函数的连续性与间断点

§1.9 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.90 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

11.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限无穷小与无穷大、阶的比较③ 掌握后可解锁闭区间上连续函数的性质导数与微分的概念定积分的概念与性质多元函数的极限与连续

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 连续的实质是极限值 $=$ 函数值，三个条件缺一不可★★ 必会

f

在点

x_{0}

连续，是指

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})

。这一等式包含三个必须同时成立的条件：(i)

f (x_{0})

有定义；(ii) 极限

x \to x_{0} lim f (x)

存在；(iii) 二者相等。极限只反映函数在

x_{0}

的去心邻域内的变化趋势，而连续还要求这个趋势的目标值恰好等于

f (x_{0})

。必须注意：极限存在并不能保证连续，还必须

f (x_{0})

有定义，并且它的值等于该极限值。

举例说明

例（数三2008真题）. 设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 1, \frac{2}{∣ x ∣}, ∣ x ∣ \leq c ∣ x ∣ > c

在

(- \infty, + \infty)

内连续，求

c (c > 0)

。
解. 连续

=

f (x_{0})

\text{有定义、极限存在且二者相等，这三个条件必须同时成立。两段函数各自都是初等函数，在各自的区间上连续，因此只需在分段点}

x = c

\text{处使这三个条件成立（由函数的偶性，}

- c

\text{处同理）。函数值与左极限为}

f (c) = f (c^{-}) = c^{2} + 1

\text{，右极限为}

f (c^{+}) = \frac{2}{c}

\text{。连续要求}

c^{2} + 1 = \frac{2}{c}

\text{，即}

c^{3} + c - 2 = 0

\text{，分解得}

(c - 1) (c^{2} + c + 2) = 0

\text{，实根只有}

c = 1

\text{。故}

c = 1

\text{。本题的落脚点就是极限值}

=

函数值这一连续性的基本等式。

2. 间断点的分类次序：先判断左、右极限是否都存在，再定第一类或第二类★★ 必会

判定间断点的类型时，次序不能颠倒。第一步总是求左极限与右极限，判断它们是否都存在（有限）：都存在

\to

第一类。第一类还可以再分：若左极限

=

右极限，但其值

\neq = f (x_{0})

，或者

f (x_{0})

无定义，则称为可去间断点；若左极限

\neq =

右极限，则称为跳跃间断点。至少有一侧极限不存在（趋于

\infty

或发生振荡）

\to

第二类。其中趋于

\infty

的是无穷型，像

sin \frac{1}{x}

那样往复摆动的是振荡型。必须注意：可去间断点只要求极限存在，与

f (x_{0})

是否有定义、是否与极限值相等无关；第二类间断点也不等于无穷型，振荡同样属于第二类。

举例说明

例（数三2009真题）. 求

f (x) = \frac{x - x ^{3}}{sin π x}

的可去间断点的个数。
解. 判定间断点时，先确定哪些点没有定义，再按左、右极限是否存在分类。由

sin π x = 0

得间断点

x = k (k \in Z)

。分子

x - x^{3} = x (1 - x) (1 + x)

只在

x = 0, \pm 1

处为零。可去间断点要求极限存在且有限：在这三点处分子与分母同时为零，极限有限，

x \to 0 lim f = \frac{1}{π}

（用

sin π x \sim π x

），

x \to 1 lim f = \frac{2}{π}

，

x \to - 1 lim f = \frac{2}{π}

，故

x = 0, 1, - 1

是可去间断点，共

3

个。其余整数

k (k \neq = 0, \pm 1)

处分子非零，

f \to \infty

，是第二类（无穷型）间断点。故可去间断点共

3

个。

3. 在含有 $e^{1/ x}$ 、 $arctan \frac{1}{x}$ 、 $∣ x ∣$ 、 $[x]$ 的点处必须分别考察左、右极限

判定间断点的类型，总是先求左、右极限，再按定义归类。凡是在某点两侧变化趋势截然不同的结构，都必须分左、右讨论：

e^{1/ x}

、

arctan \frac{1}{x}

、

\frac{1}{1 + e ^{1/ x}}

在

x \to 0

时（因为

\frac{1}{x} \to \pm \infty

的符号相反）；

∣ x ∣

、取整函数

[x]

在分界点或整数点也是如此。下面列出各类型的典型例子。可去：

\frac{sin x}{x}

在

0

处；跳跃：

\frac{∣ x ∣}{x}

、

[x]

