求导法则（四则、复合、反函数）

§2.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.11 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

6.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）导数与微分的概念③ 掌握后可解锁隐函数与参数方程求导高阶导数不定积分的概念与性质换元积分法与分部积分法多元复合函数求导法则

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 四则求导与反函数求导的正式陈述： $(u \pm v)^{'}$ 、 $(uv)^{'}$ 、 $(u / v)^{'}$ 与 $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y ^{'}}$ ★★ 必会

① 四则求导法则：设

u = u (x), v = v (x)

在点

x

处各自可导，则

(u \pm v)^{'} (uv)^{'} (\frac{u}{v})^{'} = u^{'} \pm v^{'} = u^{'} v + u v^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} (v (x) \neq = 0) .

推论：

(C u)^{'} = C u^{'}

，即常数因子可以提到求导记号之外；

(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}

；多个因子相乘时逐个求导再相加，

(uv w)^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + uv w^{'}

，其中每一项只对一个因子求导，

n

个因子共得

n

项。易错之处：商的分子是导上乘下 $-$ 上乘导下，次序不能颠倒（分子是一个差，颠倒后相差一个负号）；分母是

v^{2}

，不是

v

。以上法则都以

u, v

在该点各自可导为前提；如果其中一个不可导，法则即失效，必须回到定义（参看后面关于隐含前提的一条）。

② 反函数求导法则：设

y = f (x)

在区间

I_{x}

内单调、可导，且 $f^{'} (x) \neq = 0$ ，那么它存在反函数

x = f^{- 1} (y)

，并且

f^{- 1}

在对应的区间内也可导，有

[f^{- 1} (y)]^{'} = \frac{1}{f ^{'} ( x )}, 即 \frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} .

几何意义：

y = f (x)

与

x = f^{- 1} (y)

表示同一条曲线，只是自变量与因变量的角色对调，因此切线斜率

\frac{d y}{d x}

与

\frac{d x}{d y}

互为倒数。例（反三角函数导数的来历）：由

y = arcsin x

得

x = sin y, y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

，故

(arcsin x)^{'} = \frac{1}{( sin y ) ^{'}} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{1 - sin ^{2} y} = \frac{1}{1 - x ^{2}}

（因为

cos y > 0

，所以取正根）。必须注意：互为倒数只对一阶导数成立，二阶导数

\frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} \neq = \frac{1}{y ^{''}}

（正确的公式见后面专门的一条）。

证明 / 推导

乘积法则的证明（用导数定义，添项减项）. 因为

Δ (uv) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x)

，插入

\mp u (x) v (x + Δ x)

，得

Δ (uv) = [u (x + Δ x) - u (x)] v (x + Δ x) + u (x) [v (x + Δ x) - v (x)] .

两边除以

Δ x

并令

Δ x \to 0

。由于

v

可导必连续，

v (x + Δ x) \to v (x)

，于是

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

。

■

商法则的证明. 先求

(\frac{1}{v})^{'}

：

Δ (\frac{1}{v}) = \frac{1}{v ( x + Δ x )} - \frac{1}{v ( x )} = \frac{- Δ v}{v ( x + Δ x ) v ( x )}

，两边除以

Δ x

后取极限，得

- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}

。再用乘积法则，

(\frac{u}{v})^{'} = (u \cdot \frac{1}{v})^{'} = \frac{u ^{'}}{v} - \frac{u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

。

■

反函数法则的证明. 设

Δ x = f^{- 1} (y_{0} + Δ y) - f^{- 1} (y_{0})

。由单调性可知

Δ y \neq = 0 ⟺ Δ x \neq = 0

，因而下面的除法是合法的；又由单调连续函数的反函数仍然连续，当

Δ y \to 0

时有

Δ x \to 0

。于是

(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = Δ y \to 0 lim \frac{Δ x}{Δ y} = Δ x \to 0 lim \frac{1}{Δ y /Δ x} = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} (f^{'} (x_{0}) \neq = 0) . ■

