函数的连续性与间断点

高等数学 · 函数、极限、连续

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 连续的定义：三件事都成立

若

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}),

则称

f

在点

x_{0}

连续。

这一个式子里其实藏着三个条件，缺一不可：

① $f$ 在 $x_{0}$ 处有定义，否则右端写不出来；

② $x \to x_{0} lim f (x)$ 存在，否则左端写不出来；

③ 两者相等。

回头看上一节那三张图就清楚了：极限都是

2

，但只有第三张三条都满足，它才是连续的；第一张缺①，第二张缺③。

连续与极限差的正是 $f (x_{0})$ 这一点. 极限不管

f (x_{0})

，连续要求极限恰好等于它——这也解释了

ε - δ

定义里那个

0 < ∣ x - x_{0} ∣

为什么不能少。

2. 区间上连续，与「可以直接代入」的根据

左连续、右连续分别指

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0})

、

f (x_{0}^{+}) = f (x_{0})

。于是有： $f$ 在 $x_{0}$ 连续 $⟺$ 左连续且右连续。

f

在开区间内每一点都连续，就说它在该区间上连续；闭区间

[a, b]

上连续还要求在

a

右连续、在

b

左连续（端点只能从区间内部靠近）。

最有用的结论是这一条：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

初等函数指由幂、指、对、三角、反三角与常数经有限次四则运算和复合得到的函数——考研里遇到的几乎都是。

这条结论正是前面「求极限第一步是代入」的根据：连续的意思就是「极限等于函数值」，所以在定义区间内，代入就是合法的求法，不是蒙。

3. 间断点的分类：先算左右极限，再对号入座

f

在

x_{0}

处不连续，就称

x_{0}

为间断点。分类的依据只有一件事：左右极限存不存在。

左右极限都存在 且相等 但不相等 至少一侧不存在 第一类 可去间断点 跳跃间断点 第二类

第二类里常见的两种：一侧趋于无穷的叫无穷间断点（如

\frac{1}{x}

在

x = 0

），来回振荡的叫振荡间断点（如

sin \frac{1}{x}

在

x = 0

）。

「可去」的意思是：左右极限相等，只要把

f (x_{0})

改（或补）成那个公共值，函数就连续了——这个间断是可以去掉的。

4. 分段函数定参数：让左极限 $=$ 右极限 $=$ 函数值

这是连续性最常见的考法：给一个含参数的分段函数，要求它在分界点连续，反求参数。

做法就是把定义的三条写成方程：

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = f (x_{0}) .

三个量、两个等号，有几个参数就能定几个。动笔的次序是固定的：

① 左侧用左侧的表达式算 $f (x_{0}^{-})$ ；

② 右侧用右侧的表达式算 $f (x_{0}^{+})$ ；

③ 写出 $f (x_{0})$ ——注意它由哪一段定义（看不等号带不带等号）；

④ 令三者相等，解方程。

第③步最容易出错：

x \geq 0

那一段才包含

x = 0

，

x > 0

那一段不包含。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

判断某点是否连续：逐条查三件事

第一步：

f (x_{0})

有没有定义？写出来。

第二步：

x \to x_{0} lim f (x)

存不存在？分界点、含

∣ \cdot ∣

、含

e^{1/ x}

的要分左右算。

第三步：两者相不相等？

三条全过才是连续，缺哪一条就按哪一条下结论。

例例. 判断

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin x}{x}, 1, x \neq = 0 x = 0

在

x = 0

处是否连续。

第一步，

f (0)

有定义吗？有，题目直接给了

f (0) = 1

✓

第二步，

x \to 0 lim f (x)

存在吗？

x \neq = 0

时两侧是同一个表达式，不必分左右：

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1 ✓

第三步，两者相等吗？

1 = 1

✓

三条全过，所以

f

在

x = 0

处连续。

变式：若把第二段改成

f (0) = 0

，前两条照旧过，只有第三条不过——

x = 0

成了可去间断点，把

f (0)

改成

1

就连续了。可见「有定义」和「连续」是两件事，第三步不是走过场。

求间断点并分类：先找嫌疑点，再算左右极限

第一步：找嫌疑点——分母的零点、分段函数的分界点、

ln

的零点、

e^{1/ (x - a)}

的

x = a

。

第二步：逐点算左右极限。

第三步：对号入座——都存在且相等是可去，都存在不相等是跳跃，有一侧不存在是第二类。

第四步：是可去的就说出该补成什么值。

例例. 求

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}

的间断点并分类。

第一步，嫌疑点就是分母的零点：

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) = 0

，得

x = 1

与

x = 2

。

第二步，逐点算。先约分（

x \neq = 1, 2

时合法）：

f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 1}{x - 2} .

x \to 1

：

\frac{x + 1}{x - 2} \to \frac{2}{- 1} = - 2

，左右都是

- 2

。

x \to 2

：分子

\to 3

、分母

\to 0

，左极限

- \infty

、右极限

+ \infty

。

第三步，对号入座：

x = 1

两侧都存在且相等

\Rightarrow

可去间断点；

x = 2

有一侧不存在

\Rightarrow

第二类（无穷间断点）。

第四步，可去的那个要说出补法：补定义

f (1) = - 2

即在该点连续。

再记一类：

g (x) = e^{1/ x}

在

x = 0

，左极限是

e^{- \infty} = 0

、右极限是

e^{+ \infty} = + \infty

，也是第二类。

e^{1/ x}

这种必须分左右——

\frac{1}{x}

在两侧一个趋于

- \infty

、一个趋于

+ \infty

，合在一起算必出错。

含参分段函数：写三个量，列两个方程

第一步：左侧用左侧表达式算

f (x_{0}^{-})

