隐函数与参数方程求导

§2.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.84 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

2.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁曲率与曲率半径多元隐函数求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 参数方程求导法则： $\frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )}$ （ $φ^{'} \neq = 0$ ）与二阶导数的完整推导★★ 必会

① 定理（一阶导数）：设

x = φ (t), y = ψ (t)

均可导且

φ^{'} (t) \neq = 0

（当导数连续时，这保证

φ

严格单调，从而存在可导的反函数

t = φ^{- 1} (x)

，于是参数方程确定了函数

y = ψ (φ^{- 1} (x))

），那么

\frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )} = \frac{d y / d t}{d x / d t} .

分子是

y

对

t

的导数，分母是

x

对

t

的导数，因变量写在上面，所得结果一般仍是

t

的函数。

② 二阶导数：每升高一阶，就要再除一次 $φ^{'} (t)$ 。

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

是

\frac{d y}{d x}

对 $x$ 的导数，不是对

t

的导数；而

\frac{d y}{d x}

算出来是

t

的函数，所以必须对它再用一次 ① 中的法则：

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{d y}{d x} )}{φ ^{'} ( t )} = \frac{ψ ^{''} ( t ) φ ^{'} ( t ) - ψ ^{'} ( t ) φ ^{''} ( t )}{[ φ ^{'} ( t ) ] ^{3}} .

两个常见错误：一是对

t

求导之后忘记再除以 $φ^{'} (t)$ ；二是把展开式的分母记成

φ^{' 2}

，正确的应是

φ^{' 3}

。因此宜记步骤而不宜背结果：先求

\frac{d}{d t}

，再除以

\overset{x}{˙}

。更高阶的导数依此递推：

\frac{d ^{3} y}{d x ^{3}} = \frac{d}{d t} (\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}) / φ^{'} (t)

。

③ 公式失效的点 $φ^{'} (t_{0}) = 0$ ：这时上述公式不能使用，曲线在该处可能出现铅直切线或尖点（例如摆线在

t = 2 k π

处的尖点），必须回到定义或另用极限讨论。如果

φ^{'} (t_{0}) = 0

而

ψ^{'} (t_{0}) \neq = 0

，通常改算

\frac{d x}{d y} = \frac{φ ^{'}}{ψ ^{'}} = 0

，由此说明切线是铅直的。

证明 / 推导

推导. 一阶导数：当

φ^{'} (t) \neq = 0

时，由反函数求导定理知

t = φ^{- 1} (x)

可导，且

\frac{d t}{d x} = \frac{1}{φ ^{'} ( t )}

。对复合函数

y = ψ (t), t = t (x)

应用链式法则，得

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = ψ^{'} (t) \cdot \frac{1}{φ ^{'} ( t )} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )} .

二阶导数：

\frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'}}{φ ^{'}}

仍然是

t

的函数，对

x

求导时要再用一次链式法则并乘以

\frac{d t}{d x} = \frac{1}{φ ^{'}}

，其中对

t

求导应使用商的求导法则，于是

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{ψ ^{'}}{φ ^{'}}) \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{ψ ^{''} φ ^{'} - ψ ^{'} φ ^{''}}{φ ^{' 2}} \cdot \frac{1}{φ ^{'}} = \frac{ψ ^{''} φ ^{'} - ψ ^{'} φ ^{''}}{φ ^{' 3}} .

特例核验：取

x = a t

（此时

φ^{'} = a, φ^{''} = 0

），按公式算得

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{a ψ ^{''}}{a ^{3}} = \frac{ψ ^{''} ( t )}{a ^{2}}

；而直接代入

y = ψ (\frac{x}{a})

求两次导数，同样得到

\frac{1}{a ^{2}} ψ^{''}

，二者相符。分母之所以是三次方，是因为对

ψ^{''}

用链式法则时带出一个

\frac{1}{a}

，最后整体又要再除以一个

a

，两者叠加所致。

■

举例说明

例（1991·数一，填空）. 设

{x = 1 + t^{2}, y = cos t,

求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。

解.

\frac{d x}{d t} = 2 t, \frac{d y}{d t} = - sin t

，故

\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{- sin t}{2 t} .

