高阶导数

§2.4 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.95 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

2.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁泰勒公式曲线的凹凸性与拐点曲率与曲率半径可降阶的高阶微分方程

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 高阶导数的定义、莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}$ 与常用 $n$ 阶导公式表★★ 必会

① 定义（逐阶递推）：

f

的

n

阶导数定义为它的

n - 1

阶导函数的导数：

f^{(n)} (x) f^{(n)} (x_{0}) = [f^{(n - 1)} (x)]^{'} = Δ x \to 0 lim \frac{f ^{(n - 1)} ( x _{0} + Δ x ) - f ^{(n - 1)} ( x _{0} )}{Δ x}

记作

y^{''}, y^{'''}, y^{(4)}, \dots, y^{(n)}

或

\frac{d ^{n} y}{d x ^{n}}

，并约定

f^{(0)} = f

。注意：

f^{(n)} (x_{0})

存在，要求

f^{(n - 1)}

在

x_{0}

的某个邻域内都存在，否则无从取极限。在分段点处的高阶可导性必须逐阶用左、右导数验证。例如 1992/q09 中的

f (x) = 3 x^{3} + x^{2} ∣ x ∣

，

f^{''} (0) = 0

存在，但三阶左、右导数分别为

12

与

24

，因此

f^{'''} (0)

不存在，可导的阶数最高只到

n = 2

。

② 运算法则与莱布尼茨公式：

(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}

，

(C u)^{(n)} = C u^{(n)}

；乘积的

n

阶导数由莱布尼茨公式给出

(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)} = u v^{(n)} + n u^{'} v^{(n - 1)} + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} u^{''} v^{(n - 2)} + \dots + u^{(n)} v,

其中

C_{n}^{k} = (k n)

，这些系数与二项式定理

(a + b)^{n}

中的系数完全相同。使用要点：如果其中一个因子是次数较低的多项式，它的高阶导数恒为零，那么和式就自动截断成两三项。这也是该公式在考研中最常用的情形，通常与化商为积、再对两边求

n

阶导数以生成递推关系的做法配合使用（见本节末一条）。

③ 常用 $n$ 阶导公式表（必背）：

(e^{a x})^{(n)} (cos a x)^{(n)} = a^{n} e^{a x}; (sin a x)^{(n)} = a^{n} sin (a x + n \frac{π}{2}) = a^{n} cos (a x + n \frac{π}{2});

(\frac{1}{x + a})^{(n)} [ln (1 + x)]^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} n !}{( x + a ) ^{n + 1}}; = \frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{( 1 + x ) ^{n}} (n \geq 1);

(x^{m})^{(n)} = m (m - 1) \dots (m - n + 1) x^{m - n} (m 为正整数时： n = m 得常数 m!, n > m 恒得 0) .

求 $n$ 阶导数的一般路线：有理分式先拆成部分分式，三角函数的幂与乘积先降幂或化积为和差，化成表中的形状之后再逐项套用公式（内层系数

a

所带出的

a^{n}

不要遗漏）；若套不上表中的公式，再用莱布尼茨公式截断、泰勒系数法或微分方程递推（都见本节后文）。

证明 / 推导

证（莱布尼茨公式，用数学归纳法）. 当

n = 1

时，公式即乘积法则

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

，成立。设公式对

n

成立，再求导一次，得

(uv)^{(n + 1)} = [k = 0 \sum n C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}]^{'} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} [u^{(k + 1)} v^{(n - k)} + u^{(k)} v^{(n + 1 - k)}] .

把

u^{(k)} v^{(n + 1 - k)}

的系数收集起来：第一组给出

C_{n}^{k - 1}

，第二组给出

C_{n}^{k}

。根据帕斯卡恒等式

C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}

，即得

(uv)^{(n + 1)} = k = 0 \sum n + 1 C_{n + 1}^{k} u^{(k)} v^{(n + 1 - k)} . ■

这个证明与二项式定理的证明完全平行：再求导一次，相当于再乘一个

(a + b)

，每一项或者使

u

升高一阶，或者使

v

升高一阶，因此计数的结果必然是二项式系数。

举例说明

例（2017·数一，填空）. 已知

f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

，求

f^{(3)} (0)

。

解（用莱布尼茨公式截断）. 先化商为积：

(1 + x^{2}) f (x) = 1

。两边求

n

阶导数（

n \geq 2

），左端用莱布尼茨公式；因子

1 + x^{2}

求导两次以后即为零，故和式只剩三项：

(1 + x^{2}) f^{(n)} (x) + n \cdot 2 x f^{(n - 1)} (x) + \frac{n ( n - 1 )}{2} \cdot 2 f^{(n - 2)} (x) = 0.

