曲率与曲率半径

曲率中心位于曲线凹的一侧的法线上，与该点相距 $\rho$；真题（如 1991 数一）则要求算出它的坐标。设曲线 $y=f(x)$ 上一点 $M(x,y)$ 处 $y^{\prime \prime }\ne 0$，则曲率中心 $(\alpha ,\beta )$ 为
$$\begin{array}{rl}\alpha & =x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }}\\ \beta & =y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}.\end{array}$$
说明：圆心在法线方向上，与 $M$ 相距 $\rho =\frac{1}{K}$，且指向曲线凹的一侧，这一方向由 $y^{\prime \prime }$ 的符号自动确定。上面两式与曲率半径公式配合，即可写出完整的曲率圆方程。

曲率圆又称密切圆，这是因为它与曲线在切点处密合到二阶：二者不仅通过同一点（$y$ 相同），而且相切（$y^{\prime }$ 相同），并且曲率相同（这等价于 $y^{\prime \prime }$ 相同）。这三条就是二阶密合（二阶接触）的含义。在通过该点的一切圆中，密切圆与曲线最为接近，其偏差是三阶无穷小，因此它是曲线在该点的最佳圆逼近，正如切线是最佳的直线逼近。由此可见，密切圆能够刻画曲线在该点的弯曲状况。

曲率的定义 $K=\left|\frac{d\alpha }{ds}\right|$ 中的 $ds$ 称为弧微分。它的直观来源如下：把一小段曲线弧看作直角三角形的斜边，两条直角边分别是水平增量 $dx$ 与竖直增量 $dy$，由勾股定理得 $ds\approx \sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$，提出 $dx$ 即得 $ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$。为什么近似式可以写成等式：真正的弧长与弦长之差是比 $dx$ 高阶的无穷小，取微分即取一阶主部时，二者相同。极坐标情形（数一常用）：当 $r=r(\theta )$ 时 $ds=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}}d\theta$，相应的曲率为 $K=\frac{|r^2+2r^{\prime 2}-r{r}^{\prime \prime }|}{(r^2+r^{\prime 2}{)}^{3/2}}$。

设质点沿曲线以速率 $v$ 运动，则它的向心（法向）加速度为 $a_n=\frac{v^2}{\rho }=K{v}^2$，其中 $\rho$ 是该点的曲率半径。直观解释：在极短的时间内，质点近似地沿密切圆作匀速圆周运动，其半径即为 $\rho$，因此可以直接用圆周运动公式 $a_n=v^2/\rho$。由此可见，在急弯处（$\rho$ 小而 $K$ 大）所需的向心力更大，离心的感觉也更强；发卡弯之所以比平缓的弯道感觉更强烈，就是因为 $\rho$ 较小。加速度可分解为切向分量 $a_t=\frac{dv}{dt}$ 与法向分量 $a_n=\frac{v^2}{\rho }$，前者改变速率，后者改变方向，而后者由曲率决定。