隐函数与参数方程求导

高等数学 · 一元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 隐函数求导：把 $y$ 看成 $x$ 的函数，两边同时求导

有些曲线写不成

y = f (x)

的样子，只能写成一个方程

F (x, y) = 0

，例如

x^{2} + y^{2} = 1

。这时

y

仍是

x

的函数，只是没解出来——称为隐函数。

求导的做法只有一句话：把 $y$ 当作 $x$ 的函数，对方程两边同时关于 $x$ 求导。

关键在于，凡是含

y

的项都是复合函数，求导时要乘上

y^{'}

：

(y^{2})^{'} (sin y)^{'} (x y)^{'} = 2 y \cdot y^{'}, = cos y \cdot y^{'}, = y + x y^{'} .

第三条用的是乘积法则，

x

和

y

各求一次。

求完之后把含

y^{'}

的项移到一边、其余移到另一边，解出

y^{'}

。结果里出现 $y$ 是正常的，不必（往往也不能）消掉。

2. 隐函数的二阶导：对一阶导的结果再求一次，记得代回

求

y^{''}

的做法是：对已经解出的 $y^{'}$ 的表达式再求一次导，过程中遇到

y

仍要乘

y^{'}

，最后把第一步得到的

y^{'}

代回去。

以

x^{2} + y^{2} = 1

为例，已得

y^{'} = - \frac{x}{y}

。再求一次（商法则）：

y^{''} = - \frac{1 \cdot y - x y ^{'}}{y ^{2}} .

把

y^{'} = - \frac{x}{y}

代进去：

y^{''} = - \frac{y + \frac{x ^{2}}{y}}{y ^{2}} = - \frac{y ^{2} + x ^{2}}{y ^{3}} .

再用一次原方程

x^{2} + y^{2} = 1

化简，得

y^{''} = - \frac{1}{y ^{3}}

。

两件事别漏：一是求导过程中

y

仍要带

y^{'}

；二是最后要把

y^{'}

代回，答案里不许留 $y^{'}$ 。

3. 参数方程求导：上下各对 $t$ 求导，再相除

曲线由参数方程给出时

{x = φ (t), y = ψ (t),

一阶导数是

\frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )} = \frac{d y / d t}{d x / d t} (φ^{'} (t) \neq = 0) .

记法很好记：上下各对 $t$ 求导，再相除。

二阶导数是这一节最容易错的地方。不能把

\frac{d y}{d x}

再对

t

求一次导就完事，因为要的是对

x

的导数。正确的是

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x}) \cdot \frac{1}{φ ^{'} ( t )} .

即：先把一阶导当成 $t$ 的函数求导，再除以 $φ^{'} (t)$ 。那个「再除一次

\frac{d x}{d t}

」是全部要点所在，漏掉它答案就错。

4. 对数求导法：幂指函数与一长串连乘连除

两类式子直接求导很难受，取对数之后会变得很轻：

① 幂指函数 $y = u (x)^{v (x)}$ . 底和指数都是变量，幂函数与指数函数的公式都用不上。

② 一长串连乘连除、带根号与方幂. 直接用乘积与商法则要写满一页。

做法三步：两边取对数 $\to$ 用对数法则拆开 $\to$ 两边对 $x$ 求导。左端

ln y

是复合函数，求导得

\frac{y ^{'}}{y}

，最后乘回

y

。

之所以管用，是因为对数把乘除变成了加减、把方幂搬到了系数上——正是预备知识里那四条对数运算法则。

最后别忘了把 $y$ 换回原来的表达式，答案里不许留

y

。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

隐函数求导：两边求导，含 $y$ 的乘 $y^{'}$ ，再解出来

第一步：对方程两边关于

x

求导，把

y

当作

x

的函数。

第二步：凡含

y

的项，求导后乘一个

y^{'}

；含

x y

的用乘积法则。

第三步：把带

y^{'}

的项移到一边，其余移到另一边，提出

y^{'}

解出来。

第四步：要算某点的值，把该点的

x

与

y

一起代进去。

例由

x^{2} + y^{2} = 1

求

y^{'}

，并求点

(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})

处的值。

第一步，两边对

x

求导。

x^{2}

给

2 x

；

y^{2}

里的

y

是

x

的函数，按复合函数求导要再乘一个 $y^{'}$ ，给

2 y y^{'}

；右边的常数给

0

：

2 x + 2 y y^{'} = 0.

第二步，把

y^{'}

当未知数解出来（

y \neq = 0

）：

y^{'} = - \frac{x}{y} .