令

x = 0

，得递推关系

f^{(n)} (0) = - n (n - 1) f^{(n - 2)} (0)

。初值为

f (0) = 1

，

f^{'} (0) = [\frac{- 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}]_{x = 0} = 0

。取

n = 3

，得

f^{(3)} (0) = - 3 \cdot 2 \cdot f^{'} (0) = 0.

故应填

0

。

■

核对：

f

为偶函数

\Rightarrow f^{'''}

为奇函数

\Rightarrow f^{'''} (0) = 0

，与所得结果一致；也可以由

\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - \dots

中缺

x^{3}

项直接读出（这就是泰勒系数法，见本节后面一步求

f^{(n)} (0)

的一条）。顺便取

n = 2, 4

，得

f^{''} (0) = - 2 \cdot 1 \cdot f (0) = - 2

，

f^{(4)} (0) = - 4 \cdot 3 \cdot f^{''} (0) = 24

，可见一个递推关系就给出了全部偶数阶导数。

2. 高阶导数的通项不能只靠观察规律：用数学归纳法严格证明 $(sin x)^{(n)} = sin (x + n \frac{π}{2})$ ★ 要懂

前面是由每求一次导数相位就前移

\frac{π}{2}

这一现象猜出通项的。考试中直接写出结论已经够用，但若要真正证明它对一切

n

成立，就必须用数学归纳法；凡是由观察规律得出的命题，都应当这样补足证明。递推中起决定作用的一步，是把求导所产生的余弦用

cos θ = sin (θ + \frac{π}{2})

化回正弦，使相位再增加

\frac{π}{2}

，从而完成

n \to n + 1

的递推。

证明 / 推导

证. 记命题

P (n) : (sin x)^{(n)} = sin (x + n \frac{π}{2})

。
归纳基础 当

n = 1

时：

(sin x)^{'} = cos x = sin (x + \frac{π}{2})

，命题成立。
归纳步骤 设

P (n)

成立，则

(sin x)^{(n + 1)} = \frac{d}{d x} sin (x + n \frac{π}{2}) = cos (x + n \frac{π}{2}) = sin (x + n \frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = sin (x + (n + 1) \frac{π}{2}),

即

P (n + 1)

成立。根据数学归纳法，命题对一切正整数

n

都成立。

■

这里起决定作用的是恒等式

cos θ = sin (θ + \frac{π}{2})

，它把相位前移这一直观说法变成了严格的推导。用同样的方法可以证明

(cos x)^{(n)} = cos (x + n \frac{π}{2})

。

3. 三角函数的幂与乘积：必须先降幂或化积为和差，再求 $n$ 阶导数★★ 必会

sin^{2} x, cos^{2} x, sin^{3} x, sin x cos x, sin a x cos b x

等不能直接求

n

阶导数，因为幂与乘积并没有简单的通项公式。必须先用降幂公式与积化和差公式把它化成

sin (k x), cos (k x)

的线性组合，然后逐项套用

(sin k x)^{(n)} = k^{n} sin (k x + n \frac{π}{2})

。最易遗漏之处：内层系数

k

每求一阶导数就带出一个

k

，求

n

阶导数就得

k^{n}

；各个频率不同的项各有自己的

k^{n}

，都不能漏掉。

举例说明

例. 求

y = sin^{3} x

的

n

阶导数。
解. 由三倍角公式

sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x

反解，得降幂表达式

sin^{3} x = \frac{3 sin x - sin 3 x}{4} .

逐项求

n

阶导数，注意

(sin 3 x)^{(n)} = 3^{n} sin (3 x + n \frac{π}{2})

，于是

y^{(n)} = \frac{1}{4} [3 sin (x + n \frac{π}{2}) - 3^{n} sin (3 x + n \frac{π}{2})] .

第二项的系数是

3^{n}

（由内层的

3 x

带出），而不是

3

。

■

4. 泰勒系数法一步求 $f^{(n)} (0)$ ：把求高阶导数化为读展开式的系数★★ 必会

如果函数容易展成幂级数

f (x) = \sum a_{k} x^{k}

，那么由泰勒系数公式立即得到

f^{(n)} (0) = n! a_{n}

。用处：对于

e^{x^{2}}, ln (1 + x^{2}), x sin x

这类复合函数或乘积函数，直接求高阶导数要反复使用链式法则与乘积法则，几乎无法完成；而利用熟记的展开式作代换，再读出系数，立刻就能得到结果。要点：只需算出所求的那一项的系数，其余各项一概不必理会；如果某个次幂的项缺失，那么相应阶的导数就等于

0

。

举例说明

例. 求

f (x) = e^{x^{2}}

的

f^{(10)} (0)

与

f^{(9)} (0)

。
解. 在

e^{u} = \sum_{k \geq 0} \frac{u ^{k}}{k !}

中令

u = x^{2}

，得

e^{x^{2}} = k = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 k}}{k !},

它只含偶次幂。因此没有

x^{9}

项，即

a_{9} = 0

，于是

f^{(9)} (0) = 9! \cdot 0 = 0

。

x^{10}

项对应于

k = 5

，

a_{10} = \frac{1}{5 !}

，故

f^{(10)} (0) = 10! \cdot a_{10} = \frac{10 !}{5 !} = \frac{3628800}{120} = 30240.