再升高一阶：先对 $t$ 求导，然后除以 $\frac{d x}{d t} = 2 t$ ，得

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{- sin t}{2 t} )}{2 t} = \frac{\frac{- 2 t cos t + 2 sin t}{4 t ^{2}}}{2 t} = \frac{sin t - t cos t}{4 t ^{3}} .

■

错解对照：如果只对

t

求导而忘记最后再除以

2 t

，就会停在

\frac{sin t - t cos t}{2 t ^{2}}

，与正确结果相差一个因子

2 t

。检验的办法是：参数方程每升高一阶导数，分母就应多出一个

φ^{'}

（本题中

t

的幂次由

t^{1}

升到

t^{3}

）；幂次对不上，就说明中间有遗漏。

2. 隐函数为什么存在而且可导：隐函数存在定理与公式 $y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$ ★ 要懂

前面只说方程恒成立，可以对两边求导；但为什么由

F (x, y) = 0

一定能在局部解出一个可导的

y = y (x)

呢？这一点由隐函数存在定理保证：设

F (x, y)

有连续偏导数，点

(x_{0}, y_{0})

满足

F (x_{0}, y_{0}) = 0

且

F_{y} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0

，那么在该点附近唯一确定一个可导的隐函数

y = y (x)

，并且

y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} .

几何直观：

F_{y} \neq = 0

表示曲线在该点的切线不是铅直的，

y

才能表示成

x

的单值函数；在

F_{y} = 0

处则可能出现铅直切线或自交的奇点（例如笛卡儿叶形线的原点），必须单独讨论。应用：在选择题、填空题中用这个公式一步求出

y^{'}

，比逐项求导更快，也不容易漏掉

y^{'}

。

证明 / 推导

推导. 把

y = y (x)

代入，得恒等式

F (x, y (x)) \equiv 0

。两边对

x

求导，并使用多元复合函数的链式法则（

x

直接出现，

y

则通过

y (x)

出现），得

F_{x} \cdot 1 + F_{y} \cdot y^{'} = 0 ⟹ y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} (F_{y} \neq = 0) .

例如取

F = x^{2} + y^{2} - 1

，则

F_{x} = 2 x, F_{y} = 2 y

，于是

y^{'} = - \frac{2 x}{2 y} = - \frac{x}{y}

，与直接对方程两边求导所得完全一致。公式中的负号是这样来的：

F_{x}

与

F_{y} y^{'}

之和为零，移项后即出现负号。

■

3. 隐函数的二阶导数：对方程逐次求导，不必先解出 $y^{'}$ 再对它求导★★ 必会

求隐函数的

y^{''}

有两条途径：(A) 先解出

y^{'}

（它是含

x, y

的分式），再对它求导并回代；(B) 对第一次求导所得的方程再求一次导数，把

y^{''}

当作未知量解出。一般说来方法 (B) 更为稳妥，因为它避开了对复杂分式的求导。求导时始终遵循同一条规则：凡含 $y$ 的项求导后都带一个因子 $y^{'}$ ，凡含 $y^{'}$ 的项求导后都带一个因子 $y^{''}$ ，最后把已求得的

y^{'}

回代化简。这种逐次求导的做法，对更高阶的隐函数导数以及微分方程都同样适用。

举例说明

例. 设

x^{2} + y^{2} = 1

，求

y^{''}

。
解. 第一次求导：

2 x + 2 y y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y}

。
再对方程

2 x + 2 y y^{'} = 0

求一次导数（其中

2 y y^{'}

要用乘积法则）：

2 + 2 (y^{'})^{2} + 2 y y^{''} = 0 ⟹ y^{''} = - \frac{1 + ( y ^{'} ) ^{2}}{y} .

把

y^{'} = - \frac{x}{y}

代入，得

(y^{'})^{2} = \frac{x ^{2}}{y ^{2}}

，于是

1 + (y^{'})^{2} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{y ^{2}} = \frac{1}{y ^{2}}

（这里用到了

x^{2} + y^{2} = 1

）。因此

y^{''} = - \frac{1}{y ^{3}} .