这里有两处容易被忽略的依据：

Δ x \neq = 0

依赖于单调性，

Δ x \to 0

依赖于反函数的连续性。

举例说明

真题（2015·数一，解答题）.（Ⅰ）设

u (x), v (x)

可导，利用导数定义证明

[u (x) v (x)]^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

；（Ⅱ）设

u_{1} (x), \dots, u_{n} (x)

可导，

f (x) = u_{1} (x) u_{2} (x) \dots u_{n} (x)

，写出

f (x)

的求导公式。

解.（Ⅰ）就是上面用添项减项所作的证明。求导法则本身也会成为考题，因此按定义的证明必须能够独立写完整，其中有两步是要害：插入

u (x) v (x + Δ x)

把增量拆成两组差；最后用

v

可导必连续这一事实完成取极限。（Ⅱ）把两个因子的法则用归纳法推广，即得逐个求导的公式

f^{'} (x) = u_{1}^{'} u_{2} \dots u_{n} + u_{1} u_{2}^{'} \dots u_{n} + \dots + u_{1} u_{2} \dots u_{n}^{'} = i = 1 \sum n u_{1} \dots u_{i - 1} u_{i}^{'} u_{i + 1} \dots u_{n},

式中每一项恰好只对一个因子求导，其余因子原样保留，共有

n

项。

2. 链式法则的严格证明：补上 $Δ u = 0$ 这一被通常证法回避的情形

通常的证法是对

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x}

取极限，但这里留有一个逻辑漏洞：如果内层增量

Δ u = g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0}) = 0

（例如

g

在

x_{0}

附近反复取同一个值），那么

\frac{Δ y}{Δ u}

的分母为零，这个除法是不允许的。严格证明的办法是改用可微的另一种刻画，即增量可以写成线性主部与高阶无穷小之和，从而避免除以 $Δ u$ 。由此也可以看出，可微这一提法比差商的极限更为本质；对于多元函数，链式法则只能按这种方式证明。

证明 / 推导

证. 设

u = g (x)

在

x_{0}

可导，

y = f (u)

在

u_{0} = g (x_{0})

可导。定义

α (Δ u) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{f ( u _{0} + Δ u ) - f ( u _{0} )}{Δ u} - f^{'} (u_{0}), 0, Δ u \neq = 0, Δ u = 0,

由

f

在

u_{0}

处可导知

lim_{Δ u \to 0} α (Δ u) = 0 = α (0)

，即

α

在

0

处连续，并且对一切

Δ u

（包括

0

）都有恒等式

f (u_{0} + Δ u) - f (u_{0}) = [f^{'} (u_{0}) + α (Δ u)] Δ u .

（当

Δ u = 0

时两边都等于

0

，恒等式仍然成立，这一步避免了除以

Δ u

。）取

Δ u = g (x_{0} + Δ x) - g (x_{0})

，两边除以

Δ x

，得

\frac{Δ y}{Δ x} = [f^{'} (u_{0}) + α (Δ u)] \frac{Δ u}{Δ x} .

当

Δ x \to 0

时，由

g

连续知

Δ u \to 0

，于是

α (Δ u) \to 0

，同时

\frac{Δ u}{Δ x} \to g^{'} (x_{0})

。取极限即得

\frac{d y}{d x}_{x_{0}} = f^{'} (u_{0}) g^{'} (x_{0})

。

■

3. 幂指函数的导数等于按幂函数与按指数函数求得的两项之和★★ 必会

对

y = u (x)^{v (x)} (u > 0)

求导，除取对数的办法外，还有一个形式对称、便于记忆的公式：

(u^{v})^{'} = 把 v 冻住（幂函数导数） v u^{v - 1} u^{'} + 把 u 冻住（指数函数导数） u^{v} ln u \cdot v^{'} .

