导数与微分的概念

§2.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.96 分/卷近 11 年平均

9/11 年出现年份

13.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限函数的连续性与间断点③ 掌握后可解锁求导法则（四则、复合、反函数）微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）洛必达法则函数的单调性与极值不定积分的概念与性质偏导数全微分

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 微分的正式定义： $Δ y = A Δ x + o (Δ x)$ 、 $d y = f^{'} (x_{0}) d x$ ，可微 $⟺$ 可导★★ 必会

① 微分的定义：设

y = f (x)

在

x_{0}

的某邻域内有定义。如果函数的增量

Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})

能写成

Δ y = A Δ x + o (Δ x) (Δ x \to 0),

其中

A

只与

x_{0}

有关，而与 $Δ x$ 无关，那么称

f

在

x_{0}

处可微，并把增量中的线性主部称为微分：

d y_{x = x_{0}} = A Δ x .

这里所谓主部，是指舍去的

o (Δ x)

比保留的线性项高阶，因此

Δ x

越小，这个近似就越精确。

② 可微 $⟺$ 可导（一元函数）：

f

在

x_{0}

处可微的充分必要条件是

f

在

x_{0}

处可导，且此时

A = f^{'} (x_{0})

，即

d y = f^{'} (x_{0}) Δ x = f^{'} (x_{0}) d x,

其中对自变量约定

d x = Δ x

（把

y = x

代入定义即得

d x = 1 \cdot Δ x

）。于是记号

f^{'} (x) = \frac{d y}{d x}

才真正成为两个微分之商，导数也因此又称微商。三个记号必须分清：

Δ y

是曲线上的真实增量，

d y

是切线上的增量，二者之差

Δ y - d y = o (Δ x)

。还应注意，可微 $⟺$ 可导只是一元函数才有的性质；对于多元函数，可微严格强于偏导数存在。定义之所以采用线性主部而不用差商，原因正在于此。

③ 几何意义与一阶近似：在点

(x_{0}, f (x_{0}))

处，

d y = f^{'} (x_{0}) Δ x

恰好是切线上升的高度。因此，可微就是说曲线在局部可以用切线（即线性函数）来近似代替。近似公式

f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x

就是舍去

o (Δ x)

之后得到的，它是泰勒公式（§2.6）的一阶情形；至于误差

Δ y - d y

的符号，则由曲线的凹凸性决定（见例题）。

证明 / 推导

证（可微 $⟺$ 可导）.（

\Leftarrow

）设

f^{'} (x_{0})

存在，即

\frac{Δ y}{Δ x} \to f^{'} (x_{0})

。令

α = \frac{Δ y}{Δ x} - f^{'} (x_{0})

，则

α \to 0 (Δ x \to 0)

，于是

Δ y α Δ x = f^{'} (x_{0}) Δ x + α Δ x = o (Δ x)

这恰是定义所要求的形式，其中

A = f^{'} (x_{0})

，因此函数可微。（

\Rightarrow

）设

Δ y = A Δ x + o (Δ x)

，两边除以

Δ x

，得

\frac{Δ y}{Δ x} = A + \frac{o ( Δ x )}{Δ x} ⟶ A (Δ x \to 0),

右端的极限存在，因此

f

在

x_{0}

处可导，且

f^{'} (x_{0}) = A

。

■

由此还同时得到：定义中的

A

是唯一的（它必须等于

f^{'} (x_{0})

），所以微分也是唯一确定的。

举例说明

真题（2006·数一，选择）. 设

y = f (x)

具有二阶导数，且

f^{'} (x) > 0, f^{''} (x) > 0

，

Δ x

为

x

在

x_{0}

处的增量，

Δ y

与

d y

分别为相应的增量与微分。若

Δ x > 0

，则（　）
(A)

0 < d y < Δ y

　(B)

0 < Δ y < d y

　(C)