全过程都没有对分式

- \frac{x}{y}

直接求导，既简洁又不易出错。

■

4. 参数曲线的凹凸与拐点：仍由 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 的符号决定

由参数方程

x = φ (t), y = ψ (t)

描出的曲线，其凹凸性同样由 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 的符号决定（

> 0

时为凹

\cup

，

< 0

时为凸

\cap

）。这是因为凹凸是曲线本身的几何性质，与选用哪个参数无关。做法：先按

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{( d y / d x ) _{t}^{'}}{d x / d t}

求出二阶导数（注意每升高一阶都要除一次

φ^{'}

），再判定它随

t

变化时的符号。这是参数式二阶导数最典型的用处，同时也考查半角公式等三角恒等变形。

证明 / 推导

推导. 为什么可以照搬一元函数的判别法. 设在所论的区间内

φ^{'}

连续且不为零。由连续函数的介值性质知，

φ^{'}

在该区间内保持定号。故

φ

严格单调，从而存在反函数

t = φ^{- 1} (x)

。于是

y = ψ (φ^{- 1} (x))

确实是

x

的一个单值函数。凹凸性本来就是对

y

作为

x

的函数而言的。至于用哪个参数描述这条曲线，与它无关。而

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

就是这个复合函数对

x

的二阶导数。因此一元函数的判别法可以原样使用。这就证明了参数曲线的凹凸性仍由

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

的符号决定。

当 $φ^{'} < 0$ 时公式仍然适用. 由前面已得的公式

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{ψ ^{''} φ ^{'} - ψ ^{'} φ ^{''}}{φ ^{' 3}}

可以看出，分母是

φ^{'}

的三次方，它把

φ^{'}

的符号保留了下来。当

φ^{'} < 0

时，

t

增大而

x

反而减小，曲线是自右向左描出的。但公式中的

φ^{' 3} < 0

已经把这一点计算在内。因此不论

φ^{'}

的正负，都直接看

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

的符号，不必另作调整。

用圆来核验. 取

x = a cos t, y = a sin t (a > 0)

。在上半圆

0 < t < π

上，

\overset{x}{˙} = - a sin t < 0

，先求一阶导数：

\frac{d y}{d x} = \frac{a cos t}{- a sin t} = - cot t .

再对

x

求导，即先对

t

求导再除以

\overset{x}{˙}

，得

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{csc ^{2} t}{- a sin t} = - \frac{1}{a sin ^{3} t} < 0,

故上半圆为凸，与图形相符。在下半圆

π < t < 2 π

上

sin t < 0

，同一式子给出

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} > 0

，即为凹，也与图形相符。可见

\overset{x}{˙}

的正负已由公式自动照顾到。

关于拐点. 在

φ^{'}

保持定号的区间内，

φ^{' 3}

的符号固定。故

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

的符号由分子

ψ^{''} φ^{'} - ψ^{'} φ^{''}

决定。拐点只能出现在分子变号之处。必须注意，

φ^{'}

也可能在区间内变号。这时曲线不再是

x

的单值函数，上面的圆在

t = 0

与

t = π

处即是如此。这时应按

φ^{'}

的符号分段讨论，不能一并处理。

■

举例说明

例. 判定摆线一拱

x = t - sin t, y = 1 - cos t (0 < t < 2 π)

的凹凸性。
解. 由

\overset{x}{˙} = 1 - cos t = 2 sin^{2} \frac{t}{2}, \overset{y}{˙} = sin t

，先用半角公式化简一阶导数：

\frac{d y}{d x} = \frac{sin t}{1 - cos t} = \frac{2 sin \frac{t}{2} cos \frac{t}{2}}{2 sin ^{2} \frac{t}{2}} = cot \frac{t}{2} .

再对

x

求导：先求得

\frac{d}{d t} cot \frac{t}{2} = - \frac{1}{2} csc^{2} \frac{t}{2}

，然后除以

\overset{x}{˙} = 2 sin^{2} \frac{t}{2}

，得

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{- \frac{1}{2} csc ^{2} \frac{t}{2}}{2 sin ^{2} \frac{t}{2}} = - \frac{1}{4 sin ^{4} \frac{t}{2}} < 0.