第三步，代入那个点：

y^{'} = - \frac{2 /2}{2 /2} = - 1

。

结果里同时含

x

和

y

是正常的，隐函数求导本来就这样。

参数方程：一阶相除，二阶再除一次

第一步：分别求

\frac{d x}{d t}

与

\frac{d y}{d t}

。

第二步：一阶导

= \frac{d y / d t}{d x / d t}

，化简成

t

的式子。

第三步：把这个式子再对 $t$ 求导。

第四步：再除以

\frac{d x}{d t}

——这一步是二阶导的全部要点。

例设

x = t^{2}

、

y = t^{3}

（

t \neq = 0

），求

\frac{d y}{d x}

与

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。

第一步，各自对参数求导：

x_{t}^{'} = 2 t

，

y_{t}^{'} = 3 t^{2}

。

第二步，一阶导相除：

\frac{d y}{d x} = \frac{y _{t}^{'}}{x _{t}^{'}} = \frac{3 t ^{2}}{2 t} = \frac{3 t}{2} .

第三步，二阶导不是把

\frac{3 t}{2}

再对

t

求一次导就算完。它是「一阶导再对

x

求导」，所以求完还要再除一次 $x_{t}^{'}$ ：

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{( \frac{3 t}{2} ) _{t}^{'}}{x _{t}^{'}} = \frac{3/2}{2 t} = \frac{3}{4 t} .

少除这一次是本节最高频的错。

对数求导法：取对数、拆开、求导、乘回

第一步：认出形状——幂指函数，或连乘连除带根号方幂。

第二步：两边取对数，用

ln (ab) = ln a + ln b

、

ln a^{k} = k ln a

拆开。

第三步：两边对

x

求导，左端是

\frac{y ^{'}}{y}

。

第四步：乘回

y

，并把

y

换成原来的表达式。

例求

y = \frac{( x + 1 ) ^{2} x - 1}{x + 2}

（

x > 1

）的导数。

第一步，取对数。乘除变加减、指数落到前面：

ln y = 2 ln (x + 1) + \frac{1}{2} ln (x - 1) - ln (x + 2) .

第二步，两边求导。左边是

\frac{y ^{'}}{y}

，右边三项各自是

\frac{( 内层 ) ^{'}}{内层}

：

\frac{y ^{'}}{y} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{2 ( x - 1 )} - \frac{1}{x + 2} .

第三步，乘回

y

：

y^{'} = \frac{( x + 1 ) ^{2} x - 1}{x + 2} \times [\frac{2}{x + 1} + \frac{1}{2 ( x - 1 )} - \frac{1}{x + 2}] .

直接用商法则也能做，但要套三层，比这长得多。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

隐函数求导漏乘 $y^{'}$

(y^{2})^{'} = 2 y y^{'}

、

(sin y)^{'} = cos y \cdot y^{'}

，含

y

的项求导后必定带 $y^{'}$ 。

检查办法：数一数求导后带

y^{'}

的项数，和原式里含

y

的项数对得上。

二阶导里留着 $y^{'}$ 不代回

y^{''}

的表达式里出现

y^{'}

时，必须把第一步解出的

y^{'}

代回去，再用原方程化简。

x^{2} + y^{2} = 1

的

y^{''}

最终是

- \frac{1}{y ^{3}}

；停在带

y^{'}

的中间式子上，算没答完。

例例. 由

x^{2} + y^{2} = 1

求

y^{''}

。

一阶：两边求导得

2 x + 2 y y^{'} = 0

，解出

y^{'} = - \frac{x}{y}

。

二阶：把

2 x + 2 y y^{'} = 0

再对 $x$ 求导（

y y^{'}

用乘积法则）：

2 + 2 (y^{'})^{2} + 2 y y^{''} = 0 ⟹ y^{''} = - \frac{1 + ( y ^{'} ) ^{2}}{y} .

停在这儿就算没答完——式子里还留着

y^{'}

。把

y^{'} = - \frac{x}{y}

代回：

y^{''} = - \frac{1 + \frac{x ^{2}}{y ^{2}}}{y} = - \frac{y ^{2} + x ^{2}}{y ^{3}} = - \frac{1}{y ^{3}},

最后一步用了原方程

x^{2} + y^{2} = 1

。答案里不许留 $y^{'}$ ，能用原方程化简的也要化。

参数方程二阶导漏掉最后那次除法

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

是先对

t

求导、再除以

\frac{d x}{d t}

。

只求导不除，得到的是对

t

的导数，不是对

x

的。判据：看分母上写的是

d x

还是

d t

。

例例. 设

x = t^{2}

、

y = t^{3}

，求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。

一阶导已经算出来了：

\frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2}}{2 t} = \frac{3 t}{2}

。

错的做法：把

\frac{3 t}{2}

再对

t

求一次导，得

\frac{3}{2}

。

这个数其实是

\frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})

——分母上是

d t

，而题目要的是

d x

。

对的做法：求完还要再除一次

\frac{d x}{d t} = 2 t

：

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{3 t}{2} )}{\frac{d x}{d t}} = \frac{3/2}{2 t} = \frac{3}{4 t} .