Δ y < d y < 0

　(D)

d y < Δ y < 0

解. 按定义

d y = f^{'} (x_{0}) Δ x > 0

。对真实增量应用拉格朗日中值定理（§2.5）：

Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f^{'} (ξ) Δ x

，其中

ξ \in (x_{0}, x_{0} + Δ x)

。因为

f^{''} > 0

，所以

f^{'}

单调增加，从而

f^{'} (ξ) > f^{'} (x_{0}) > 0

；两边同乘以

Δ x > 0

，得

Δ y = f^{'} (ξ) Δ x > f^{'} (x_{0}) Δ x = d y > 0.

故选 (A)。从几何上看：

f^{''} > 0

表明曲线是凹的（

\cup

），曲线位于切线的上方，所以曲线的增量

Δ y

大于切线的增量

d y

。由此可见，误差

Δ y - d y = o (Δ x)

的符号是由曲线的凹凸性决定的。

2. 用定义求极限时须配凑增量：把差商化回 $\frac{f ( x _{0} + Δ ) - f ( x _{0} )}{Δ}$ 的形式★★ 必会

已知

f

在

x_{0}

处可导，求形如

lim_{h \to 0} \frac{f ( x _{0} + α h ) - f ( x _{0} + β h )}{h}

的极限，是考研中对导数定义最常见的考法。一般做法：可导所提供的信息只有

\frac{f ( x _{0} + t ) - f ( x _{0} )}{t} \to f^{'} (x_{0})

（这里

t \to 0

，且与趋近的方式无关），因此必须把每个差商都配凑成以 $f (x_{0})$ 为基准的标准形式，办法是加上一项再减去一项：

\frac{f ( x _{0} + α h ) - f ( x _{0} + β h )}{h} = \frac{[ f ( x _{0} + α h ) - f ( x _{0} )] - [ f ( x _{0} + β h ) - f ( x _{0} )]}{h} \to α f^{'} (x_{0}) - β f^{'} (x_{0}) .

为什么只能使用 $x_{0}$ 处的可导性：题设往往只给出

f

在一点

x_{0}

处可导，那么在

x_{0}

附近的其他点处

f

甚至未必连续，因此绝不能对动点再求导数或使用洛必达法则。易错之处：对称差商

\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} - h )}{2 h}

存在，推不出

f^{'} (x_{0})

存在。例如取

f (x) = ∣ x ∣, x_{0} = 0

，对称差商恒等于

0

，但

f

在

0

处不可导。

证明 / 推导

证（配凑公式的一般形式）. 设

f

在

x_{0}

处可导，

α, β

为常数。先证一个引理：

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + α h ) - f ( x _{0} )}{h} = α f^{'} (x_{0}) .

如果

α = 0

，那么分子恒为零，等式两端都是

0

，结论成立。如果

α \neq = 0

，那么令

t = α h

。当

h \to 0

且

h \neq = 0

时，有

t \to 0

且

t \neq = 0

，于是

\frac{f ( x _{0} + α h ) - f ( x _{0} )}{h} = α \cdot \frac{f ( x _{0} + t ) - f ( x _{0} )}{t} .

由可导的定义，右端的分式当

t \to 0

时趋于

f^{'} (x_{0})

。因此整个式子趋于

α f^{'} (x_{0})

，引理得证。

这里只用到

t \to 0

，并未限定

t

从哪一侧趋于零。可导所要求的恰是这样一个双侧极限，所以

α

取正数或负数都可以。

有了引理，在原式的分子中减去再加上

f (x_{0})

，得

\frac{f ( x _{0} + α h ) - f ( x _{0} + β h )}{h} = \frac{f ( x _{0} + α h ) - f ( x _{0} )}{h} - \frac{f ( x _{0} + β h ) - f ( x _{0} )}{h} .

右端两项的极限分别为

α f^{'} (x_{0})

与

β f^{'} (x_{0})

，都存在。由极限的四则运算法则，

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + α h ) - f ( x _{0} + β h )}{h} = (α - β) f^{'} (x_{0}) .