它是怎样得来的：写

u^{v} = e^{v l n u}

，则

y^{'} = e^{v l n u} (v ln u)^{'} = u^{v} (v^{'} ln u + v \cdot \frac{u ^{'}}{u})

，展开即得上式。直观的解释：右端第一项是把指数看作常数、只让底变化时按幂函数求得的导数，加上的第二项是把底看作常数、只让指数变化时按指数函数求得的导数，两者之和相当于两个偏导数相加，这正预示了多元函数的链式法则。易错之处：只写出其中一项（只当作幂函数写

v u^{v - 1} u^{'}

，或只当作指数函数写

u^{v} ln u v^{'}

）都只对了一半。

证明 / 推导

证（不取对数的直接证明）. 设

u, v

都在

x_{0}

处可导，且

u (x_{0}) > 0

。因可导必连续，故存在

x_{0}

的一个邻域，在其中恒有

u (x) > 0

。下面的讨论都在这个邻域内进行。
记

u_{0} = u (x_{0}), v_{0} = v (x_{0})

，

u_{1} = u (x_{0} + Δ x), v_{1} = v (x_{0} + Δ x)

。把全增量作添项减项的分解：

Δ y = u_{1}^{v_{1}} - u_{0}^{v_{0}} = 只有底在变 (u_{1}^{v_{1}} - u_{0}^{v_{1}}) + 只有指数在变 (u_{0}^{v_{1}} - u_{0}^{v_{0}}) .

先看第一项。固定指数

v_{1}

，考察幂函数

φ (t) = t^{v_{1}} (t > 0)

，它可导，且

φ^{'} (t) = v_{1} t^{v_{1} - 1}

。因

u_{0}, u_{1}

都为正，以它们为端点的闭区间含于

t > 0

之内。在这个区间上用拉格朗日中值定理，得

u_{1}^{v_{1}} - u_{0}^{v_{1}} = v_{1} θ^{v_{1} - 1} (u_{1} - u_{0}),

其中

θ

介于

u_{0}

与

u_{1}

之间。如果

u_{1} = u_{0}

，那么上式两端都为零，取

θ = u_{0}

仍然成立。
再看第二项。固定底

u_{0}

，考察指数函数

ψ (s) = u_{0}^{s} = e^{s l n u_{0}}

，它可导，且

ψ^{'} (s) = u_{0}^{s} ln u_{0}

。同样用拉格朗日中值定理，得

u_{0}^{v_{1}} - u_{0}^{v_{0}} = u_{0}^{η} ln u_{0} (v_{1} - v_{0}),

其中

η

介于

v_{0}

与

v_{1}

之间。
把两式相加，再除以

Δ x

，得

\frac{Δ y}{Δ x} = v_{1} θ^{v_{1} - 1} \cdot \frac{u _{1} - u _{0}}{Δ x} + u_{0}^{η} ln u_{0} \cdot \frac{v _{1} - v _{0}}{Δ x} .

令

Δ x \to 0

。由

u, v

连续得

u_{1} \to u_{0}

，

v_{1} \to v_{0}

；又

θ

介于

u_{0}, u_{1}

之间，故

θ \to u_{0}

；同理

η \to v_{0}

。因

u_{0} > 0

，可写

θ^{v_{1} - 1} = e^{(v_{1} - 1) l n θ}

，由对数函数与指数函数的连续性得

θ^{v_{1} - 1} \to u_{0}^{v_{0} - 1}

，同理

u_{0}^{η} \to u_{0}^{v_{0}}

。而两个差商分别趋于

u^{'} (x_{0})

与

v^{'} (x_{0})

。于是

y^{'} (x_{0}) = v_{0} u_{0}^{v_{0} - 1} u^{'} (x_{0}) + u_{0}^{v_{0}} ln u_{0} \cdot v^{'} (x_{0}),

这就证明了两项公式。上面的分解也说明了两项的来源。第一项由底的变化产生，第二项由指数的变化产生。二者相加才是全部的增量。
最后交代条件。

u > 0

不能去掉，因为

ln u

要有意义，而且底不为正时

u^{v}

对一般的实指数

v

没有定义。

■

举例说明

例. 求

y = (sin x)^{x}

的导数（

sin x > 0

）。
解. 应用上面的两项公式，这里

u = sin x, v = x

，

u^{'} = cos x, v^{'} = 1

，于是

y^{'} = v u^{v - 1} u^{'} + u^{v} ln u \cdot v^{'} = x (sin x)^{x - 1} cos x + (sin x)^{x} ln sin x .

