导数与微分的概念

§2.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.18 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

15.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的极限函数的连续性与间断点③ 掌握后可解锁求导法则（四则、复合、反函数）微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）洛必达法则函数的单调性与极值边际与弹性（导数的经济意义）不定积分的概念与性质偏导数全微分

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 可导 $\Leftrightarrow$ 可微，二者都强于连续：为什么可导必定连续，而连续未必可导★ 要懂

在一元函数中，可导与可微是同一件事：

Δ y = A Δ x + o (Δ x)

中的

A

就等于

f^{'} (x_{0})

，故

d y = f^{'} (x_{0}) d x

。二者都强于连续：可导（可微）

\Rightarrow

连续，但反过来不成立。理解这条单向的推出关系，是判断分段点处以及抽象函数可导性的出发点：一旦发现函数在某点不连续，就可以断定它在该点不可导，不必再算左、右导数。

证明 / 推导

可导 $\Rightarrow$ 连续. 设

f^{'} (x_{0})

存在，则

Δ x \to 0 lim Δ y = Δ x \to 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} \cdot Δ x = f^{'} (x_{0}) \cdot 0 = 0,

即

lim_{Δ x \to 0} f (x_{0} + Δ x) = f (x_{0})

，故

f

在

x_{0}

处连续。

■

举例说明

例（数三 2018）. 下列函数中，在

x = 0

处不可导的是（　）　（A）

∣ x ∣ sin ∣ x ∣

　（B）

∣ x ∣ sin ∣ x ∣

　（C）

cos ∣ x ∣

　（D）

cos ∣ x ∣

解. 四个函数在

0

处都连续，是否可导要回到差商

\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x}

，考察它的左、右极限。
（A）由

sin ∣ x ∣ \sim ∣ x ∣

，得

f (x) - f (0) \sim x^{2}

，故

f^{'} (0) = lim_{x \to 0} \frac{x ^{2}}{x} = 0

，可导；（B）由

∣ x ∣ sin ∣ x ∣ \sim ∣ x ∣^{3/2}

，得

f^{'} (0) = 0

，可导；（C）

cos ∣ x ∣ = cos x

是偶函数，处处可导。
（D）由

cos ∣ x ∣ - 1 \sim - \frac{1}{2} ∣ x ∣

，得

\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} \sim - \frac{1}{2} \cdot \frac{∣ x ∣}{x}

，其左极限为

\frac{1}{2}

、右极限为

- \frac{1}{2}

，二者不相等，故

f

在

0

处不可导。故选 D。

■

这就是连续未必可导在真题中的表现：不可导的原因在于

\frac{∣ x ∣}{x}

的左、右极限不一致，反映在图形上就是一个尖角。

2. 分段点处求导的两个步骤，以及导数极限定理：何时可以用 $lim f^{'} (x)$ 代替 $f^{'} (x_{0})$ ★★ 必会

判定分段函数在分界点

x_{0}

处是否可导，标准的做法分两步：先验证连续，若不连续则必定不可导；再验证左导数 $=$ 右导数。
一个常用的捷径是导数极限定理：如果

f

在

x_{0}

处连续，在

x_{0}

的去心邻域内可导，且

lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x) = A

存在，那么

f^{'} (x_{0})

存在，且

= A

。由此可以直接对两段的导函数取极限来判定分界点处的导数，但前提是那个极限存在。如果

lim f^{'} (x)

不存在，决不能据此断言

f^{'} (x_{0})

不存在，下面的反例说明了这一点。

证明 / 推导

导数极限定理的证明. 对

x_{0}

右侧的

x

，

f

在

[x_{0}, x]

上连续、在

(x_{0}, x)

内可导，由拉格朗日中值定理，存在

ξ \in (x_{0}, x)

，使

\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} = f^{'} (ξ) .

当

x \to x_{0}^{+}

时

ξ \to x_{0}^{+}

，故右端

\to A

，得

f_{+}^{'} (x_{0}) = A

；对左侧同理可得

f_{-}^{'} (x_{0}) = A

。于是

f^{'} (x_{0}) = A

。

■

举例说明

正例（可用定理）.

f (x) = {e^{x}, 1 + sin x, x \leq 0 x > 0

在

0

处连续（两侧的值都是

1

）。

f^{'} (x) = e^{x} (x < 0) \to 1

，

f^{'} (x) = cos x (x > 0) \to 1

，两个极限都存在且相等，故

f^{'} (0) = 1

。
反例（不可用）.

f (x) = {x^{2} sin \frac{1}{x}, 0, x \neq = 0 x = 0

。由定义得

f^{'} (0) = lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0

存在；但当

x \neq = 0

时

f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}

，它在

x \to 0

时振荡而无极限。由此可见，

lim f^{'} (x)

不存在并不能否定

f^{'} (0)