在整数点、

arctan \frac{1}{x}

在

0

处；无穷：

\frac{1}{x}

在

0

处、

tan x

在

\frac{π}{2}

处；振荡：

sin \frac{1}{x}

在

0

处。

举例说明

例（数三2020真题）. 求

f (x) = \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )}

的第二类间断点的个数。
解. 没有定义的点是

x = - 1, 0, 1, 2

，下面逐点求左、右极限再分类。在

x = - 1

处：

ln ∣1 + x ∣ \to - \infty

，而其余因子有限且非零，故

f \to \infty

，这是第二类（无穷型）；在

x = 2

处：分母

x - 2 \to 0

，而分子非零，故

f \to \infty

，也是第二类；在

x = 1

处：含有

e^{1/ (x - 1)}

，

x \to 1^{+}

时

\frac{1}{x - 1} \to + \infty

、

e^{1/ (x - 1)} \to + \infty

，右极限不存在，故也是第二类；在

x = 0

处：用

ln (1 + x) \sim x, e^{x} - 1 \sim x

，

f \to \frac{e ^{- 1}}{- 2}

有限，故它是可去间断点（第一类）。于是第二类间断点为

x = - 1, 1, 2

，共

3

个。凡含

e^{1/ (x - 1)}

的点都必须分左、右讨论，这是本节的要点。

4. 连续函数的四则运算与复合，是直接代入求极限的依据★ 要懂

连续函数经过四则运算（分母不为零）、复合以及取反函数之后仍然连续；并且初等函数在其定义区间内处处连续。正是因为有这些结论，在连续点处才可以直接代入求极限，本章的计算大多以此为落脚点。复合函数的连续性还允许交换极限与函数的次序：如果外层函数

f

连续，那么

x \to x_{0} lim f (g (x)) = f (x \to x_{0} lim g (x))

，即极限符号可以移到连续函数的内部。

证明 / 推导

复合函数的连续性 $\Rightarrow$ 极限可交换次序. 设

x \to x_{0} lim g (x) = u_{0}

，且

f

在

u_{0}

连续（即

u \to u_{0} lim f (u) = f (u_{0})

）。由于

f

在

u_{0}

处连续，故对任意

ε > 0

，存在

η > 0

，使得

∣ u - u_{0} ∣ < η \Rightarrow ∣ f (u) - f (u_{0}) ∣ < ε

成立。再由

g (x) \to u_{0}

知，存在

δ > 0

，使得

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow ∣ g (x) - u_{0} ∣ < η

。把两步连接起来，即得

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (g (x)) - f (u_{0}) ∣ < ε

，这就证明了

x \to x_{0} lim f (g (x)) = f (u_{0}) = f (x \to x_{0} lim g (x))

。

■

举例说明

例（数三1987真题）. 下列函数在其定义域内连续的是（）。(A)

f (x) = ln x + sin x

；(B)

f (x) = {sin x, cos x, x \leq 0 x > 0

；(C)

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x + 1, 0, x - 1, x < 0 x = 0 x > 0

；(D)

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{∣ x ∣}, 0, x \neq = 0 x = 0

。
解. 依据初等函数在其定义区间内处处连续，并对分段点单独验证。A 正确：

ln x

的定义域为

x > 0

，故

f = ln x + sin x

的定义域是

(0, + \infty)

，其上

ln x

与

sin x

都连续，其和也连续（

x = 0

不在定义域内，无须验证）。其余选项可以排除：B 中

f (0^{-}) = sin 0 = 0 \neq = f (0^{+}) = cos 0 = 1

；C 中

f (0^{-}) = 1 \neq = f (0^{+}) = - 1

；D 中

x \to 0 lim \frac{1}{∣ x ∣} = + \infty \neq = f (0) = 0

，三者都在

x = 0

处断开。选 A。这里要注意在其定义域内连续这一措辞：A 的定义域本来就不含

0

。

💡 小知识

魏尔斯特拉斯在 1872 年构造出一种处处连续却处处不可导的函数，它的图像连绵不断，却没有一处光滑。这个例子击碎了连续必然光滑的直觉，也成了后来分形几何的先声。可见连续这件事，远比一笔画得下来复杂。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 判断

f (x) = \frac{sin x}{x}

在

x = 0

处间断点的类型。难度 1

解.

f

在

x = 0

处无定义（分母为

0

），故

x = 0

是间断点。求该点极限：

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1 (第一重要极限) .

左、右极限都存在且相等（属第一类），极限值

= 1

是有限数，只是

f (0)

无定义。因此

x = 0

是

f

的可去间断点——只要补充定义

f (0) = 1

，

f

就在

x = 0

连续。

例 2 设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin 2 x}{x}, a, x \neq = 0 x = 0

，求常数

a

使

f

在

x = 0

处连续。难度 1

解.

f

在

x = 0

连续

⟺ x \to 0 lim f (x) = f (0) = a

。先求极限：

x \to 0 lim \frac{sin 2 x}{x} = x \to 0 lim \frac{sin 2 x}{2 x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2.

要使连续，须

a = x \to 0 lim f (x) = 2

。故

a = 2

。

例 3 求

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 3 x + 2}

的间断点，并判断其类型。难度 2

解. 分母

x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)

，故可疑点为

x = 1, 2

。分子

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

，约分（

x \neq = 1

）：

f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{x + 1}{x - 2} .