在

t = 1

处对照：错的给

1.5

，对的给

0.75

，整整差一倍。两个数看着都「像那么回事」，这正是这个错不容易被自己发现的原因。

取对数后左端写成 $\frac{1}{y}$

(ln y)^{'} = \frac{y ^{'}}{y}

——

y

是

x

的函数，这是复合函数。

这和隐函数漏乘

y^{'}

是同一个错。另外答案里要把

y

换回原表达式，不许留

y

。

例例. 由

y = x^{s i n x}

（

x > 0

）求

y^{'}

。

取对数：

ln y = sin x \cdot ln x

。

错：左边求导写成

\frac{1}{y}

——那是把

y

当成了自变量。

对：

y

是

x

的函数，

ln y

是复合函数，求导得

\frac{y ^{'}}{y}

：

\frac{y ^{'}}{y} = cos x \cdot ln x + sin x \cdot \frac{1}{x} .

乘回

y

，并把

y

换成原来的表达式（不许在答案里留 $y$ ）：

y^{'} = x^{s i n x} (cos x ln x + \frac{sin x}{x}) .

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 隐函数怎么求

练 1

设

y

是

x

的函数，则

(y^{3})^{'} =

________（用

y

与

y^{'}

表示）。

练 2

设

y

是

x

的函数，则

(x y)^{'} =

（）。

A $y^{'}$
B $y + x y^{'}$
C $x y^{'}$
D $x^{'} y^{'}$

练 3

设

x^{2} + y^{2} = 1

，则

y^{'} =

________（用

x

、

y

表示）。

练 4

参数方程

{x = φ (t) y = ψ (t)

的一阶导数

\frac{d y}{d x} =

（）。

A $ψ^{'} (t)$
B $φ^{'} (t) ψ^{'} (t)$
C $\frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )}$
D $\frac{φ ^{'} ( t )}{ψ ^{'} ( t )}$

第二组 · 算到底

练 5

设

x^{2} + y^{2} = 1

，则曲线在点

(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})

处的切线斜率为 ________。

练 6

设

{x = t^{2}, y = t^{3},

则

\frac{d y}{d x} =

________（用

t

表示）。

练 7

承上题，

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} =

（）。

A $\frac{3}{2}$
B $\frac{3}{4 t}$
C $3 t$
D $\frac{3}{2 t}$

练 8

设

y = x^{s i n x} (x > 0)

，则

\frac{y ^{'}}{y} =

________。

第三组 · 二阶与综合

练 9

设

x^{2} + y^{2} = 1

，则

y^{''} =

（）。

A $- \frac{1}{y ^{2}}$
B $- \frac{x}{y ^{2}}$
C $- \frac{1}{y ^{3}}$
D $\frac{1}{y ^{3}}$

练 10

设

e^{y} = x y

，则

y^{'} =

________（用

x

、

y

表示）。

练 11

求

y = \frac{( x + 1 ) ^{2} x - 1}{( x + 4 ) ^{3}}

的导数，最省事的做法是（）。

A直接用乘积法则与商法则
B先平方再求导
C两边取对数，拆开后求导
D当作隐函数处理

练 12

设

{x = cos t, y = sin t,

则

\frac{d y}{d x} =

________（用

t

表示）。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

隐函数与参数方程求导

先打基础

1. 隐函数求导：把 y 看成 x 的函数，两边同时求导

2. 隐函数的二阶导：对一阶导的结果再求一次，记得代回

3. 参数方程求导：上下各对 t 求导，再相除

4. 对数求导法：幂指函数与一长串连乘连除

常用结构

隐函数求导：两边求导，含 y 的乘 y′，再解出来

参数方程：一阶相除，二阶再除一次

对数求导法：取对数、拆开、求导、乘回

基础易错

隐函数求导漏乘 y′

二阶导里留着 y′ 不代回

参数方程二阶导漏掉最后那次除法

取对数后左端写成 y1​

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 隐函数求导：把 $y$ 看成 $x$ 的函数，两边同时求导

3. 参数方程求导：上下各对 $t$ 求导，再相除

隐函数求导：两边求导，含 $y$ 的乘 $y^{'}$ ，再解出来

隐函数求导漏乘 $y^{'}$

二阶导里留着 $y^{'}$ 不代回

取对数后左端写成 $\frac{1}{y}$