的存在，这个定理只能正向使用。

3. 凑成导数的定义式：求抽象函数极限的基本方法★★ 必会

有些题目只告诉

f

在

x_{0}

处可导，并给出

f^{'} (x_{0})

的值，却要求计算某个含

f

的极限。基本手法是把式子凑成导数定义的形式

\frac{f ( x _{0} + □ ) - f ( x _{0} )}{□}

，其中

□ \to 0

，再由

lim = f^{'} (x_{0})

求出。必须注意：分子中两个自变量增量之差，要用

f (x_{0})

拆项补齐，每一项配上相应的分母，系数随增量的倍数一同带出。

证明 / 推导

证. 设

f

在

x_{0}

处可导，

a, b

为常数。下面证明一般的公式

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} + bh )}{h} = (a - b) f^{'} (x_{0}) .

在分子中插入

f (x_{0})

，把它拆成两项，得

\frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} + bh )}{h} = \frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} )}{h} - \frac{f ( x _{0} + bh ) - f ( x _{0} )}{h} .

先看第一项。如果

a \neq = 0

，那么当

h \neq = 0

时

\frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} )}{h} = a \cdot \frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} )}{ah} .

令

t = ah

，则

h \to 0

时

t \to 0

且

t \neq = 0

。由导数的定义，

t \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + t ) - f ( x _{0} )}{t} = f^{'} (x_{0})

。因此第一项趋于

a f^{'} (x_{0})

。如果

a = 0

，那么第一项恒等于

0

，而

a f^{'} (x_{0}) = 0

，结论仍然成立。第二项的讨论与此相类似，它趋于

b f^{'} (x_{0})

。两个极限都存在，由差的极限运算法则，得

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + ah ) - f ( x _{0} + bh )}{h} = a f^{'} (x_{0}) - b f^{'} (x_{0}) = (a - b) f^{'} (x_{0}) .

这就证明了所述的公式。式中的系数

a - b

只由两个增量的倍数决定。
反过来不成立. 上式的极限存在，并不能推出

f

在

x_{0}

处可导。事实上，取

f (x) = ∣ x ∣

，

x_{0} = 0

，

a = 1

，

b = - 1

。当

h \neq = 0

时

f (h) - f (- h) = ∣ h ∣ - ∣ - h ∣ = 0

，故该极限存在且为

0

。但

f_{+}^{'} (0) = 1

，

f_{-}^{'} (0) = - 1

，左右导数不相等，

f

在

0

处不可导。由此可见，可导是题设给出的条件，不能由极限的存在反推出来。

■

举例说明

例（数三 1994）. 已知

f^{'} (x_{0}) = - 1

，求

x \to 0 lim \frac{x}{f ( x _{0} - 2 x ) - f ( x _{0} - x )}

。
解. 分母是两个函数值之差，用

f (x_{0})

拆项补齐，各配成以

x_{0}

为基点的差商：

f (x_{0} - 2 x) - f (x_{0} - x) = [f (x_{0} - 2 x) - f (x_{0})] - [f (x_{0} - x) - f (x_{0})] .

两端除以

x

，并按增量的倍数配上系数：

\frac{f ( x _{0} - 2 x ) - f ( x _{0} )}{x} = - 2 \cdot \frac{f ( x _{0} - 2 x ) - f ( x _{0} )}{- 2 x} \to - 2 f^{'} (x_{0})

，

\frac{f ( x _{0} - x ) - f ( x _{0} )}{x} = - \frac{f ( x _{0} - x ) - f ( x _{0} )}{- x} \to - f^{'} (x_{0})

。
故

\frac{f ( x _{0} - 2 x ) - f ( x _{0} - x )}{x} \to - 2 f^{'} (x_{0}) - (- f^{'} (x_{0})) = - f^{'} (x_{0})

，原式

= \frac{1}{- f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{1} = 1

。

■

易错之处：把分母当作单个差商是错误的，必须按

- 2 x, - x

的倍数分别配上系数。

4. 微分 $d y$ 与增量 $Δ y$ ：用切线代替曲线的线性近似及其误差

Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})

是曲线上纵坐标的真实改变量；

d y = f^{'} (x_{0}) Δ x

是沿切线移动时的改变量。二者相差

o (Δ x)

，即比

Δ x

高阶的无穷小。于是有近似公式

f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x,

∣Δ x ∣

越小，这个近似就越准确。这就是用直线代替曲线的做法，也是泰勒公式只取到一次项的情形。记号不要混淆：

d y = f^{'} (x_{0}) d x

，不要把

d y

当作

Δ y

。

证明 / 推导

证（ $d y$ 是 $Δ y$ 的线性主部）. 设

f

在

x_{0}

处可导。由导数的定义，

Δ x \to 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} = f^{'} (x_{0}) .