。

第二步：右侧用右侧表达式算

f (x_{0}^{+})

。

第三步：看不等号带不带等号，定出

f (x_{0})

用哪一段。

第四步：令

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = f (x_{0})

，解出参数。

例例. 设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin a x}{x}, 2, \frac{ln ( 1 + b x )}{x}, x < 0 x = 0 x > 0

在

x = 0

处连续，求

a

、

b

。

第一步，左侧用左侧那段：

f (0^{-}) = x \to 0^{-} lim \frac{sin a x}{x} = x \to 0^{-} lim a \cdot \frac{sin a x}{a x} = a .

第二步，右侧用右侧那段（

ln (1 + b x) \sim b x

）：

f (0^{+}) = x \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + b x )}{x} = b .

第三步，

f (0)

用哪一段？题目把

x = 0

单列了，所以

f (0) = 2

。

第四步，令三者相等：

a = b = 2

。

第三步为什么不能跳：换成

f (x) = {x + a, x^{2} + 1, x \leq 0 x > 0

，那个等号在第一段上，

f (0)

就得从第一段取，

f (0) = a

。不等号带不带等号，决定

f (x_{0})

取哪一段的值——这一行必须写在卷面上，不能默认「取右边那段」。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

以为「极限存在」就是连续

极限存在只是三条里的第②条，还要有定义、还要相等。

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

在

x = 1

处极限为

2

却不连续（无定义）。判断时三条逐一写出来，别凭印象。

分段函数取 $f (x_{0})$ 时用错那一段

x \geq 0

那一段才包含

x = 0

；写成

x > 0

就不含。

那个等号是题眼：少了它

f (0)

没有定义，怎么调参数都不连续。动笔前先把两段的不等号抄一遍。

分类时不算左右极限就下结论

可去与跳跃的区别只在左右极限相不相等，第一类与第二类的区别只在存不存在。不算就分不了类。

卷面上必须看得见

f (x_{0}^{-}) = \dots

、

f (x_{0}^{+}) = \dots

这两行。

把 $lim = \infty$ 的点算成第一类

\frac{1}{x}

在

x = 0

处左右极限分别为

- \infty

、

+ \infty

——

\infty

不是数，这叫不存在，所以是第二类。

第一类要求两侧极限都是有限数。这一条和「

lim = \infty

算不算存在」是同一个问题。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 连续要满足三条

练 1

f

在

x_{0}

处连续的定义是（）。

A $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$
B $x \to x_{0} lim f (x)$ 存在
C $f (x_{0})$ 有定义
D $f$ 在 $x_{0}$ 附近有定义

练 2

x \to 0 lim \frac{e ^{x} + cos x}{x + 2} =

________。

练 3

设

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

，则

x = 2

是

f

的（）。

A可去间断点
B跳跃间断点
C无穷间断点
D连续点

练 4

设

f (x) = {x + 1, a, x \neq = 0, x = 0,

若

f

在

x = 0

处连续，则

a =

________。

第二组 · 找间断点、分类

练 5

x = 0

是

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

的（）。

A可去间断点
B跳跃间断点
C无穷间断点
D振荡间断点

练 6

x = 0

是

f (x) = sin \frac{1}{x}

的（）。

A可去间断点
B跳跃间断点
C振荡间断点（第二类）
D无穷间断点

练 7

函数

f (x) = \frac{1}{x - 3}

的间断点是

x =

________。

练 8

设

f

在

x_{0}

处左右极限都存在，则

x_{0}

（）。

A一定是 $f$ 的连续点
B一定是第一类间断点
C一定是可去间断点
D可能连续，也可能是第一类间断点

第三组 · 含参分段函数

练 9

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin 2 x}{x}, x + a, x < 0, x \geq 0,

在

x = 0

处连续，则

a =

________。

练 10

设

f (x) = {x^{2}, a x + b, x \leq 1, x > 1.

若

f

在

x = 1

处连续，则（）。

A $a + b = 1$
B $a = b$
C $a + b = 2$
D $a = 1, b = 0$

练 11

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{ln ( 1 + a x )}{x}, 3, x > 0, x \leq 0,

在

x = 0

处连续，则

a =

________。

练 12

设

f (x) = {x, 1, x \neq = 0, x = 0,

则

x = 0

是（）。

A连续点
B跳跃间断点
C第二类间断点
D可去间断点

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

函数的连续性与间断点

先打基础

1. 连续的定义：三件事都成立

2. 区间上连续，与「可以直接代入」的根据

3. 间断点的分类：先算左右极限，再对号入座

4. 分段函数定参数：让左极限 = 右极限 = 函数值

常用结构

判断某点是否连续：逐条查三件事

求间断点并分类：先找嫌疑点，再算左右极限

含参分段函数：写三个量，列两个方程

基础易错

以为「极限存在」就是连续

分段函数取 f(x0​) 时用错那一段

分类时不算左右极限就下结论

把 lim=∞ 的点算成第一类

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

4. 分段函数定参数：让左极限 $=$ 右极限 $=$ 函数值

分段函数取 $f (x_{0})$ 时用错那一段

把 $lim = \infty$ 的点算成第一类