闭区间上连续函数的性质

§1.10 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.27 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

2.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的连续性与间断点③ 掌握后可解锁微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 闭区间上连续函数的三大定理：有界性、最值、介值（零点定理为其推论）★★ 必会

设

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续，则：

① 有界性定理：

f

在

[a, b]

上有界，即存在

M_{0} > 0

，对一切

x \in [a, b]

有

∣ f (x) ∣ \leq M_{0}

。

② 最值定理：

f

在

[a, b]

上必取得最大值

M

与最小值

m

，存在

ξ_{1}, ξ_{2} \in [a, b]

，使

f (ξ_{1}) = m \leq f (x) \leq M = f (ξ_{2}) (\forall x \in [a, b]) .

③ 介值定理：若

f (a) \neq = f (b)

，则对介于

f (a)

与

f (b)

之间的任一数

μ

，存在

ξ \in (a, b)

使

f (ξ) = μ

。更常用的形式：

f

能取得介于

m

与

M

之间的一切值（值域恰为

[m, M]

）。

推论（零点定理）：若

f (a) \cdot f (b) < 0

，则存在

ξ \in (a, b)

使

f (ξ) = 0

。这是取

μ = 0

的特例，也是证明方程有实根的基本工具。

条件的必要性：闭区间与连续这两个条件缺一不可。例如

\frac{1}{x}

在

(0, 1]

上连续，却是无界的；又如

f (x) = x

在开区间

(0, 1)

内取不到最大值与最小值。还应注意，以上三个定理都只是存在性结论，并不指出

ξ

的具体位置。因此解题时通常先构造辅助函数，把待证的等式化为某个连续函数的零点问题，再引用定理。

证明 / 推导

证. 先说明介值定理与零点定理可以互相推出（零点定理本身的独立证明用二分法，见下一条）。

（零点定理

\Rightarrow

介值定理）设

f (a) \neq = f (b)

，

μ

严格介于二者之间。令

g (x) = f (x) - μ

，则

g

在

[a, b]

上连续，且

g (a) = f (a) - μ

与

g (b) = f (b) - μ

一正一负，即

g (a) g (b) < 0

。根据零点定理，存在

ξ \in (a, b)

使

g (ξ) = 0

，也就是

f (ξ) = μ

。

（介值定理

\Rightarrow

零点定理）如果

f (a) f (b) < 0

，那么

0

严格介于

f (a)

与

f (b)

之间，取

μ = 0

即得所要的结论。

（

m

与

M

之间的形式）由最值定理，可取

f (ξ_{1}) = m

，

f (ξ_{2}) = M

。对满足

m < μ < M

的任一数，在以

ξ_{1}, ξ_{2}

为端点的闭区间上重复上面的论证即可。

■

举例说明

真题（2005 数一，第Ⅰ问）：

f (x)

在

[0, 1]

上连续，在

(0, 1)

内可导，且

f (0) = 0

，

f (1) = 1

。证明：存在

ξ \in (0, 1)

，使得

f (ξ) = 1 - ξ

。

证：把待证的等式移项，令

φ (x) = f (x) - 1 + x

，则

φ

在

[0, 1]

上连续（这一句是评分要点，不可省略），且

φ (0) φ (1) = f (0) - 1 = - 1 < 0 = f (1) - 1 + 1 = 1 > 0.

根据零点定理，存在

ξ \in (0, 1)

使

φ (ξ) = 0

，即

f (ξ) = 1 - ξ

。

■

易错之处：本题的做法可归结为三步，即移项构造辅助函数

φ

、在端点处定号、引用定理。题设中的可导条件是第Ⅱ问（两次使用拉格朗日中值定理）所需要的，第Ⅰ问只用到连续性。

2. 零点定理的严格证明：二分法（区间套）如何确定零点★ 要懂

从几何上看，连续曲线如果从

x

轴的下方走到上方，那么它必定穿过

x

轴；但要严格地证明这一点，必须用到实数的完备性。最直观的构造是二分法：反复取区间的中点，保留两端函数值异号的那一半，于是得到一列长度不断减半的区间，即区间套，它们唯一的公共点就是所求的零点。这个证明同时也是二分法求根这一数值算法的理论依据。

证明 / 推导

证. 设

f \in C [a, b]

，不妨设

f (a) < 0 < f (b)