这就证明了配凑的做法总能奏效，并且给出了结果。

■

由此还可以得到一条推论。取

α = 1, β = - 1

，得

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} - h )}{2 h} = f^{'} (x_{0}),

即可导必推出对称差商的极限存在，且等于导数。反过来不成立，前面所举的

f (x) = ∣ x ∣

就是反例。由此可见，对称差商存在是比可导弱的条件，两者不能互推。

举例说明

例. 设

f

在

x = 0

处可导，

f (0) = 0

，

f^{'} (0) = 2

，求

x \to 0 lim \frac{f ( 1 - cos x )}{x ^{2}}

。
解. 记

t = 1 - cos x \to 0

。因为

f (0) = 0

，所以

\frac{f ( 1 - cos x )}{x ^{2}} = \to f^{'} (0) = 2 \frac{f ( 1 - cos x ) - f ( 0 )}{1 - cos x} \cdot \to 1/2 \frac{1 - cos x}{x ^{2}} .

当

1 - cos x \to 0

时，第一个因子趋于

f^{'} (0) = 2

（这里只用到

f

在

0

处可导）；第二个因子由等价无穷小

1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}

得

\frac{1}{2}

。因此所求极限

= 2 \times \frac{1}{2} = 1

。

■

3. 导数极限定理：在分界点可以先分段求导再取极限，但必须先有连续性★★ 必会

前面已经指出，

lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x)

未必等于

f^{'} (x_{0})

；但在适当的条件下二者相等，这就是导数极限定理：设

f

在

x_{0}

处连续，在

x_{0}

的某个去心邻域内可导，如果

lim_{x \to x_{0}^{+}} f^{'} (x) = A

（有限或为

\infty

），那么右导数

f_{+}^{'} (x_{0}) = A

；左侧的情形与此相类似。意义：判断分段函数在分界点处的可导性时，不必回到差商的定义，只需对每一段求导后再取单侧极限。但必须先验证 $f$ 在该点连续，因为不连续的点必定不可导，也就谈不上求导。必须注意：如果

lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x)

因振荡而不存在，那么定理的条件不成立，此时不能据此断言

f^{'} (x_{0})

不存在（反例见下一条中的

x^{2} sin \frac{1}{x}

）。可见这个定理只能用来肯定导数存在，不能用来否定。

证明 / 推导

证（右导数）. 因为

f

在

x_{0}

处连续，在

(x_{0}, x_{0} + δ)

内可导，所以对任意

x \in (x_{0}, x_{0} + δ)

，

f

在

[x_{0}, x]

上满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在

ξ \in (x_{0}, x)

使

\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = f^{'} (ξ) .

当

x \to x_{0}^{+}

时，由夹逼可知

ξ \to x_{0}^{+}

，于是右端

f^{'} (ξ) \to A

。因此

f_{+}^{'} (x_{0}) = x \to x_{0}^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = A .

■

证明中用到了拉格朗日中值定理，由此可见

f

在

x_{0}

处的连续性不可省略，有了它才能在

[x_{0}, x]

上使用中值定理。

4. 可导 $\neq =$ 导函数连续：由 $x^{2} sin \frac{1}{x}$ 看三个条件的强弱★ 要懂

连续、可导、导函数连续（即属于

C^{1}

）这三个条件一个比一个强。下面这个函数就是它们之间的分水岭：

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} sin \frac{1}{x}, 0, x \neq = 0, x = 0,

它在

0

处可导，但导函数在

0

处不连续。这个例子说明两点：(1) 由

lim_{x \to 0} f^{'} (x)

不存在推不出

f^{'} (0)

