的表达式，并判断

f^{'} (x)

在

x = 0

处是否连续。

2013 年 · 数二 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (x) = \int_{- 1}^{x} 1 - e^{t} d t

，则

y = f (x)

的反函数

x = f^{- 1} (y)

在

y = 0

处的导数

\frac{d x}{d y}_{y = 0} =

___。

2012 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)

，其中

n

为正整数，则

f^{'} (0) =

（　　）

A $(- 1)^{n - 1} (n - 1)!$
B $(- 1)^{n} (n - 1)!$
C $(- 1)^{n - 1} n!$
D $(- 1)^{n} n!$

求导法则（四则、复合、反函数）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 乘积法则为什么是 u′v+uv′，以及它到三个因子的推广

2. 链式法则：由外向内逐层求导，抽象函数的复合是考查的重点★★ 必会

3. 反函数的求导法则，以及由它导出反三角函数的导数★ 要懂

4. 对数求导法：幂指函数为何不能只按其中一种方式求导★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 乘积法则为什么是 $u^{'} v + u v^{'}$ ，以及它到三个因子的推广