。令

[a_{0}, b_{0}] = [a, b]

。二分：取中点

c = \frac{a _{0} + b _{0}}{2}

。如果

f (c) = 0

，那么已经得到零点；否则

f (c)

与两端点处的函数值之一异号，取其中左端为负、右端为正的那半个区间，记作

[a_{1}, b_{1}]

，它的长度减半。如此继续下去，得到区间套

[a_{n}, b_{n}]

，满足

a_{n} ↑, b_{n} ↓, b_{n} - a_{n} = \frac{b - a}{2 ^{n}} \to 0, f (a_{n}) < 0 < f (b_{n}) .

数列

{a_{n}}

单调增加而有上界，

{b_{n}}

单调减少而有下界，且区间长度

\to 0

，根据单调有界准则，二者收敛于同一点

ξ = lim a_{n} = lim b_{n} \in [a, b]

。再由

f

的连续性与极限的保号性，

f (ξ) = n \to \infty lim f (a_{n}) \leq 0 且 f (ξ) = n \to \infty lim f (b_{n}) \geq 0,

因此

f (ξ) = 0

，且

ξ \in (a, b)

。

■

3. 介值定理的经典应用：相隔定长的等值点问题

证明存在

ξ

使

f (ξ) = f (ξ + ℓ)

，即相隔固定长度

ℓ

的两点处函数值相等，是介值定理与零点定理的典型应用，题目常以爬山、环形跑道之类的情景叙述。一般的做法是构造辅助函数

F (x) = f (x + ℓ) - f (x)

，利用

F

在两个端点处的值自动相消或者符号相反，再对

F

使用零点定理。

证明 / 推导

命题：设

f \in C [0, 2]

且

f (0) = f (2)

，则存在

ξ \in [0, 1]

使

f (ξ) = f (ξ + 1)

。
证：构造

F (x) = f (x + 1) - f (x)

，

x \in [0, 1]

，则

F

连续。计算它在两个端点处的值：

F (0) F (1) = f (1) - f (0) = f (2) - f (1) = f (0) - f (1) = - F (0)

（最后一步用到了

f (2) = f (0)

）。
- 如果

F (0) = 0

，那么

ξ = 0

即为所求；
- 否则

F (0)

与

F (1) = - F (0)

的符号相反，根据零点定理，存在

ξ \in (0, 1)

使

F (ξ) = 0

，即

f (ξ + 1) = f (ξ)

。
综合以上两种情形，总存在满足条件的

ξ \in [0, 1]

。

■

4. 恰有一根的证法：用零点定理证存在，用单调性证唯一★★ 必会

判定方程根的个数是常见题型，做法是把两个结论配合起来使用。由零点定理（区间两端函数值异号）可知方程至少有一根；由严格单调（导数在区间内恒正或恒负）可知方程至多有一根。两者合在一起，就得到方程恰有一根。这里连续性用来保证根的存在，可导性用来保证根的唯一，是二者配合使用的典型情形。

证明 / 推导

证. 下面把上述做法写成一般的命题，再加以证明。

命题. 设

f

在

[a, b]

上连续，在

(a, b)

内可导，且

f (a) f (b) < 0

。如果对一切

x \in (a, b)

都有

f^{'} (x) \neq = 0

，那么

f

在

(a, b)

内恰有一个零点。

存在性.

f

在

[a, b]

上连续，且

f (a)

与

f (b)

异号。根据零点定理，存在

ξ \in (a, b)

使

f (ξ) = 0

。

唯一性. 用反证法。设

(a, b)

内有两个零点

x_{1} < x_{2}

，即

f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0

。

f

在

[x_{1}, x_{2}]

上连续，在

(x_{1}, x_{2})

内可导，两个端点处的函数值相等。根据罗尔定理，存在

η \in (x_{1}, x_{2})

使

f^{'} (η) = 0

。但

(x_{1}, x_{2}) \subset (a, b)

，其中

f^{'}

处处不为零，这就出现了矛盾。故零点不能多于一个。

两方面合起来，

f

在

(a, b)

内恰有一个零点。这就证明了上述命题。

■

两点说明. 其一，两个条件缺一不可。若只有

f^{'} \neq = 0

而端点处的函数值同号，则零点可能一个也没有。例如

f (x) = x^{2} + 1

在

[0, 1]