不存在，这就是上一条导数极限定理所说的因振荡而失效的情形；(2) 判断分界点处的可导性时，导数极限定理只能用来肯定，不能用来否定。作为对照，

g (x) = x sin \frac{1}{x}

（

x \neq = 0

，

g (0) = 0

）在

0

处连续但不可导，因为差商

sin \frac{1}{x}

没有极限。两个函数只相差一个因子

x

，可导性却大不相同。由此可见，乘上一个高阶无穷小可以使函数变得可导。

举例说明

验证. 按定义求

f^{'} (0)

：

f^{'} (0) = x \to 0 lim \frac{x ^{2} sin \frac{1}{x} - 0}{x} = x \to 0 lim x sin \frac{1}{x} = 0

（这里用了夹逼准则：

x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣ \to 0

），可见

f^{'} (0) = 0

存在。而当

x \neq = 0

时

f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} + x^{2} cos \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{x ^{2}}) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x} .

当

x \to 0

时

2 x sin \frac{1}{x} \to 0

，而

cos \frac{1}{x}

在

[- 1, 1]

之间无限振荡，故

lim_{x \to 0} f^{'} (x)

不存在。于是

f^{'} (0) = 0

虽然存在，却不等于

lim_{x \to 0} f^{'} (x)

（后者根本不存在）。这说明导函数在

0

处有第二类间断点。

■

5. 微分的形式不变性： $d y = f^{'} (u) d u$ 与 $u$ 是不是自变量无关

设

y = f (u)

。当

u

为自变量时，

d y = f^{'} (u) d u

就是微分的定义；形式不变性指出：即使

u = g (x)

是中间变量，这个式子的形式仍然成立。事实上，这时

y = f (g (x))

，由链式法则得

d y = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) d x

；而

d u = g^{'} (x) d x

，代回即得

d y = f^{'} (u) d u

。意义：(1) 它是第一类换元积分（凑微分） 的根据，

\int f^{'} (u) d u

中的

u

可以换成任意可微函数；(2) 隐函数、参数方程、微分方程都可以统一地用对等式两边取微分的办法处理，不必区分哪一个是自变量。易错之处：形式不变的只是一阶微分；二阶微分

d^{2} y

不具有这一性质，当出现中间变量时会多出

f^{'} (u) d^{2} u

一项。

证明 / 推导

证（二阶微分不再具有形式不变性）. 设

y = f (u)

与

u = g (x)

都二阶可导，

x

为自变量。按约定，

d x

是任意给定的增量，它与

x

无关，因此

d (d x) = 0

。

先设

u

为自变量。这时

d u

也与

u

无关。对

d y = f^{'} (u) d u

再取一次微分，可以把

d u

当作常数提出，得

d^{2} y = d (f^{'} (u) d u) = f^{''} (u) d u^{2} .

再设

u = g (x)

为中间变量。由形式不变性得

d y = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) d x

。右端是

x

的函数与常数

d x

之积。对它再取一次微分，由乘积的求导法则得

d^{2} y = (f^{''} (g (x)) [g^{'} (x)]^{2} + f^{'} (g (x)) g^{''} (x)) d x^{2} .

注意

d u = g^{'} (x) d x

，所以

d u^{2} = [g^{'} (x)]^{2} d x^{2}

。又

d^{2} u = d (g^{'} (x) d x) = g^{''} (x) d x^{2}

。把这两式代回，得

d^{2} y = f^{''} (u) d u^{2} + f^{'} (u) d^{2} u .

与

u

为自变量的情形相比，右端多出一项

f^{'} (u) d^{2} u

。这就证明了二阶微分不具有形式不变性。

由此还可以看出这一项何时消失。因为

d^{2} u = g^{''} (x) d x^{2}

，所以它为零当且仅当

g^{''} (x) \equiv 0

，即

u = a x + b

。因此只有中间变量是

x

的一次函数时，二阶微分才保持原来的形式。一阶的情形之所以不同，是因为那里只须把

g^{'} (x) d x

整体记作

d u

，无须再对

d u

求一次微分。

■

举例说明

例. 用微分形式不变性求

d (arctan x^{2})

。
解. 设

u = x^{2}

，则

d (arctan u) = \frac{1}{1 + u ^{2}} d u

。又

d u = d (x^{2}) = 2 x d x

，代入上式得

d (arctan x^{2}) = \frac{1}{1 + x ^{4}} \cdot 2 x d x = \frac{2 x}{1 + x ^{4}} d x .

