常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
证明方程有根：三步
第一步：移项构造 f(x)=0，并说明 f 在闭区间 [a,b] 上连续。
第二步：算出 f(a) 与 f(b)，指出 f(a)f(b)<0。
第三步：写「由零点定理，存在 ξ∈(a,b) 使 f(ξ)=0」，回到原方程下结论。
三句缺一不可，端点取值要真的算出来。例例. 证明方程 x3−4x2+1=0 在 (0,1) 内有根。
第一步，移项构造函数：令 f(x)=x3−4x2+1。它是多项式，故在 [0,1] 上连续。
第二步，算端点：
f(0)=1>0,f(1)=1−4+1=−2<0,
所以 f(0)f(1)<0。
第三步，由零点定理，存在 ξ∈(0,1) 使 f(ξ)=0，即原方程在 (0,1) 内有根。■
「连续」那一句为什么不能省：取 f(x)=x1 在 [−1,1] 上，f(−1)=−1<0、f(1)=1>0，端点确实异号，可它在区间内没有零点——因为它在 x=0 处不连续。端点异号只是定理的一个条件，连续是另一个，少交代一个，这一步就不成立。
证明「恰有一根」：两段
第一段：按上面三步证存在。
第二段：证 f 在该区间上严格单调（拆成同向单调之和，或学完导数后用 f′>0），故至多一个零点。
合起来：至少一个 + 至多一个 = 恰好一个。
只写第一段答的是「至少」，与题目问的「仅有」不是一回事。例例. 证明方程 x3+x−1=0 恰有一个实根。
第一段（至少一个）。令 f(x)=x3+x−1，在 [0,1] 上连续；
f(0)=−1<0,f(1)=1+1−1=1>0,
故 f(0)f(1)<0。由零点定理，存在 ξ∈(0,1) 使 f(ξ)=0。
第二段（至多一个）。x3 与 x 都在 R 上单调递增，同向之和仍单调递增，再减一个常数不改变单调性，所以 f 在 R 上严格单调递增，至多有一个零点。（学过导数之后一行就够：f′(x)=3x2+1>0。）
合起来：至少一个 + 至多一个 = 恰有一个，且它落在 (0,1) 内。■
第二段的区间必须取整个 R：若只证了 f 在 [0,1] 上单调，排除掉的仅是这个区间里的第二个根，区间外还可能藏着别的——那样答的还是「至少一个」。
要证 f(ξ)=c：先移项，再回到零点定理
第一步：令 g(x)=f(x)−c。
第二步：若 c 是若干个函数值的平均，先用最值定理写出 m≤c≤M。
第三步：用介值定理（或对 g 用零点定理）得出结论。
「移项构造辅助函数」这个习惯，到中值定理那一章还要天天用。例例. 设 f 在 [a,b] 上连续，x1,x2∈[a,b]。证明存在 ξ∈[a,b] 使
f(ξ)=2f(x1)+f(x2).
第一步，移项构造：记 c=2f(x1)+f(x2)，令 g(x)=f(x)−c。
第二步，c 是两个函数值的平均，先把它安置进 f 的值域。由最值定理，f 在 [a,b] 上取到最小值 m 与最大值 M，于是 m≤f(x1)≤M、m≤f(x2)≤M，两式相加再除以 2：
m≤c≤M.
第三步，由介值定理，存在 ξ∈[a,b] 使 f(ξ)=c。■
为什么要绕最值定理这一步：介值定理要求目标值夹在两个函数值之间，而 2f(x1)+f(x2) 本身不一定是 f 在某点的取值——先用 m≤c≤M 证明它落在值域里，才轮到介值定理说话。