提出公因子

(sin x)^{x}

，得

y^{'} = (sin x)^{x} (\frac{x cos x}{sin x} + ln sin x) = (sin x)^{x} (x cot x + ln sin x) .

所得结果与取对数求导法完全一致，但省去了写出

ln y

的步骤。

■

4. 反函数的二阶导数不是 $\frac{1}{y ^{''}}$ ：正确公式 $\frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} = - \frac{y ^{''}}{( y ^{'} ) ^{3}}$ ★ 要懂

一阶的关系式

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y ^{'}}

便于记忆，但二阶导数决不是

\frac{1}{y ^{''}}

。原因在于：

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y ^{'}}

中的

y^{'}

是

x

的函数，再对

y

求导时必须借助链式法则乘上

\frac{d x}{d y}

。反函数把

x, y

的角色对调，因此每一次对

y

求导都要换算成对

x

求导。这一点在参数方程与隐函数的二阶导数中反复出现，道理相同：求高阶导数时不能简单地把一阶公式再套用一次。

证明 / 推导

推导. 记

y^{'} = \frac{d y}{d x}, y^{''} = \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

，则

\frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} = \frac{d}{d y} (\frac{d x}{d y}) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{y ^{'}}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{y ^{'}}) \cdot \frac{d x}{d y} = (- \frac{y ^{''}}{( y ^{'} ) ^{2}}) \cdot \frac{1}{y ^{'}} = - \frac{y ^{''}}{( y ^{'} ) ^{3}} .

验证（取 $y = x^{3}$ ）. 此时

y^{'} = 3 x^{2}, y^{''} = 6 x

，按公式算得

- \frac{6 x}{( 3 x ^{2} ) ^{3}} = - \frac{6 x}{27 x ^{6}} = - \frac{2}{9 x ^{5}}

。另一方面，直接由反函数

x = y^{1/3}

计算，

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3} y^{- 2/3}, \frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} = - \frac{2}{9} y^{- 5/3}

；再由

y = x^{3}

得

y^{5/3} = x^{5}

，于是结果同样是

- \frac{2}{9 x ^{5}}

，与公式完全一致。

■

5. 求导法则的隐含前提：可导与不可导之和必不可导，但二者之积可能可导★ 要懂

四则求导法则

(u \pm v)^{'}, (uv)^{'}, (u / v)^{'}

都以 $u, v$ 在该点各自可导为前提；如果其中有一个在该点不可导，法则就不再适用，只能回到定义去讨论。由此得到两条常被忽视的结论：(1) 可导函数与不可导函数之和必不可导，否则由和可导反推被加的那一项也可导，与假设矛盾；(2) 可导函数与不可导函数之积则不一定。乘积是否可导，要看不可导的那个因子的不良性质能否被另一因子在该点消去，而这往往取决于另一因子在该点是否为零。分段函数与含绝对值的函数常按这一点命题，需要特别留意。