无论把

u

看作自变量还是看作

x^{2}

，写出微分的规则完全相同。形式不变性的便利之处正在于此。

■

💡 小知识

莱布尼茨发明的

\frac{d y}{d x}

记号故意写成分数的样子，牛顿则在字母上头加一点，写作

\overset{y}{˙}

。两套记号的背后，是两位巨人关于微积分发明权的世纪之争。至于

0/0

这个悖论何时才被真正说清楚，还要再等一百多年，直到柯西和魏尔斯特拉斯用极限给无穷小下了严格的定义。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用导数的定义求

f (x) = x^{2}

在

x = 2

处的导数

f^{'} (2)

。难度 1

由定义

f^{'} (2) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( 2 + Δ x ) - f ( 2 )}{Δ x}

。代入

f (x) = x^{2}

：

f^{'} (2) = Δ x \to 0 lim \frac{( 2 + Δ x ) ^{2} - 2 ^{2}}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{4Δ x + ( Δ x ) ^{2}}{Δ x} = Δ x \to 0 lim (4 + Δ x) = 4.

所以

f^{'} (2) = 4

。

例 2 用导数的定义求

f (x) = \frac{1}{x}

的导函数

f^{'} (x)

（

x \neq = 0

）。难度 1

按定义

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{\frac{1}{x + Δ x} - \frac{1}{x}}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{\frac{x - ( x + Δ x )}{( x + Δ x ) x}}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{- Δ x}{( x + Δ x ) x Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{- 1}{( x + Δ x ) x} = - \frac{1}{x ^{2}} .

所以

f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}

。

例 3 求曲线

y = x^{2}

在点

(1, 1)

处的切线方程与法线方程。难度 1

先求斜率：

y^{'} = 2 x

，故切线斜率

k = y^{'}_{x = 1} = 2

。
切线过

(1, 1)

：

y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1.

法线斜率为

- \frac{1}{k} = - \frac{1}{2}

：

y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 1) ⟹ y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} .

例 4 利用微分求

3 1.02

的近似值。难度 2

取

f (x) = 3 x = x^{1/3}

，则

f^{'} (x) = \frac{1}{3} x^{- 2/3}

。用

x_{0} = 1, Δ x = 0.02

，由近似公式

f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x

：

3 1.02 \approx f (1) + f^{'} (1) \times 0.02 = 1 + \frac{1}{3} \times 0.02 \approx 1.0067.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x)

在区间

(a, b)

内可导，证明：导函数

f^{'} (x)

在

(a, b)

内严格单调增加的充分必要条件是，对

(a, b)

内任意的

x_{1}, x_{2}, x_{3}

，当

x_{1} < x_{2} < x_{3}

时，

\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} < \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{2} )}{x _{3} - x _{2}}

2024 年 · 数一 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

在区间

(- 1, 1)

内有定义，且

x \to 0 lim f (x) = 0

，则（　　）

A当 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = m$ 时， $f^{'} (0) = m$ .
B当 $f^{'} (0) = m$ 时， $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = m$ .
C当 $x \to 0 lim f^{'} (x) = m$ 时， $f^{'} (0) = m$ .
D当 $f^{'} (0) = m$ 时， $x \to 0 lim f^{'} (x) = m$ .