于是

Δ x \to 0 lim \frac{Δ y - d y}{Δ x} = Δ x \to 0 lim (\frac{Δ y}{Δ x} - f^{'} (x_{0})) = 0.

按高阶无穷小的定义，这就是

Δ y - d y = o (Δ x)

。所以用切线代替曲线所产生的误差，比自变量的增量本身还要低一个阶。

为什么只能取切线. 设

A

为任一常数，改用直线增量

A Δ x

去代替

Δ y

。由上面的计算，

Δ x \to 0 lim \frac{Δ y - A Δ x}{Δ x} = f^{'} (x_{0}) - A .

如果

A \neq = f^{'} (x_{0})

，那么这个极限不为零，误差与

Δ x

同阶，而不是高阶。可见只有取

A = f^{'} (x_{0})

，误差才是

o (Δ x)

。合乎这一要求的线性函数只有一个，它就是微分

d y = f^{'} (x_{0}) Δ x

。这就证明了线性主部的存在与唯一。

误差有多大. 如果

f

在

x_{0}

的某邻域内有二阶导数，那么误差还可以写成

\frac{f ^{''} ( ξ )}{2} (Δ x)^{2}

，其中

ξ

介于

x_{0}

与

x_{0} + Δ x

之间。因

(Δ x)^{2} > 0

，误差的符号只由

f^{''}

决定，与

Δ x

的正负无关。若在该邻域内

∣ f^{''} ∣ \leq M

，则误差不超过

\frac{M}{2} (Δ x)^{2}

。由此可见，

∣Δ x ∣

减半时误差约减为四分之一。

■

举例说明

例（数三 2006）. 设

y = f (x)

有二阶导数，

f^{'} (x) > 0

，

f^{''} (x) > 0

；

Δ x

为

x

在

x_{0}

处的增量，且

Δ x > 0

，

Δ y, d y

为相应的增量与微分，则（　）　（A）

0 < d y < Δ y

　（B）

0 < Δ y < d y

　（C）

Δ y < d y < 0

　（D）

d y < Δ y < 0

解.

d y = f^{'} (x_{0}) Δ x

是沿切线的增量，

Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})

是曲线的真实增量。因为

f^{'} (x_{0}) > 0, Δ x > 0

，所以

d y > 0

。由带拉格朗日余项的泰勒公式

Δ y f^{''} (ξ) = f^{'} (x_{0}) Δ x + \frac{f ^{''} ( ξ )}{2} (Δ x)^{2} > 0

可知

Δ y > f^{'} (x_{0}) Δ x = d y

。故

0 < d y < Δ y

，选 A。

■

几何意义是：当

f^{''} > 0

时曲线是凹的，位于切线上方，因而真实增量

Δ y

大于切线增量

d y

，用直线代替曲线在这一侧偏小。

💡 小知识

莱布尼茨发明的

\frac{d y}{d x}

记号故意写成分数的样子，牛顿则在字母上方加一点，写作

\overset{y}{˙}

。两套记号的背后，是两位巨人关于微积分发明权的世纪之争。而让

0/0

这个悖论真正变得严格，还要再等一百多年，直到柯西和魏尔斯特拉斯用极限把无穷小讲清楚。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用导数定义求

f (x) = 2 x^{2} - x

在

x = 1

处的导数

f^{'} (1)

。难度 1

按定义

f^{'} (1) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( 1 + Δ x ) - f ( 1 )}{Δ x} .

先算

f (1) = 2 \cdot 1^{2} - 1 = 1

，再算

f (1 + Δ x) = 2 (1 + Δ x)^{2} - (1 + Δ x) = 1 + 3Δ x + 2 (Δ x)^{2} .

故

f^{'} (1) = Δ x \to 0 lim \frac{3Δ x + 2 ( Δ x ) ^{2}}{Δ x} = Δ x \to 0 lim (3 + 2Δ x) = 3.

（可用公式验证：

f^{'} (x) = 4 x - 1

，

f^{'} (1) = 3

。）

例 2 求曲线

y = ln x

在点

(1, 0)

处的切线方程与法线方程。难度 1

先求斜率：

y^{'} = \frac{1}{x}

，故

k = y^{'}_{x = 1} = 1

。
切线过

(1, 0)

，斜率

1

：

y - 0 = 1 \cdot (x - 1) ⟹ y = x - 1.

法线斜率为

- \frac{1}{k} = - 1

：

y - 0 = - 1 \cdot (x - 1) ⟹ y = - x + 1.

例 3 设

f (x) = {e^{x}, a x + b, x \leq 0, x > 0,

问常数

a, b

取何值时

f

在

x = 0

处可导。难度 2

第一步：连续。 可导必先连续，要求左、右极限与函数值相等：

x \to 0^{-} lim e^{x} = 1 = f (0), x \to 0^{+} lim (a x + b) = b ⟹ b = 1.