如果直接去求

e^{x^{2}}

的十阶导数，几乎无法完成；泰勒系数法却把它化成了一次读取系数的工作。

■

5. 微分方程与莱布尼茨公式联用求 $f^{(n)} (0)$ ：处理 $arctan x$ 、 $arcsin x$ 的递推法★ 要懂

arctan x, arcsin x

的导数是有理式或含根式的分式，要逐项求出通项极为困难；但它们都满足简单的一阶微分方程。对方程两边求

n

阶导数（含

x

的多项式因子用莱布尼茨公式处理，由于多项式的高阶导数为零，和式自动截断），再令

x = 0

，就得到

f^{(n)} (0)

的递推公式。步骤如下：①由

f^{'}

写出不含分式的关系式（例如

(1 + x^{2}) f^{'} = 1

）；②两边求

n

阶导数；③令

x = 0

。

证明 / 推导

例（求 $arctan x$ 的 $f^{(n)} (0)$ ）. 由

f^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

得

(1 + x^{2}) f^{'} = 1

。两边求

n

阶导数（

n \geq 1

）。把左端看作

u \cdot v

，其中

u = f^{'}, v = 1 + x^{2}

；因为

v^{'} = 2 x, v^{''} = 2, v^{(k)} = 0 (k \geq 3)

，所以莱布尼茨公式只剩三项，而右端常数的

n

阶导数为

0

，于是

(1 + x^{2}) f^{(n + 1)} + (1 n) (2 x) f^{(n)} + (2 n) (2) f^{(n - 1)} = 0.

令

x = 0

，得

f^{(n + 1)} (0) + n (n - 1) f^{(n - 1)} (0) = 0

，即

f^{(n + 1)} (0) = - n (n - 1) f^{(n - 1)} (0) .

初值为

f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

，因此偶数阶导数全为

0

；奇数阶依次是

f^{'''} (0) = - 2 \cdot 1 = - 2, f^{(5)} (0) = - 12 \cdot (- 2) = 24, \dots

，一般地

f^{(2 m + 1)} (0) = (- 1)^{m} (2 m)!

。用展开式

arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots

核对：

x^{2 m + 1}

的系数为

\frac{( - 1 ) ^{m}}{2 m + 1}

，故

f^{(2 m + 1)} (0) = (2 m + 1)! \cdot \frac{( - 1 ) ^{m}}{2 m + 1} = (- 1)^{m} (2 m)!

，二者相符。

■

💡 小知识

莱布尼茨求乘积

n

阶导的公式

\sum (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}

与二项式展开

(a + b)^{n}

用的是同一组系数

(k n)

。求导与乘方这两件看似无关的事，用的却是同一套帕斯卡三角。数学里这样的结构呼应并不少见。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

y = e^{3 x}

，求

y^{''}

与

n

阶导数

y^{(n)}

。难度 1

每求一次导带出一个因子

3

：

y^{'} = 3 e^{3 x}, y^{''} = 9 e^{3 x} = 3^{2} e^{3 x} .

依此归纳，

y^{(n)} = 3^{n} e^{3 x}

。

例 2 设

y = sin x

，求

y^{''}

与

y^{(n)}

。难度 1

y^{'} = cos x = sin (x + \frac{π}{2})

，

y^{''} = - sin x

。每求一次导相当于自变量加

\frac{π}{2}

，故

y^{(n)} = sin (x + n \cdot \frac{π}{2}) .

例 3 设

y = ln (1 + x)

，求

n

阶导数

y^{(n)}

。难度 2

先算几阶找规律：

y^{'} = (1 + x)^{- 1}, y^{''} = - (1 + x)^{- 2}, y^{'''} = 2 (1 + x)^{- 3}, y^{(4)} = - 6 (1 + x)^{- 4} .

符号交替、系数为阶乘，归纳得

y^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{( 1 + x ) ^{n}} .

例 4 设

y = x^{2} e^{x}

，求

y^{''}

。难度 2

逐次求导：

y^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = e^{x} (x^{2} + 2 x)

。再求导：

y^{''} = e^{x} (x^{2} + 2 x) + e^{x} (2 x + 2) = e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) .

