函数的连续性与间断点

§1.9 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.64 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

10.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限无穷小与无穷大、阶的比较③ 掌握后可解锁闭区间上连续函数的性质导数与微分的概念定积分的概念与性质多元函数的极限与连续

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 连续的定义 $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ （含左右连续）与间断点的定义、分类★★ 必会

① 连续的定义：设

f (x)

在

x_{0}

的某邻域内有定义，如果

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}),

那么称

f

在

x_{0}

处连续。这一个等式包含三层意思：

f (x_{0})

有定义、极限存在、二者相等，其中任何一条不成立都不连续。它的等价写法是

Δ x \to 0 lim Δ y = 0

。

左右连续：

x \to x_{0}^{-} lim f (x) = f (x_{0})

称为左连续；

x \to x_{0}^{+} lim f (x) = f (x_{0})

称为右连续。连续 $⟺$ 左连续且右连续，即

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = f (x_{0})

，这就是判定分段函数在分界点处是否连续的标准，三个量逐一算出，再逐一比较。

② 间断点的定义：如果

f

在

x_{0}

的某去心邻域内有定义，但在

x_{0}

处不连续，那么称

x_{0}

为

f

的间断点。

③ 分类（依据是左、右极限的存在性）：
第一类间断点：

f (x_{0}^{-})

与

f (x_{0}^{+})

都存在。其中二者相等，但

\neq = f (x_{0})

，或者

f (x_{0})

无定义，这样的点称为可去间断点，补充或修改

f (x_{0})

的定义即可使之连续，例如

\frac{sin x}{x}

在

x = 0

处；二者不相等的称为跳跃间断点，例如

[x]

在整数点处。
第二类间断点：左、右极限至少有一个不存在。其中至少有一侧趋于无穷的称为无穷间断点，例如

\frac{1}{x}

在

x = 0

处、

tan x

在

x = \frac{π}{2}

处；因振荡而不存在的称为振荡间断点，例如

sin \frac{1}{x}

在

x = 0

处。

易错之处：分类时只看左、右极限，与

f (x_{0})

是否有定义无关；两侧情形不同时，以较坏的一侧为准。例如

e^{1/ x}

在

x = 0

处左极限为

0

，右极限为

+ \infty

，右侧的极限已属不存在，故它是第二类无穷间断点，而不是跳跃间断点。

证明 / 推导

证连续 $⟺$ 左连续且右连续：由极限存在

⟺

左、右极限都存在且相等，得

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}) ⟺ f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = f (x_{0}),

而右端正是左连续与右连续合写在一起的形式。

■

（分段函数在分界点处要算三个量，根据全在于此。）

举例说明

真题（2017 数一）：设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 - cos x}{a x}, b, x > 0, x \leq 0

在

x = 0

处连续，则（A）

ab = \frac{1}{2}

；（B）

ab = - \frac{1}{2}

；（C）

ab = 0

；（D）

ab = 2

。

解：按上述判据算这三个量。

x \leq 0

一段为常数，故

f (0) = b

，且

f (0^{-}) = b

，左连续自动成立。求右极限时用

1 - cos x \sim \frac{( x ) ^{2}}{2} = \frac{x}{2} (x \to 0^{+})

：

f (0^{+}) = x \to 0^{+} lim \frac{1 - cos x}{a x} = x \to 0^{+} lim \frac{x /2}{a x} = \frac{1}{2 a} .

连续要求

f (0^{+}) = f (0^{-}) = f (0)

，即

\frac{1}{2 a} = b

，故

2 ab = 1

，即

ab = \frac{1}{2}

。选 A。

易错之处：分界点处连续，要求左极限、右极限与函数值三者相等；本题中常数的一段直接给出了其中两个量，真正需要计算的只有右极限。

2. 含参分段函数在分界点连续：用左极限 = 右极限 = 函数值定参数★★ 必会

分段函数在分界点

x_{0}

处连续的充分必要条件是

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = f (x_{0})

，即三者相等。若式中含有待定参数，就由这一组方程把参数解出。计算左、右极限时常要用到等价无穷小或重要极限，求得以后再令它们与

f (x_{0})

相等。

举例说明

例：设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{tan 2 x}{x}, a, \frac{ln ( 1 + b x )}{x}, x < 0, x = 0, x > 0,

在

x = 0

处连续，求

a, b

。
解：分别计算两个单侧极限。
左极限：

x \to 0^{-} lim \frac{tan 2 x}{x} = x \to 0^{-} lim \frac{2 x}{x} = 2

（其中用到

tan 2 x \sim 2 x

）。
右极限：

x \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + b x )}{x} = x \to 0^{+} lim \frac{b x}{x} = b