证明 / 推导

证. 设

u

在

x_{0}

处可导，

v

在

x_{0}

处不可导。

（1）和必不可导. 用反证法。如果

s = u + v

在

x_{0}

处可导，那么

v = s - u

是两个在

x_{0}

处可导的函数之差。由差的求导法则，

v

在

x_{0}

处可导，与假设矛盾。所以

u + v

在

x_{0}

处不可导。

（2）若 $u (x_{0}) \neq = 0$ ，则积必不可导. 仍用反证法。设

u (x_{0}) \neq = 0

，而

h = uv

在

x_{0}

处可导。因为

u

在

x_{0}

处可导，所以它在该点连续。由极限的局部保号性，存在

x_{0}

的一个邻域，在其中

u \neq = 0

。于是

\frac{1}{u}

在这个邻域内有定义，且在

x_{0}

处可导。在该邻域内

v = h \cdot \frac{1}{u}

。由乘积的求导法则，

v

在

x_{0}

处可导，与假设矛盾。所以

uv

在

x_{0}

处不可导。

把（2）反过来说就是：若

v

在

x_{0}

处不可导，而乘积

uv

在

x_{0}

处可导，则必有

u (x_{0}) = 0

。这就证明了可导因子在该点取零值是乘积可导的必要条件。

必须注意，这个条件并不充分。取

u (x) = x

，取

v (x) = sin \frac{1}{x} (x \neq = 0)

且

v (0) = 0

，则

v

在

0

处不连续，因而不可导，而

u (0) = 0

。但是

x \to 0 lim \frac{u ( x ) v ( x ) - 0}{x - 0} = x \to 0 lim sin \frac{1}{x}

不存在，故

uv

在

0

处仍不可导。由此可见，

u (x_{0}) = 0

只是消去不良性质的必要前提，能否真正消去还要回到定义去验算。

■

举例说明

例. 判断

h (x) = x ∣ x ∣

在

x = 0

处是否可导。
解. 因为

∣ x ∣

在

0

处不可导，所以不能使用乘积法则，必须回到定义。由

h (x) = {x^{2}, - x^{2}, x \geq 0, x < 0,

h^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{x ∣ x ∣ - 0}{x} = x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0,

可见

h

在

0

处可导，且

h^{'} (0) = 0

。这是因为所乘的因子

x

在

0

处为零，把

∣ x ∣

在原点处的尖点磨平了。作为对照：

∣ x ∣ \cdot 1 = ∣ x ∣

（所乘的可导因子是常数

1

，它在

0

处不为零）在

0

处仍不可导。由此可见，一个不可导函数

\times

可导因子之后能否变为可导，取决于该因子在这一点是否为零。

■

💡 小知识

链式法则

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

看上去像是把分数里的

d u

约掉了。莱布尼茨记号的妙处正在于此：它形式上像约分，做的却是两个变化率相乘，可以说是一个会骗人却总说真话的谎言。也正因为如此，物理里换元、换单位时才能放心地上下一约。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

y = 2 x^{3} + x - \frac{3}{x}

（

x > 0

）的导数。难度 1

把各项写成幂函数：

y = 2 x^{3} + x^{1/2} - 3 x^{- 1}

。逐项用

(x^{μ})^{'} = μ x^{μ - 1}

：

y^{'} = 6 x^{2} + \frac{1}{2} x^{- 1/2} + 3 x^{- 2} = 6 x^{2} + \frac{1}{2 x} + \frac{3}{x ^{2}} .

例 2 求下列函数的导数：(1)

y = x^{2} ln x

；(2)

y = \frac{x}{x ^{2} + 1}

。难度 1

(1) 用乘积法则

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

：

y^{'} = 2 x \cdot ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x ln x + x = x (2 ln x + 1) .

(2) 用商法则

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

：

y^{'} = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .

例 3 求下列复合函数的导数：(1)

y = (2 x + 1)^{10}

；(2)

y = e^{s i n x}

；(3)

y = ln (cos x)

。难度 2

链式法则「由外向内，逐层带出内层导数」。
(1)

y^{'} = 10 (2 x + 1)^{9} \cdot (2 x + 1)^{'} = 10 (2 x + 1)^{9} \cdot 2 = 20 (2 x + 1)^{9}

。
(2)

y^{'} = e^{s i n x} \cdot (sin x)^{'} = e^{s i n x} cos x

。
(3)

y^{'} = \frac{1}{cos x} \cdot (cos x)^{'} = \frac{- sin x}{cos x} = - tan x

。

例 4 用对数求导法求

y = x^{x}

（

x > 0

）的导数。难度 2

幂指函数不能直接套幂函数或指数函数公式。两边取对数：

ln y = x ln x

。两边对

x

求导（左边

y

是

x

的函数）：

\frac{y ^{'}}{y} = ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1.