上满足

f^{'} (x) = 2 x \neq = 0 (0 < x < 1)

，而

f (0) = 1, f (1) = 2

同号，方程无根。若只有端点处的函数值异号而

f^{'}

可以变号，则零点可能不止一个。例如

f (x) = x^{3} - x

在

[- 2, 2]

上有

f (- 2) = - 6 < 0, f (2) = 6 > 0

，而它有

- 1, 0, 1

三个零点。

其二，若把区间换成开区间或无穷区间，则端点处的函数值应改用极限。设

f

在

(a, + \infty)

内可导且

f^{'}

恒不为零，

lim_{x \to a^{+}} f (x)

与

lim_{x \to + \infty} f (x)

异号，其中允许取

\pm \infty

。由极限的保号性，可先取

a < α < β

使

f (α)

与

f (β)

异号，再在

[α, β]

上用上述命题，即知

f

在

(α, β)

内有零点。又

f^{'}

在整个

(a, + \infty)

内不为零，由罗尔定理知其中的零点至多一个。因此

f

在

(a, + \infty)

内恰有一个零点。

举例说明

例：证明方程

x^{5} + x - 1 = 0

在

(0, 1)

内恰有一个实根。
解：令

f (x) = x^{5} + x - 1

。
存在性：

f

在

[0, 1]

上连续，且

f (0) = - 1 < 0

，

f (1) = 1 > 0

，两端点处的函数值异号，根据零点定理，存在

ξ \in (0, 1)

使

f (ξ) = 0

。
唯一性：

f^{'} (x) = 5 x^{4} + 1 > 0

恒成立，因此

f

在

[0, 1]

上严格单调增加，至多有一个零点。
把两方面合起来，方程在

(0, 1)

内恰有一个实根。

■

5. 一致连续：康托尔定理、Lipschitz 判据与两个反例

一致连续（数一要求）比逐点连续的要求更强：其中的

δ

只依赖于

ε

，与点的位置无关。判别法：(1) 康托尔定理，闭区间上连续的函数必一致连续；(2) Lipschitz 条件

∣ f (x) - f (y) ∣ \leq L ∣ x - y ∣

（例如导数有界时成立）

\Rightarrow

一致连续。一致连续之所以被破坏，通常是因为函数在开区间的端点附近或者在无穷远处变化率无界。

证明 / 推导

证. 先把不一致连续的含义写清楚，再证两条判别法。
按定义，

f

在区间

I

上一致连续，是指对任给的

ε > 0

，存在只依赖于

ε

的

δ > 0

，使当

x, y \in I

且

∣ x - y ∣ < δ

时恒有

∣ f (x) - f (y) ∣ < ε

。把这句话否定过来，就得到：

f

在

I

上不一致连续，当且仅当存在

ε_{0} > 0

与两列点

x_{n}, y_{n} \in I

，使

∣ x_{n} - y_{n} ∣ \to 0

而

∣ f (x_{n}) - f (y_{n}) ∣ \geq ε_{0}

。上面两个反例所用的就是这个否定形式。
（一）Lipschitz 条件推出一致连续. 设存在

L > 0

，使对一切

x, y \in I

有

∣ f (x) - f (y) ∣ \leq L ∣ x - y ∣

。任给

ε > 0

，取

δ = \frac{ε}{L}

，则当

∣ x - y ∣ < δ

时

∣ f (x) - f (y) ∣ \leq L ∣ x - y ∣ < L δ = ε .

这里的

δ

只由

ε

与

L

定出，与点的位置无关，故

f

一致连续。特别地，设

f

在

I

上可导且

∣ f^{'} ∣ \leq L

。由拉格朗日中值定理，对任意

x, y \in I

有

f (x) - f (y) = f^{'} (ξ) (x - y)

。取绝对值即得 Lipschitz 条件。所以导数有界的函数一定一致连续。
（二）康托尔定理. 设

f

在闭区间

[a, b]

上连续，往证它一致连续。用反证法。若不然，由上面的否定形式，存在

ε_{0} > 0

与两列点

x_{n}, y_{n} \in [a, b]

，使

∣ x_{n} - y_{n} ∣ < \frac{1}{n}, ∣ f (x_{n}) - f (y_{n}) ∣ \geq ε_{0} .