（也可用莱布尼茨公式

(uv)^{''} = u^{''} v + 2 u^{'} v^{'} + u v^{''}

，取

u = e^{x}, v = x^{2}

得同样结果。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

设函数

y = y (x)

由参数方程

{x = 2 sin^{2} t y = t + cos t (t \in (0, \frac{π}{2}))

确定，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = \frac{π}{4}} =

___.

2023 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

y = f (x)

由

{x = 2 t + ∣ t ∣, y = ∣ t ∣ sin t

确定，则（　　）

A $f (x)$ 连续， $f^{'} (0)$ 不存在.
B $f^{'} (0)$ 存在， $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续.
C $f^{'} (x)$ 连续， $f^{''} (0)$ 不存在.
D $f^{''} (0)$ 存在， $f^{''} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续.

2021 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

设函数

y = y (x)

由参数方程

{x = 2 e^{t} + t + 1, y = 4 (t - 1) e^{t} + t^{2}

确定，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 0} =

______.

2020 年 · 数一 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设

{x = t^{2} + 1, y = ln (t + t^{2} + 1),

则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = 1} =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

y = e^{2 x}

，则

y^{(5)} =

（　）

A $2^{5} e^{2 x}$
B $2^{4} e^{2 x}$
C $e^{2 x}$
D $10 e^{2 x}$

练习 2 · 填空题

设

y = cos x

，则

y^{(n)} =

____。

练习 3 · 填空题

设

y = x^{4}

，则

y^{''} =

____。

练习 4 · 选择题

设

y = \frac{1}{x}

，则

y^{(n)} =

（　）

A $\frac{n !}{x ^{n + 1}}$
B $\frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n + 1}}$
C $\frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n}}$
D $\frac{( - 1 ) ^{n - 1} n !}{x ^{n + 1}}$

练习 5 · 填空题

设

y = x e^{x}

，则

y^{''}_{x = 0} =

____。

练习 6 · 选择题

设

y = \frac{1}{x ^{2} - 3 x + 2}

，则

y^{(n)} =

（　）。

A $(- 1)^{n} (n - 1)! [\frac{1}{( x - 2 ) ^{n}} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{n}}]$
B $(- 1)^{n} n! [\frac{1}{( x - 1 ) ^{n + 1}} - \frac{1}{( x - 2 ) ^{n + 1}}]$
C $n! [\frac{1}{( x - 2 ) ^{n + 1}} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{n + 1}}]$
D $(- 1)^{n} n! [\frac{1}{( x - 2 ) ^{n + 1}} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{n + 1}}]$

练习 7 · 填空题

设

y = x^{2} ln (1 + x)

，则

y^{(10)} (0) =

____。

练习 8 · 解答题

设

y = arcsin x

（

- 1 < x < 1

）。

（1）证明

y

满足方程

(1 - x^{2}) y^{''} - x y^{'} = 0

；

（2）由（1）导出

y^{(n)} (0)

的递推关系，并求

y^{(7)} (0)

；

（3）写出

y^{(2 k + 1)} (0)

的一般表达式（

k \geq 0

）。

2017 年 · 数一 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

已知函数

f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}

，则

f^{(3)} (0) =

______.

2013 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设

{x = sin t, y = t sin t + cos t

（

t

为参数），则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{t = \frac{π}{4}} =

______.

高阶导数

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 高阶导数的定义、莱布尼茨公式 (uv)(n)=∑k=0n​Cnk​u(k)v(n−k) 与常用 n 阶导公式表★★ 必会

2. 高阶导数的通项不能只靠观察规律：用数学归纳法严格证明 (sinx)(n)=sin(x+n2π​)★ 要懂

3. 三角函数的幂与乘积：必须先降幂或化积为和差，再求 n 阶导数★★ 必会

4. 泰勒系数法一步求 f(n)(0)：把求高阶导数化为读展开式的系数★★ 必会

5. 微分方程与莱布尼茨公式联用求 f(n)(0)：处理 arctanx、arcsinx 的递推法★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 高阶导数的定义、莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}$ 与常用 $n$ 阶导公式表★★ 必会

2. 高阶导数的通项不能只靠观察规律：用数学归纳法严格证明 $(sin x)^{(n)} = sin (x + n \frac{π}{2})$ ★ 要懂

3. 三角函数的幂与乘积：必须先降幂或化积为和差，再求 $n$ 阶导数★★ 必会

4. 泰勒系数法一步求 $f^{(n)} (0)$ ：把求高阶导数化为读展开式的系数★★ 必会

5. 微分方程与莱布尼茨公式联用求 $f^{(n)} (0)$ ：处理 $arctan x$ 、 $arcsin x$ 的递推法★ 要懂