第二步：左、右导数相等。

f_{-}^{'} (0) = (e^{x})^{'}_{0} = 1, f_{+}^{'} (0) = (a x + b)^{'}_{0} = a .

可导要求

f_{-}^{'} (0) = f_{+}^{'} (0)

，即

a = 1

。
综上

a = 1, b = 1

。

例 4 利用微分求

4.02

的近似值。难度 2

取

f (x) = x

，则

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}

。以

x_{0} = 4, Δ x = 0.02

，由线性近似公式

f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x

：

4.02 \approx f (4) + f^{'} (4) \times 0.02 = 2 + \frac{1}{4} \times 0.02 = 2.005.

（真值约

2.004994

，误差是比

Δ x

更高阶的无穷小。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知函数

g (x)

连续。设

f (x) = \int_{0}^{x^{2}} g (x t) d t

，求

f^{'} (x)

的表达式，并判断

f^{'} (x)

在

x = 0

处的连续性。

2025 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x)

在

x = 0

处连续，且

x \to 0 lim \frac{x f ( x ) - e ^{2 s i n x} + 1}{ln ( 1 + x ) + ln ( 1 - x )} = - 3

，证明

f (x)

在

x = 0

处可导，并求

f^{'} (0)

。

2025 年 · 数三 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x)

在区间

(a, b)

内可导，证明：导函数

f^{'} (x)

在

(a, b)

内严格单调增加的充分必要条件是对

(a, b)

内任意的

x_{1}, x_{2}, x_{3}

，当

x_{1} < x_{2} < x_{3}

时，

\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} < \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{2} )}{x _{3} - x _{2}}

。

2021 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{e ^{x} - 1}{x}, 1, x \neq = 0, x = 0

在

x = 0

处（　　）。

A连续且取极大值。
B连续且取极小值。
C可导且导数等于 $0$ 。
D可导且导数不为 $0$ 。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设

f (x)

在

x_{0}

处可导，且

f^{'} (x_{0}) = 2

，则

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} - h ) - f ( x _{0} )}{h} =

（　）

A $2$
B $- 2$
C $1$
D $- 1$

练习 2 · 选择题

下列函数在

x = 0

处不可导的是（　）

A $x ∣ x ∣$
B $x^{2}$
C $∣ x ∣$
D $x^{4/3}$

练习 3 · 填空题

曲线

y = e^{x}

在

x = 0

处的切线方程为 ____。

练习 4 · 填空题

设

f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4)

，则

f^{'} (1) =

____。

练习 5 · 填空题

设

f (x)

在

x = 1

处可导且

f^{'} (1) = 2

，则

x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x ^{2} - 1} =

____。

练习 6 · 选择题

设

f (x) = (x^{2} - 1) x^{2} - 4 x + 3

，则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内不可导点的个数为（　）

A $0$
B $3$
C $2$
D $1$

练习 7 · 填空题

设

f (x)

在

x = 2

处可导，且

f^{'} (2) = 3

，则

n \to \infty lim n [f (2 + \frac{2}{n}) - f (2 - \frac{1}{n})] =

____。

练习 8 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{e ^{2 x} - 1 - 2 x}{x ^{2}}, a, x \neq = 0, x = 0.

(1) 求常数

a

，使

f (x)

在

x = 0

处连续；

(2) 在 (1) 的条件下，用导数定义求

f^{'} (0)

；

(3) 求

x \to 0 lim f^{'} (x)

，并判断导函数

f^{'} (x)

在

x = 0

处是否连续。

2020 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

设

x \to a lim \frac{f ( x ) - a}{x - a} = b

，则

x \to a lim \frac{sin f ( x ) - sin a}{x - a} =

（　　）

A $b sin a$
B $b cos a$
C $b sin f (a)$
D $b cos f (a)$

2018 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

下列函数中，在

x = 0

处不可导的是（　　）

A $f (x) = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣$
B $f (x) = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣$
C $f (x) = cos ∣ x ∣$
D $f (x) = cos ∣ x ∣$

导数与微分的概念

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 可导 ⇔ 可微，二者都强于连续：为什么可导必定连续，而连续未必可导★ 要懂

2. 分段点处求导的两个步骤，以及导数极限定理：何时可以用 limf′(x) 代替 f′(x0​)★★ 必会

3. 凑成导数的定义式：求抽象函数极限的基本方法★★ 必会

4. 微分 dy 与增量 Δy：用切线代替曲线的线性近似及其误差

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 可导 $\Leftrightarrow$ 可微，二者都强于连续：为什么可导必定连续，而连续未必可导★ 要懂

2. 分段点处求导的两个步骤，以及导数极限定理：何时可以用 $lim f^{'} (x)$ 代替 $f^{'} (x_{0})$ ★★ 必会

4. 微分 $d y$ 与增量 $Δ y$ ：用切线代替曲线的线性近似及其误差