因此整个一拱恒为凸（

\cap

），没有拐点，这与摆线倒悬拱形的直观形状完全相符。

■

5. 相关变化率：把约束关系式对 $t$ 求导，即隐函数求导法在时间变量上的应用★ 要懂

相关变化率是把隐函数求导的思想用到时间变量上：若干个随时间变化的量被一个几何关系或物理关系所约束，只要对约束式两边关于 $t$ 求导，就能把它们的变化率联系起来。一般步骤：①设出变量并画图；②写出在任意时刻都成立的约束关系；③两边对

t

求导，得到各变化率之间的方程；④最后才把所问时刻的瞬时值代入求解。必须注意：如果过早地把某一时刻的定值代入约束式，本该求导的变量就被当成了常数，它的导数变为零，结果必然出错。

举例说明

例. 一架长

5 m

的梯子靠在墙上，底端以

2 m/s

的速度沿水平方向离墙滑动。当底端离墙

3 m

时，顶端下滑的速度是多少？
解. 设底端离墙的距离为

x

，顶端的高度为

y

，则在任意时刻恒有

x^{2} + y^{2} = 25

。两边对

t

求导，得

2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} = 0 ⟹ \frac{d y}{d t} = - \frac{x}{y} \frac{d x}{d t} .

在所问的时刻

x = 3 \Rightarrow y = 25 - 9 = 4

，且

\frac{d x}{d t} = 2

，代入上式，得

\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{4} \times 2 = - 1.5 m/s,

负号表示

y

在减小，即顶端以

1.5 m/s

的速度下滑。必须注意，

x^{2} + y^{2} = 25

要先以一般形式求导，然后才能代入

x = 3, y = 4

。

■

💡 小知识

隐函数求导让人可以给那些解不出显式表达式的曲线求切线。笛卡尔叶形线

x^{3} + y^{3} = 3 a x y

曾难倒早期的几何学家，因为它没法整体写成

y = f (x)

的样子；改用隐函数求导，两步就能得到任意点的切线斜率。费马与笛卡尔当年那场关于切线的争论，技术上争的就是这件事。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设方程

x^{2} + y^{2} = 25

确定

y = y (x)

，求

\frac{d y}{d x}

，并求点

(3, 4)

处的切线斜率。难度 1

两边对

x

求导，含

y

的项把

y

视为

x

的函数：

2 x + 2 y y^{'} = 0 ⟹ y^{'} = - \frac{x}{y} .

代入点

(3, 4)

：

y^{'} = - \frac{3}{4}

，即该点切线斜率为

- \frac{3}{4}

。

例 2 设方程

y = x + ln y

确定

y = y (x)

，求

\frac{d y}{d x}

。难度 2

两边对

x

求导，

ln y

用链式法则：

y^{'} = 1 + \frac{1}{y} y^{'} .

移项：

y^{'} - \frac{1}{y} y^{'} = 1

，即

y^{'} (1 - \frac{1}{y}) = 1

，

y^{'} \cdot \frac{y - 1}{y} = 1

。故

y^{'} = \frac{y}{y - 1} (y \neq = 1) .

例 3 设参数方程

{x = 2 t, y = t^{2},

求

\frac{d y}{d x}

，并求

t = 1

处的值。难度 1

\frac{d x}{d t} = 2, \frac{d y}{d t} = 2 t

，故

\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{2 t}{2} = t .

当

t = 1

时

\frac{d y}{d x} = 1

。

例 4 设参数方程

{x = t^{2}, y = t^{3},

求

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

。难度 2

先求一阶：

\frac{d x}{d t} = 2 t, \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}

，

\frac{d y}{d x} = \frac{3 t ^{2}}{2 t} = \frac{3 t}{2} .