这里是对每个

n

取

δ = \frac{1}{n}

而得到的。数列

{x_{n}}

有界，由致密性定理，它有收敛的子列

x_{n_{k}} \to x_{0}

。因

[a, b]

是闭区间，故极限

x_{0}

仍属于

[a, b]

。又

∣ y_{n_{k}} - x_{0} ∣ \leq ∣ y_{n_{k}} - x_{n_{k}} ∣ + ∣ x_{n_{k}} - x_{0} ∣ < \frac{1}{n _{k}} + ∣ x_{n_{k}} - x_{0} ∣ \to 0,

故

y_{n_{k}} \to x_{0}

。

f

在

x_{0}

处连续，于是

f (x_{n_{k}}) \to f (x_{0})

，

f (y_{n_{k}}) \to f (x_{0})

，从而

∣ f (x_{n_{k}}) - f (y_{n_{k}}) ∣ \to 0

。这与

∣ f (x_{n_{k}}) - f (y_{n_{k}}) ∣ \geq ε_{0} > 0

矛盾。所以

f

在

[a, b]

上一致连续。
由此还可以看出闭这一条件用在何处。它保证了极限点

x_{0}

仍在区间之内，

f

在

x_{0}

处的连续性才有可用。如果区间是开的，极限点可能落到区间之外，这一步就无法进行。

■

举例说明

反例 1（开区间上变化率无界）：

f (x) = \frac{1}{x}

在

(0, 1)

上连续，但不一致连续。取

x_{n} = \frac{1}{n}, y_{n} = \frac{1}{n + 1}

，则

∣ x_{n} - y_{n} ∣ = \frac{1}{n ( n + 1 )} \to 0

，而

∣ f (x_{n}) - f (y_{n}) ∣ = ∣ n - (n + 1) ∣ = 1 \neq \to 0

，这与一致连续的定义矛盾。

反例 2（无穷区间上振动越来越快）：

f (x) = sin (x^{2})

在

(- \infty, + \infty)

上连续，但不一致连续。取

x_{n} = 2 nπ + \frac{π}{2}, y_{n} = 2 nπ

，则

x_{n} - y_{n} = \frac{x _{n}^{2} - y _{n}^{2}}{x _{n} + y _{n}} = \frac{π /2}{x _{n} + y _{n}} \to 0,

而

∣ f (x_{n}) - f (y_{n}) ∣ = sin (2 nπ + \frac{π}{2}) - sin (2 nπ) = ∣1 - 0∣ = 1 \neq \to 0

。

对照的例子：

f (x) = x

在

[0, + \infty)

上一致连续。虽然它在

0

附近的导数趋于

+ \infty

，但由

∣ x - y ∣ \leq ∣ x - y ∣

可以直接验证一致连续的定义。由此可见，导数无界并不一定破坏一致连续。

■

💡 小知识

介值定理有一个贴近生活的推论：在任意时刻，地球赤道上一定存在正对着的两个点，温度完全相同；换成任何一个大圆也一样。证明只需把两点的温差看作一个连续函数，对它用一次介值定理。结论纯粹由连续性保证，与当天的天气无关。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 证明方程

x^{3} - 3 x + 1 = 0

在区间

(0, 1)

内至少有一个实根。难度 1

解. 用零点定理：连续

+

两端异号

\Rightarrow

有根。

令

f (x) = x^{3} - 3 x + 1

，它是多项式，在

[0, 1]

上连续。计算端点值：

f (0) = 1 > 0, f (1) = 1 - 3 + 1 = - 1 < 0.

因

f (0) \cdot f (1) < 0

（两端异号），由零点定理，存在

ξ \in (0, 1)

使

f (ξ) = 0

，即方程在

(0, 1)

内至少有一个实根。

例 2 设

f

在

[a, b]

上连续，且

f (a) < a, f (b) > b

。证明存在

ξ \in (a, b)

使

f (ξ) = ξ

。难度 2

解. 「证存在

ξ

使

f (ξ) = ξ

」的标准套路：移项构造辅助函数，再用零点定理。

令

F (x) = f (x) - x

，则

F

在

[a, b]

上连续。考察端点：

F (a) = f (a) - a < 0, F (b) = f (b) - b > 0.