在 $x = 1$ ：

x \to 1 lim \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{2}{- 1} = - 2

，极限存在但

f (1)

无定义，故

x = 1

是可去间断点。

在 $x = 2$ ：

x \to 2 lim \frac{x + 1}{x - 2} = \infty

（

x \to 2^{-}

为

- \infty

，

x \to 2^{+}

为

+ \infty

），故

x = 2

是第二类间断点中的无穷间断点。

例 4 判断

f (x) = arctan \frac{1}{x}

在

x = 0

处间断点的类型。难度 2

解.

f

在

x = 0

无定义，且含

\frac{1}{x}

，两侧走向相反，须分左右。

右极限（

x \to 0^{+}

，

\frac{1}{x} \to + \infty

）：

x \to 0^{+} lim arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}

。

左极限（

x \to 0^{-}

，

\frac{1}{x} \to - \infty

）：

x \to 0^{-} lim arctan \frac{1}{x} = - \frac{π}{2}

。

左、右极限都存在（属第一类），但

\frac{π}{2} \neq = - \frac{π}{2}

，故

x = 0

是

f

的跳跃间断点。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x) = n \to \infty lim \frac{1 + x}{1 + n x ^{2 n}}

，则

f (x)

（　　）。

A在 $x = 1, x = - 1$ 处都连续
B在 $x = 1$ 处连续， $x = - 1$ 处不连续
C在 $x = 1, x = - 1$ 处都不连续
D在 $x = 1$ 处不连续， $x = - 1$ 处连续

2021 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{e ^{x} - 1}{x}, 1, x \neq = 0, x = 0

在

x = 0

处（　　）。

A连续且取极大值。
B连续且取极小值。
C可导且导数等于 $0$ 。
D可导且导数不为 $0$ 。

2020 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x) = \frac{e ^{\frac{1}{x - 1}} ln ∣1 + x ∣}{( e ^{x} - 1 ) ( x - 2 )}

的第二类间断点的个数为（　　）

A $1$
B $2$
C $3$
D $4$

2017 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

若函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1 - cos x}{a x}, b, x > 0, x \leq 0

在

x = 0

处连续，则（　　）。

A $ab = \frac{1}{2}$
B $ab = - \frac{1}{2}$
C $ab = 0$
D $ab = 2$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

x = 2

是函数

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

的（）。

A连续点
B可去间断点
C跳跃间断点
D无穷间断点

练习 2 · 选择题

设

f (x) = {x + a, e^{x}, x \leq 0 x > 0

在

x = 0

处连续，则

a =

（）。

A $0$
B $1$
C $- 1$
D $e$

练习 3 · 填空题

x = 0

是函数

f (x) = \frac{tan x}{x}

的 ____ 间断点（填「可去 / 跳跃 / 无穷 / 振荡」）。

练习 4 · 填空题

函数

f (x) = \frac{x ^{2} - x}{x ^{2} - 1}

的可去间断点为

x =

____。

练习 5 · 选择题

设

f (x) = \frac{sin ( x ^{2} - x )}{∣ x ∣ ( x - 1 )}

，则关于

f

的间断点，下列说法正确的是（　）。

A只有 $x = 0$ 一个间断点，且是跳跃间断点
B $x = 0$ 是跳跃间断点， $x = 1$ 是可去间断点
C $x = 0$ 是可去间断点， $x = 1$ 是跳跃间断点
D $x = 0$ 是跳跃间断点， $x = 1$ 是无穷间断点

练习 6 · 填空题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{e ^{a x} - cos x}{x}, b, \frac{sin 3 x}{1 + x - 1}, x < 0, x = 0, x > 0,

在

x = 0

处连续，则

a =

____，

b =

____。

练习 7 · 解答题

设

f (x) = n \to \infty lim \frac{x ^{2 n - 1} + a x ^{2} + b x}{x ^{2 n} + 1} .

(1) 求

f (x)

的表达式（分段写出）；

(2) 求常数

a, b

，使

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续。

2013 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x) = \frac{∣ x ∣ ^{x} - 1}{x ( x + 1 ) ln ∣ x ∣}

的可去间断点的个数为（　　）

A $0$ .
B $1$ .
C $2$ .
D $3$ .

2009 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x) = \frac{x - x ^{3}}{sin π x}

的可去间断点的个数为（　　）。

A $1$ .
B $2$ .
C $3$ .
D无穷多个.

函数的连续性与间断点

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 连续的实质是极限值 = 函数值，三个条件缺一不可★★ 必会

2. 间断点的分类次序：先判断左、右极限是否都存在，再定第一类或第二类★★ 必会

3. 在含有 e1/x、arctanx1​、∣x∣、[x] 的点处必须分别考察左、右极限

4. 连续函数的四则运算与复合，是直接代入求极限的依据★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 连续的实质是极限值 $=$ 函数值，三个条件缺一不可★★ 必会

3. 在含有 $e^{1/ x}$ 、 $arctan \frac{1}{x}$ 、 $∣ x ∣$ 、 $[x]$ 的点处必须分别考察左、右极限