（其中用到

ln (1 + b x) \sim b x

）。
由连续性要求

f (0^{-}) = f (0^{+}) = f (0) = a

，即

2 = b = a

。
结论：

a = 2, b = 2

。

■

3. 由 $n \to \infty$ 极限定义的函数，先求出分段表达式再判间断点★★ 必会

形如

f (x) = n \to \infty lim g_{n} (x)

的函数，其图形并不一目了然，须先对每个固定的 $x$ 求出极限，得到一个分段函数，然后再讨论它的连续性。式中含

x^{n}

或

x^{2 n}

时，按

∣ x ∣ < 1

、

∣ x ∣ = 1

、

∣ x ∣ > 1

分类是标准的做法，因为

∣ x ∣ < 1

时

x^{2 n} \to 0

，而

∣ x ∣ > 1

时

x^{2 n} \to + \infty

。这类不易察觉的间断点，在选择题与填空题中出现得很多。

举例说明

例：设

f (x) = n \to \infty lim \frac{x ^{2 n} - 1}{x ^{2 n} + 1}

，讨论其间断点。
解：对固定的

x

求极限，按

∣ x ∣

与

1

的大小分类。
-

∣ x ∣ < 1

：

x^{2 n} \to 0

，故

f (x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1

；
-

∣ x ∣ = 1

：

x^{2 n} = 1

，故

f (x) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0

；
-

∣ x ∣ > 1

：

x^{2 n} \to + \infty

，故

f (x) = n \to \infty lim \frac{1 - x ^{- 2 n}}{1 + x ^{- 2 n}} = 1

。
即

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - 1, 0, 1, ∣ x ∣ < 1, ∣ x ∣ = 1, ∣ x ∣ > 1.

在

x = 1

处：左极限

x \to 1^{-} lim f = - 1

，右极限

x \to 1^{+} lim f = 1

，二者都存在但不相等，故

x = 1

是跳跃间断点，属第一类；由对称性知

x = - 1

同样是跳跃间断点。其余各点处连续。

■

4. $∣ f ∣$ 、 $max (f, g)$ 保持连续，但反过来不成立★ 要懂

连续函数经四则运算与复合运算后仍连续，此外还有两条常用的结论：如果

f, g

在

x_{0}

处连续，那么

∣ f ∣

、

max (f, g)

、

min (f, g)

也在

x_{0}

处连续。所依据的恒等式是

max (f, g) = \frac{f + g + ∣ f - g ∣}{2}

与

min (f, g) = \frac{f + g - ∣ f - g ∣}{2}

，它们把最大值与最小值化成了四则运算与绝对值。但反过来不成立：由

∣ f ∣

连续推不出

f

连续。

证明 / 推导

$∣ f ∣$ 连续：由三角不等式

∣ f (x) ∣ - ∣ f (x_{0}) ∣ \leq ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣

。

f

在

x_{0}

处连续即

∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ \to 0

，由夹逼准则得

∣ f (x) ∣ - ∣ f (x_{0}) ∣ \to 0

，因此

∣ f ∣

连续。
$max (f, g)$ 连续：

f, g, ∣ f - g ∣

都连续，其中末一个由上一条得到，故

max (f, g) = \frac{f + g + ∣ f - g ∣}{2}

作为连续函数的四则组合仍连续。

■

举例说明

反方向不成立的反例：取

f (x) = {1, - 1, x \geq 0, x < 0,

它在

x = 0

处有跳跃间断点；但

∣ f (x) ∣ \equiv 1

处处连续。由此可见，

∣ f ∣

连续并不能保证

f

连续。

■

5. 分母的零点未必是间断点：逐点算极限对号入座

分母为零只是可疑之点，未必真是间断点。如果分子在该点也为零而可以约去，那么往往是可去间断点；只有分子不为零时，才是无穷间断点。因此遇到分式，不能一概把分母的零点都当作无穷间断点，必须逐点求极限，再确定其类型。

举例说明

例：判断

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}

的间断点类型。
解：作因式分解

f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )}

，可疑之点是分母的零点

x = 1, x = 2

。
- $x = 1$ ：约去公因子

(x - 1)

，得

x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2}{- 1} = - 2

，极限存在而

f (1)

无定义，故

x = 1

是可去间断点。
- $x = 2$ ：

x \to 2 lim \frac{x + 1}{x - 2}

中分子

\to 3 \neq = 0

，分母

\to 0

，故极限为

\infty

，

x = 2

是无穷间断点，属第二类。
同样是分母的零点，类型却不相同，差别就在于分子是否也为零。

■

💡 小知识

魏尔斯特拉斯在 1872 年构造出一种处处连续却处处不可导的函数，它的图像连绵不断，却在任何一点都不光滑。这个例子推翻了连续必然光滑的直觉，也成了后来分形几何的先声。可见连续这件事，远比一笔画得出来复杂。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin x}{x}, a, x \neq = 0, x = 0,