再对

x

求导（务必再除一次

\frac{d x}{d t}

）：

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d}{d t} ( \frac{3 t}{2} )}{\frac{d x}{d t}} = \frac{3/2}{2 t} = \frac{3}{4 t} .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

设函数

y = y (x)

由参数方程

{x = 2 sin^{2} t y = t + cos t (t \in (0, \frac{π}{2}))

确定，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = \frac{π}{4}} =

___.

2023 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

y = f (x)

由

{x = 2 t + ∣ t ∣, y = ∣ t ∣ sin t

确定，则（　　）

A $f (x)$ 连续， $f^{'} (0)$ 不存在.
B $f^{'} (0)$ 存在， $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续.
C $f^{'} (x)$ 连续， $f^{''} (0)$ 不存在.
D $f^{''} (0)$ 存在， $f^{''} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续.

2021 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

设函数

y = y (x)

由参数方程

{x = 2 e^{t} + t + 1, y = 4 (t - 1) e^{t} + t^{2}

确定，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 0} =

______.

2020 年 · 数一 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设

{x = t^{2} + 1, y = ln (t + t^{2} + 1),

则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 1} =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

由

x^{2} + y^{2} = 1

确定

y = y (x)

，则

\frac{d y}{d x} =

（　）

A $- \frac{x}{y}$
B $\frac{x}{y}$
C $- \frac{y}{x}$
D $- x$

练习 2 · 填空题

设参数方程

{x = t^{2}, y = 2 t,

则

\frac{d y}{d x} =

____。

练习 3 · 填空题

由

x^{2} - y^{2} = 3

确定

y = y (x)

，则

\frac{d y}{d x} =

____。

练习 4 · 选择题

设参数方程

{x = cos t, y = sin t,

则

\frac{d y}{d x} =

（　）

A $- cot t$
B $cot t$
C $- tan t$
D $tan t$

练习 5 · 填空题

设参数方程

{x = t^{2}, y = t^{3},

则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} =

____。

练习 6 · 选择题

设

y = y (x)

由方程

e^{y} + x y = e

在

x = 0

附近确定，且

y (0) = 1

，则

y^{''} (0) =

（　）。

A $- \frac{1}{e}$
B $\frac{1}{e ^{2}}$
C $- \frac{1}{e ^{2}}$
D $\frac{2}{e ^{2}}$

练习 7 · 填空题

设参数方程

{x = ln (1 + t^{2}), y = t - arctan t

（

t > 0

）确定

y = y (x)

，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} =

____。

练习 8 · 解答题

设

y = y (x)

由方程

e^{x y} + y^{2} = x + 2

在点

(0, 1)

的某邻域内确定。

(1) 求

y^{'} (0)

与

y^{''} (0)

；

(2) 判断

x = 0

是否为

y (x)

的极值点；若是，说明是极大值点还是极小值点，并求出该极值；

(3) 写出

y (x)

在

x = 0

处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式。

2017 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

y (x)

由方程

x^{3} + y^{3} - 3 x + 3 y - 2 = 0

确定，求

y (x)

的极值.

2014 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y = f (x)

由方程

y^{3} + x y^{2} + x^{2} y + 6 = 0

确定，求

f (x)

的极值。

隐函数与参数方程求导

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 参数方程求导法则：dxdy​=φ′(t)ψ′(t)​（φ′=0）与二阶导数的完整推导★★ 必会

2. 隐函数为什么存在而且可导：隐函数存在定理与公式 y′=−Fy​Fx​​★ 要懂

3. 隐函数的二阶导数：对方程逐次求导，不必先解出 y′ 再对它求导★★ 必会

4. 参数曲线的凹凸与拐点：仍由 dx2d2y​ 的符号决定

5. 相关变化率：把约束关系式对 t 求导，即隐函数求导法在时间变量上的应用★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 参数方程求导法则： $\frac{d y}{d x} = \frac{ψ ^{'} ( t )}{φ ^{'} ( t )}$ （ $φ^{'} \neq = 0$ ）与二阶导数的完整推导★★ 必会

2. 隐函数为什么存在而且可导：隐函数存在定理与公式 $y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$ ★ 要懂

3. 隐函数的二阶导数：对方程逐次求导，不必先解出 $y^{'}$ 再对它求导★★ 必会

4. 参数曲线的凹凸与拐点：仍由 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 的符号决定

5. 相关变化率：把约束关系式对 $t$ 求导，即隐函数求导法在时间变量上的应用★ 要懂