隐函数与参数方程求导

§2.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

3.15 分/卷近 11 年平均

10/11 年出现年份

4.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁曲率与曲率半径、曲率圆多元隐函数求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 隐函数求导为什么是合法的，以及怎样接着求二阶导数★★ 必会

既然

F (x, y (x)) \equiv 0

在区间上是恒等式，两边就是

x

的同一个函数，因此它们的导数相等。求导时只需注意

y

是

x

的函数，凡含

y

的项都要带出

y^{'}

。求二阶导数时，把已经求得的

y^{'}

的表达式再对

x

求导；其中遇到

y^{'}

就代入一阶导数的结果，遇到

y

仍要带出

y^{'}

。

证明 / 推导

范例推导： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的 $y^{''}$ . 先求一阶导数：

2 x + 2 y y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y}

。再对

y^{'} = - \frac{x}{y}

求导，这里要用商法则，并且

y

要带出

y^{'}

：

y^{''} = - \frac{1 \cdot y - x \cdot y ^{'}}{y ^{2}} = - \frac{y - x ( - \frac{x}{y} )}{y ^{2}} = - \frac{y + \frac{x ^{2}}{y}}{y ^{2}} = - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{y ^{3}} .

最后利用约束条件

x^{2} + y^{2} = 1

，得

y^{''} = - \frac{1}{y ^{3}}

。

■

求隐函数的二阶导数时，末了代回原方程加以化简，是常用的一步。

2. 参数方程二阶导数的正确公式，以及最容易出错的一步★★ 必会

参数式

{x = φ (t) y = ψ (t)

的一阶导数

\frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )}

仍然是

t

的函数。求二阶导数时，不能写成

\frac{y ¨}{x ¨}

。正确的做法是把一阶导数看作

t

的新函数，再用一次参数求导公式，也就是再除以一次 $φ^{'} (t)$ 。每求一次导数就要除一次

φ^{'}

，这一点必须遵守。

证明 / 推导

公式推导. 记

g (t) = \frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'}}{φ ^{'}}

，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} g (t) = \frac{d g / d t}{d x / d t} = \frac{1}{φ ^{'}} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{ψ ^{'}}{φ ^{'}}) = \frac{ψ ^{''} φ ^{'} - ψ ^{'} φ ^{''}}{( φ ^{'} ) ^{3}} .

分母中出现

(φ^{'})^{3}

，其中一个方次来自商法则，另一个来自再除以

φ^{'}

。由分母的方次即可判断结果是否正确。

■

举例说明

例.

{x = cos t y = sin t

（上半单位圆，

t \in (0, π)

），求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。
解. 先求一阶导数

\frac{d y}{d x} = \frac{cos t}{- sin t} = - cot t

。再除以

\frac{d x}{d t} = - sin t

，得

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{( - cot t ) _{t}^{'}}{- sin t} = \frac{csc ^{2} t}{- sin t} = - \frac{1}{sin ^{3} t} .

■

3. 相关变化率：以时间为自变量的隐函数求导★ 要懂

设几个变量都随时间

t

变化，并且受同一个约束关系

F (x, y) = 0

的限制。把关系式两边对

t

求导，就得到各变化率之间的联系。这仍然是隐函数求导，只不过自变量换成了

t

。求解的步骤是：①写出约束关系；②两边对

t

求导，得到各变化率所满足的方程；③代入某一时刻的具体数值求解。

举例说明

例（下滑的梯子）. 长

5

m 的梯子靠在墙上，底端离墙

x

，顶端高

y

，二者满足

x^{2} + y^{2} = 25

。底端以

\frac{d x}{d t} = 1

m/s 的速度离墙移动，求

x = 3

m 时顶端下滑的速度。
解. 这时

y = 25 - 9 = 4

。把

x^{2} + y^{2} = 25

两边对

t

求导，得

2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} = 0

，于是

\frac{d y}{d t} = - \frac{x}{y} \frac{d x}{d t} = - \frac{3}{4} \times 1 = - \frac{3}{4} m/s .

负号表示

y

在减小，即顶端以

\frac{3}{4}

m/s 的速度下滑。

■

4. 隐式曲线与参数曲线的切线和法线★★ 必会

不论曲线由隐式方程还是由参数方程给出，只要求得斜率

k = y^{'}_{P}

，就有切线

y - y_{0} = k (x - x_{0})

，法线

y - y_{0} = - \frac{1}{k} (x - x_{0})

（这里

k \neq = 0

）。对参数方程，点

P

对应某个参数值

t_{0}

，斜率取

\frac{ψ ^{'} ( t _{0} )}{φ ^{'} ( t _{0} )}

。如果

φ^{'} (t_{0}) = 0

而

ψ^{'} (t_{0}) \neq = 0

，那么该点处出现竖直切线

x = x_{0}

，需要单独讨论。

举例说明

例. 星形线

{x = cos^{3} t y = sin^{3} t

，求

t = \frac{π}{4}

处的切线方程。
解. 由参数求导公式得

\frac{d y}{d x} = \frac{3 sin ^{2} t cos t}{- 3 cos ^{2} t sin t} = - tan t

，在

t = \frac{π}{4}

处

k = - 1

。切点为

(cos^{3} \frac{π}{4}, sin^{3} \frac{π}{4}) = (\frac{2}{4}, \frac{2}{4}) .