求常数

a

，使

f (x)

在

x = 0

处连续。难度 1

解.

f

在

x = 0

连续

⟺ x \to 0 lim f (x) = f (0) = a

。

由第一个重要极限

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1

，故须取

a = 1

。

此时三要素齐备（

f (0)

有定义、极限存在、二者相等），

f

在

x = 0

连续。

例 2 求

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}

的间断点，并判断其类型。难度 2

解. 初等函数在其定义区间内连续，间断点只可能出现在分母为零处。

分母

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) = 0

，得可疑点

x = 1, x = 2

。先化简：

f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 1}{x - 2} (x \neq = 1, 2) .

在 $x = 1$ ：

x \to 1 lim \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2}{- 1} = - 2

，极限存在但

f (1)

无定义，故

x = 1

是可去间断点。

在 $x = 2$ ：

x \to 2 lim \frac{x + 1}{x - 2} = \infty

，故

x = 2

是无穷间断点（第二类）。

例 3 设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin a x}{x}, 2, x + b, x < 0, x = 0, x > 0,

在

x = 0

处连续，求常数

a, b

。难度 2

解. 连续要求左极限 $=$ 右极限 $=$ 函数值 $f (0) = 2$ ，分别计算。

左极限：

x \to 0^{-} lim \frac{sin a x}{x} = x \to 0^{-} lim a \cdot \frac{sin a x}{a x} = a

。

右极限：

x \to 0^{+} lim (x + b) = b

。

令

a = 2

且

b = 2

，即得

f (0^{-}) = f (0^{+}) = f (0) = 2

。故

a = 2, b = 2

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数一 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

在区间

(- 1, 1)

内有定义，且

x \to 0 lim f (x) = 0

，则（　　）

A当 $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = m$ 时， $f^{'} (0) = m$ .
B当 $f^{'} (0) = m$ 时， $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x} = m$ .
C当 $x \to 0 lim f^{'} (x) = m$ 时， $f^{'} (0) = m$ .
D当 $f^{'} (0) = m$ 时， $x \to 0 lim f^{'} (x) = m$ .

2022 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知数列

{x_{n}}

，其中

- \frac{π}{2} \leq x_{n} \leq \frac{π}{2}

，则（　　）

A当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
B当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim x_{n}$ 存在.
C当 $n \to \infty lim cos (sin x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim sin x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.
D当 $n \to \infty lim sin (cos x_{n})$ 存在时， $n \to \infty lim cos x_{n}$ 存在，但 $n \to \infty lim x_{n}$ 不一定存在.

2021 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{e ^{x} - 1}{x}, 1, x \neq = 0, x = 0,

在

x = 0

处（　　）

A连续且取极大值.
B连续且取极小值.
C可导且导数等于 $0$ .
D可导且导数不为 $0$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x = 1

是函数

f (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

的（）。

A可去间断点
B跳跃间断点
C无穷间断点
D连续点

练习 2 · 选择题

下列函数以

x = 0

为可去间断点的是（）。

A $f (x) = \frac{1}{x}$
B $f (x) = \frac{sin x}{x}$
C $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$
D $f (x) = sin \frac{1}{x}$

练习 3 · 填空题

设

f (x) = {x + 2, a e^{x}, x \leq 0, x > 0,

在

x = 0

处连续，则

a =

____。

练习 4 · 填空题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin 3 x}{x}, k, x \neq = 0, x = 0,

在

x = 0

处连续，则

k =

____。

2017 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

若函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 - cos x}{a x}, b, x > 0, x \leq 0

在

x = 0

处连续，则（　　）

A $ab = \frac{1}{2}$ .
B $ab = - \frac{1}{2}$ .
C $ab = 0$ .
D $ab = 2$ .

函数的连续性与间断点

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 连续的定义 x→x0​lim​f(x)=f(x0​)（含左右连续）与间断点的定义、分类★★ 必会

2. 含参分段函数在分界点连续：用左极限 = 右极限 = 函数值定参数★★ 必会

3. 由 n→∞ 极限定义的函数，先求出分段表达式再判间断点★★ 必会

4. ∣f∣、max(f,g) 保持连续，但反过来不成立★ 要懂

5. 分母的零点未必是间断点：逐点算极限对号入座

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 连续的定义 $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ （含左右连续）与间断点的定义、分类★★ 必会

3. 由 $n \to \infty$ 极限定义的函数，先求出分段表达式再判间断点★★ 必会

4. $∣ f ∣$ 、 $max (f, g)$ 保持连续，但反过来不成立★ 要懂