2023 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

y = f (x)

由

{x = 2 t + ∣ t ∣, y = ∣ t ∣ sin t

确定，则（　　）

A $f (x)$ 连续， $f^{'} (0)$ 不存在.
B $f^{'} (0)$ 存在， $f^{'} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续.
C $f^{'} (x)$ 连续， $f^{''} (0)$ 不存在.
D $f^{''} (0)$ 存在， $f^{''} (x)$ 在 $x = 0$ 处不连续.

2022 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

满足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{ln x} = 1

，则（　　）

A $f (1) = 0$ .
B $x \to 1 lim f (x) = 0$ .
C $f^{'} (1) = 1$ .
D $x \to 1 lim f^{'} (x) = 1$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

f (x)

在

x_{0}

处可导，且

f^{'} (x_{0}) = 3

，则

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + 2 h ) - f ( x _{0} )}{h} =

（　）

A $3$
B $6$
C $\frac{3}{2}$
D不存在

练习 2 · 选择题

曲线

y = x^{3}

在

x = 1

处的切线斜率为（　）

A $1$
B $2$
C $3$
D $0$

练习 3 · 填空题

用定义可求得

f (x) = x

在

x = 4

处的导数

f^{'} (4) =

____。

练习 4 · 填空题

设

f (x) = {x^{2}, a x, x \leq 0, x > 0,

若

f (x)

在

x = 0

处可导，则

a =

____。

练习 5 · 选择题

设

f (x)

在

x = 0

处可导，且

f (0) = 0

，则

g (x) = ∣ f (x) ∣

在

x = 0

处可导的充分必要条件是（　）

A $f (x)$ 在 $x = 0$ 的某邻域内恒非负
B $f^{'} (0) > 0$
C $f^{'} (0) = 0$
D无需附加条件， $f$ 可导即可保证 $g$ 可导

练习 6 · 填空题

设

f (x) = (x^{2} - x - 2) ∣ x^{3} - x ∣

，则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内不可导点的个数为 ____。

练习 7 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{x} - \frac{1}{e ^{x} - 1}, a, x \neq = 0, x = 0.

（1）求常数

a

，使

f (x)

在

x = 0

处连续；
（2）在（1）所取的

a

之下，求

f^{'} (0)

。

2021 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{e ^{x} - 1}{x}, 1, x \neq = 0, x = 0,

在

x = 0

处（　　）

A连续且取极大值.
B连续且取极小值.
C可导且导数等于 $0$ .
D可导且导数不为 $0$ .

2020 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x)

在区间

(- 1, 1)

内有定义，且

x \to 0 lim f (x) = 0

，则（　　）

A当 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{∣ x ∣} = 0$ 时， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处可导.
B当 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 0$ 时， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处可导.
C当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处可导时， $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{∣ x ∣} = 0$ .
D当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处可导时， $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 0$ .

导数与微分的概念

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 微分的正式定义：Δy=AΔx+o(Δx)、dy=f′(x0​)dx，可微 ⟺ 可导★★ 必会

2. 用定义求极限时须配凑增量：把差商化回 Δf(x0​+Δ)−f(x0​)​ 的形式★★ 必会

3. 导数极限定理：在分界点可以先分段求导再取极限，但必须先有连续性★★ 必会

4. 可导 = 导函数连续：由 x2sinx1​ 看三个条件的强弱★ 要懂

5. 微分的形式不变性：dy=f′(u)du 与 u 是不是自变量无关

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 微分的正式定义： $Δ y = A Δ x + o (Δ x)$ 、 $d y = f^{'} (x_{0}) d x$ ，可微 $⟺$ 可导★★ 必会

2. 用定义求极限时须配凑增量：把差商化回 $\frac{f ( x _{0} + Δ ) - f ( x _{0} )}{Δ}$ 的形式★★ 必会

4. 可导 $\neq =$ 导函数连续：由 $x^{2} sin \frac{1}{x}$ 看三个条件的强弱★ 要懂

5. 微分的形式不变性： $d y = f^{'} (u) d u$ 与 $u$ 是不是自变量无关