故切线为

y - \frac{2}{4} = - 1 (x - \frac{2}{4})

，即

x + y = \frac{2}{2}

。

■

💡 小知识

隐函数求导让我们能给那些解不出来的曲线求切线。笛卡尔叶形线

x^{3} + y^{3} = 3 a x y

曾难倒早期的几何学家，因为它没法整体写成

y = f (x)

的样子；而用隐函数求导，两步就能得到任意一点的切线斜率。费马与笛卡尔当年那场切线之争，技术上争的就是这件事。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设方程

x^{2} + y^{2} = 25

确定

y = y (x)

，求

y^{'}

及曲线在点

(3, 4)

处的切线斜率。难度 1

方程两边对

x

求导，

y

视为

x

的函数（

\frac{d}{d x} y^{2} = 2 y y^{'}

）：

2 x + 2 y y^{'} = 0 ⟹ y^{'} = - \frac{x}{y} .

代入点

(3, 4)

：

k = y^{'}_{(3, 4)} = - \frac{3}{4}

。

例 2 设

x^{2} + x y + y^{2} = 3

确定

y = y (x)

，求

y^{'}

，并求在点

(1, 1)

处的

y^{'}

。难度 1

两边对

x

求导（

x y

用乘积法则得

y + x y^{'}

）：

2 x + (y + x y^{'}) + 2 y y^{'} = 0 ⟹ (x + 2 y) y^{'} = - (2 x + y) ⟹ y^{'} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y} .

代入

(1, 1)

：

y^{'} = - \frac{2 + 1}{1 + 2} = - 1

。

例 3 设

{x = 1 + t^{2}, y = t^{3},

求

\frac{d y}{d x}

与

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。难度 2

一阶：

\frac{d x}{d t} = 2 t, \frac{d y}{d t} = 3 t^{2} ⟹ \frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2}}{2 t} = \frac{3 t}{2} .

二阶： 把

\frac{d y}{d x} = \frac{3 t}{2}

再对

x

求导，须再除一次 $\frac{d x}{d t}$ ：

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{3 t}{2} )}{\frac{d x}{d t}} = \frac{3/2}{2 t} = \frac{3}{4 t} .

例 4 （相关变化率）半径为

r

的球体积

V = \frac{4}{3} π r^{3}

。若半径以

\frac{d r}{d t} = 2

cm/s 的速率增大，求

r = 3

cm 时体积的变化率

\frac{d V}{d t}

。难度 2

把

V, r

都看作

t

的函数，对

V = \frac{4}{3} π r^{3}

两边关于

t

求导（链式法则）：

\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \cdot \frac{d r}{d t} .

代入

r = 3, \frac{d r}{d t} = 2

：

\frac{d V}{d t} = 4 π \cdot 9 \cdot 2 = 72 π cm^{3} / s .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

曲线

x^{2} + 23 x y + y^{2} = 1

在点

(0, 1)

处的曲率半径为 ___。

2025 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

y = y (x)

由

⎩ ⎨ ⎧ x = ln (1 + 2 t), 2 t - \int_{1}^{y + t^{2}} e^{- u^{2}} d u = 0

确定，则

\frac{d y}{d x}_{t = 0} =

___。

2024 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设函数

y = f (x)

由参数方程

{x = 1 + t^{3} y = e^{t^{2}}

确定，则

x \to + \infty lim x [f (2 + \frac{2}{x}) - f (2)] =

（　　）

A $2 e$
B $\frac{4 e}{3}$
C $\frac{2 e}{3}$
D $\frac{e}{3}$

2024 年 · 数二 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

曲线

y^{2} = x

在点

(0, 0)

处的曲率圆方程为 ___。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

曲线

x^{2} + y^{2} = 1

所确定的隐函数

y = y (x)

满足

y^{'} =

（　）

A $- \frac{x}{y}$
B $\frac{x}{y}$
C $- \frac{y}{x}$
D $\frac{y}{x}$

练习 2 · 填空题

曲线

x^{3} + y^{3} = 6 x y

在点

(3, 3)

处的切线斜率为 ____。

练习 3 · 填空题

设

{x = t^{2}, y = t^{3},

则

\frac{d y}{d x}_{t = 2} =

____。

练习 4 · 填空题

设

{x = 2 t, y = t^{2},

则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} =

____。

练习 5 · 填空题

设

y = y (x)

由

y = 1 + x e^{y}

确定，则

y^{'} (0) =

____。

练习 6 · 选择题

设

{x = ln (1 + t^{2}), y = t - arctan t,

则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} =

（　　）。

A $\frac{1 + t ^{2}}{4 t}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{1 + t ^{2}}{2 t}$
D $\frac{t}{2}$

练习 7 · 填空题

设

y = y (x)

由方程

e^{y} + x y = e

确定，则

y^{''} (0) =

____。

练习 8 · 解答题

设曲线

C

由参数方程

{x = t^{2} + 2 t, y = ln (1 + t) (t > - 1)

给出。

(1) 说明当

t > - 1

时

y

确实是

x

的单值函数，并求

\frac{d y}{d x}

与

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

（用

t

表示）；

(2) 求

C

在

t = 1

所对应的点处的切线方程与法线方程；

(3) 判断

C

的单调性与凹凸性。

2023 年 · 数二 · 第 5 题 · 选择题 · 5 分

设函数

y = f (x)

由

{x = 2 t + ∣ t ∣, y = ∣ t ∣ sin t

确定，则（　　）

A $f (x)$ 连续， $f^{'} (0)$ 不存在
B $f^{'} (0)$ 存在， $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续
C $f^{'} (x)$ 连续， $f^{''} (0)$ 不存在
D $f^{''} (0)$ 存在， $f^{''} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续

2023 年 · 数二 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

曲线

3 x^{3} = y^{5} + 2 y^{3}

在

x = 1

对应点处的法线斜率为 ___。