两端异号，由零点定理存在

ξ \in (a, b)

使

F (ξ) = 0

，即

f (ξ) = ξ

。

例 3 设

f

在

[a, b]

上连续，

a \leq x_{1} < x_{2} \leq b

。证明：存在

ξ \in [x_{1}, x_{2}]

使

f (ξ) = \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

。难度 2

解. 用介值定理：连续函数能取到介于两个函数值之间的一切中间值。

f

在闭区间

[x_{1}, x_{2}]

上连续，故取得最小值

m

与最大值

M

，且

m \leq f (x_{1}) \leq M, m \leq f (x_{2}) \leq M

。

记

C = \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

，它是

f (x_{1}), f (x_{2})

的平均，故

m \leq C \leq M

。

由介值定理，存在

ξ \in [x_{1}, x_{2}]

使

f (ξ) = C = \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2017 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上具有

2

阶导数，且

f (1) > 0

，

x \to 0^{+} lim \frac{f ( x )}{x} < 0

。证明：

（Ⅰ）方程

f (x) = 0

在区间

(0, 1)

内至少存在一个实根；

（Ⅱ）方程

f (x) f^{''} (x) + [f^{'} (x)]^{2} = 0

在区间

(0, 1)

内至少存在两个不同实根.

2011 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

求方程

k arctan x - x = 0

不同实根的个数，其中

k

为参数。

2005 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续，在

(0, 1)

内可导，且

f (0) = 0

，

f (1) = 1

。证明：

（I）存在

ξ \in (0, 1)

，使得

f (ξ) = 1 - ξ

；

（II）存在两个不同的点

η, ζ \in (0, 1)

，使得

f^{'} (η) f^{'} (ζ) = 1

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

f (x) = x^{3} - 4 x + 1

。由零点定理，方程

f (x) = 0

在下列哪个区间内必有实根（）。

A $(- 1, 0)$
B $(0, 1)$
C $(2, 3)$
D $(3, 4)$

练习 2 · 选择题

设

f

在闭区间

[a, b]

上连续，下列说法错误的是（）。

A $f$ 在 $[a, b]$ 上有界
B $f$ 在 $[a, b]$ 上必取得最大值和最小值
C若 $f (a) f (b) < 0$ ，则 $f$ 在 $(a, b)$ 内至少有一个零点
D若 $f (a) f (b) > 0$ ，则 $f$ 在 $(a, b)$ 内一定没有零点

练习 3 · 填空题

方程

x^{3} - x - 1 = 0

在

(1, 2)

内至少有一根，因为

f (x) = x^{3} - x - 1

在

[1, 2]

上连续且

f (1) \cdot f (2)

____

0

（填

>

或

<

）。

练习 4 · 填空题

设

f (x)

在

[0, 3]

上连续，且

f (0) = 1, f (1) = - 1, f (2) = 1, f (3) = - 1

，则由零点定理可知

f (x) = 0

在

(0, 3)

内至少有 ____ 个根。

练习 5 · 选择题

设

f (x)

在

[0, 1]

上连续，且

f (0) = f (1)

。则下列结论中一定成立的是（）。

A存在 $ξ \in (0, 1)$ ，使 $f (ξ) = 0$
B $f (x)$ 在开区间 $(0, 1)$ 内取得它在 $[0, 1]$ 上的最大值
C存在 $ξ \in [0, 1]$ ，使 $f (ξ) = \frac{1}{3} [f (0) + f (\frac{1}{2}) + f (1)]$
D存在 $ξ \in (0, 1)$ ，使 $f^{'} (ξ) = 0$

练习 6 · 填空题

设

f (x) = x^{3} - 3 x + a

。若能由零点定理断定方程

f (x) = 0

在区间

(0, 1)

内有实根，则常数

a

的取值范围是 ____。

练习 7 · 解答题

设

f (x)

在

[0, 1]

上连续，且

f (0) = f (1)

。证明：对任意正整数

n \geq 2

，存在

ξ \in [0, 1 - \frac{1}{n}]

，使

f (ξ + \frac{1}{n}) = f (ξ) .

1987 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上可微，对于

[0, 1]

上的每个

x

，函数值

f (x)

都在区间

(0, 1)

内，且

f^{'} (x) \neq = 1

。证明：在

(0, 1)

内有且仅有一个

x

，使得

f (x) = x

。