故

y^{'} = y (ln x + 1) = x^{x} (ln x + 1)

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2018 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

下列函数中，在

x = 0

处不可导的是（　　）

A $f (x) = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣$
B $f (x) = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣$
C $f (x) = cos ∣ x ∣$
D $f (x) = cos ∣ x ∣$

2015 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

（Ⅰ）设函数

u (x), v (x)

可导，利用导数定义证明

[u (x) v (x)]^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

；

（Ⅱ）设函数

u_{1} (x), u_{2} (x), \dots, u_{n} (x)

可导，

f (x) = u_{1} (x) u_{2} (x) \dots u_{n} (x)

，写出

f (x)

的求导公式。

2012 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)

，其中

n

为正整数，则

f^{'} (0) =

（　　）

A $(- 1)^{n - 1} (n - 1)!$ .
B $(- 1)^{n} (n - 1)!$ .
C $(- 1)^{n - 1} n!$ .
D $(- 1)^{n} n!$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

(sin 2 x)^{'} =

（　）

A $cos 2 x$
B $2 cos 2 x$
C $- 2 cos 2 x$
D $2 sin 2 x$

练习 2 · 选择题

设

y = e^{x^{2}}

，则

y^{'} =

（　）

A $e^{x^{2}}$
B $2 x e^{x^{2}}$
C $x^{2} e^{x^{2} - 1}$
D $2 x e^{x^{2} - 1}$

练习 3 · 填空题

设

y = ln (1 + x^{2})

，则

y^{'} =

____。

练习 4 · 填空题

设

y = x e^{x}

，则

y^{'}_{x = 0} =

____。

练习 5 · 选择题

设

y = x^{x}

（

x > 0

），则

y^{'} =

（　）

A $x \cdot x^{x - 1}$
B $x^{x} ln x$
C $x^{x} (ln x + 1)$
D $x^{x - 1}$

1998 年 · 数一 · 第 7 题 · 选择题 · 3 分

函数

f (x) = (x^{2} - x - 2) ∣ x^{3} - x ∣

不可导点的个数是（　　）

A $3$
B $2$
C $1$
D $0$

1988 年 · 数一 · 第 4 题 · 填空题 · 3 分

设

f (t) = x \to \infty lim t (1 + \frac{1}{x})^{2 t x}

，则

f^{'} (t) =

___.

求导法则（四则、复合、反函数）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 四则求导与反函数求导的正式陈述：(u±v)′、(uv)′、(u/v)′ 与 dydx​=y′1​★★ 必会

2. 链式法则的严格证明：补上 Δu=0 这一被通常证法回避的情形

3. 幂指函数的导数等于按幂函数与按指数函数求得的两项之和★★ 必会

4. 反函数的二阶导数不是 y′′1​：正确公式 dy2d2x​=−(y′)3y′′​★ 要懂

5. 求导法则的隐含前提：可导与不可导之和必不可导，但二者之积可能可导★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 四则求导与反函数求导的正式陈述： $(u \pm v)^{'}$ 、 $(uv)^{'}$ 、 $(u / v)^{'}$ 与 $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y ^{'}}$ ★★ 必会

2. 链式法则的严格证明：补上 $Δ u = 0$ 这一被通常证法回避的情形

4. 反函数的二阶导数不是 $\frac{1}{y ^{''}}$ ：正确公式 $\frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} = - \frac{y ^{''}}{( y ^{'} ) ^{3}}$ ★ 要懂