边际与弹性（导数的经济意义）

§2.11 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

2.30 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

2.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）导数与微分的概念求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁定积分的经济应用（由边际求总量、剩余）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 边际 $=$ 导数：再多生产一个单位时总量增加多少★★ 必会

经济学中的边际

\times \times

就是

\times \times

的导数。设经济量

y = f (x)

可导，则称

f^{'} (x)

为

f

的边际函数，它的含义是：当自变量在

x

处再增加一个单位时，

y

的近似改变量。最常用的有三个：边际成本

C^{'} (Q)

、边际收益

R^{'} (Q)

、边际利润

L^{'} (Q) = R^{'} (Q) - C^{'} (Q)

，其中总收益

R (Q) = P \cdot Q

、利润

L (Q) = R (Q) - C (Q)

。凡是遇到边际二字，就把它理解为求导。必须注意边际 $\neq =$ 平均：平均成本

\overline{C} (Q) = \frac{C ( Q )}{Q}

，它与边际成本

C^{'} (Q)

是两回事，只有在平均成本取极小值处二者才相等。

证明 / 推导

为什么边际就是导数？ 由微分给出的线性近似

Δ y \approx f^{'} (x) Δ x

。在经济量中，一个单位相对于总量往往很小，取

Δ x = 1

便有

Δ y \approx f^{'} (x)

，于是再生产一件的成本

\approx C^{'} (Q)

，再卖出一件的收益

\approx R^{'} (Q)

。反过来，由边际量求总量就是积分：

C (Q) = C (0) + \int_{0}^{Q} C^{'} (t) d t

。

■

举例说明

例（数三 2014）. 设某商品的需求函数为

Q = 40 - 2 P

，其中

P

为价格，求边际收益。
解. 先把价格用产量表示，即求反需求函数：由

Q = 40 - 2 P

得

P = 20 - \frac{Q}{2}

。于是收益为

R (Q) = P \cdot Q = (20 - \frac{Q}{2}) Q = 20 Q - \frac{Q ^{2}}{2} .

边际收益为

R^{'} (Q) = 20 - Q

。

■

（它表示当产量为

Q

时，再多销售一件，收益约增加

20 - Q

。）

2. 弹性 $=$ 相对变化率 $f^{'} (x) \cdot \frac{x}{y}$ ：它是无量纲的量，因而便于比较★★ 必会

边际量是带单位的（元每件），换一个单位数值就改变，无法作横向比较。经济学需要一个无量纲的相对灵敏度，这就是弹性：

\frac{E y}{E x} = f^{'} (x) \cdot \frac{x}{y},

它的含义是：当

x

变化

1%

时

y

变化的百分数。其中最重要的是需求价格弹性

η = \frac{d Q}{d P} \cdot \frac{P}{Q}

。因为需求随价格递减，所以

η < 0

，习惯上用

∣ η ∣

来分类：

∣ η ∣ > 1

时称富有弹性，

∣ η ∣ < 1

时称缺乏弹性，

∣ η ∣ = 1

时称单位弹性。计算的步骤是：先求导数 $\frac{d Q}{d P}$ ，再乘以 $\frac{P}{Q}$ 。（有些教材把需求弹性定义为正数

- \frac{d Q}{d P} \cdot \frac{P}{Q}

，必须看清题目的约定。）

证明 / 推导

弹性为什么写成 $f^{'} (x) \cdot \frac{x}{y}$ ？ 它是两个相对变化率之比：

\frac{E y}{E x} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ y / y}{Δ x / x} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} \cdot \frac{x}{y} = f^{'} (x) \cdot \frac{x}{y} .

分子与分母都取百分比，单位全部约去，得到的是一个纯数。因此钢材的需求弹性与粮食的需求弹性才可以比较大小。

■

举例说明

例（数三 2007）. 设需求函数为

Q = 160 - 2 p

，若需求弹性的绝对值等于 $1$ ，求价格

p

。
解.

\frac{d Q}{d p} = - 2

，需求弹性

η = \frac{d Q}{d p} \cdot \frac{p}{Q} = \frac{- 2 p}{160 - 2 p} = \frac{- p}{80 - p}

。
由

∣ η ∣ = \frac{p}{80 - p} = 1

，在

0 < p < 80

上解方程

\frac{p}{80 - p} = 1

，得

p = 40

。

■

（这时是单位弹性，收益最大，见下一条。）

3. 由弹性判定收益的变化方向： $\frac{d R}{d P} = Q (1 - ∣ η ∣)$ ★ 要懂

提价究竟增收还是减收，由弹性决定。把收益

R = P Q

对价格求导，得

\frac{d R}{d P} = Q + P \frac{d Q}{d P} = Q (1 + \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P}) = Q (1 - ∣ η ∣) .

于是：当缺乏弹性即

∣ η ∣ < 1

时，

\frac{d R}{d P} > 0

，提价增收、降价减收；当富有弹性即

∣ η ∣ > 1

时，

\frac{d R}{d P} < 0

，提价减收、降价增收；当单位弹性即

∣ η ∣ = 1

时，

\frac{d R}{d P} = 0

，收益最大。

\frac{d R}{d P} = Q (1 - ∣ η ∣)

是数三经济类试题中的常用结论。

证明 / 推导

推导. 由

R = P Q

、

Q = Q (P)

，用乘积的求导法则得

\frac{d R}{d P} = Q + P \frac{d Q}{d P}

。提出

Q

，得

= Q (1 + \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P})

。而正的弹性

∣ η ∣ = - \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P}

，故括号内

= 1 - ∣ η ∣

，于是

\frac{d R}{d P} = Q (1 - ∣ η ∣)

。

■

举例说明

例（数三 2004）. 设需求函数为

Q = 100 - 5 P

，其中

0 < P < 20

。（Ⅰ）求需求量对价格的弹性

E_{d} > 0

；（Ⅱ）证明

\frac{d R}{d P} = Q (1 - E_{d})

，并说明价格在什么范围内降价反而增收。
解.（Ⅰ）取正的弹性

E_{d} = - \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P} = - \frac{P}{100 - 5 P} \cdot (- 5) = \frac{5 P}{100 - 5 P} = \frac{P}{20 - P}

。
（Ⅱ）

R = P Q

，

\frac{d R}{d P} = Q + P \frac{d Q}{d P} = Q (1 - E_{d})

。降价增收就是

\frac{d R}{d P} < 0

，因为

Q > 0

，所以要求

E_{d} > 1

：

\frac{P}{20 - P} > 1 \Rightarrow P > 10

。结合

0 < P < 20

，得当

10 < P < 20

（富有弹性）时降价反而增收。

■

4. 利润最大 $\Leftrightarrow$ 边际收益 $=$ 边际成本；平均成本最小 $\Leftrightarrow$ MC $=$ AC★★ 必会

数三经济类解答题中的两类最优化问题，实质都是令导数

= 0

：
- 利润最大：利润

L (Q) = R (Q) - C (Q)

，令

L^{'} (Q) = 0

，即

R^{'} (Q) = C^{'} (Q)

，也就是边际收益 $=$ 边际成本；再验证

L^{''} (Q) < 0

，确认取得极大值。
- 平均成本最小：令

(\overline{C})^{'} = (C / Q)^{'} = 0

，得

C^{'} (Q) = \frac{C ( Q )}{Q}

，也就是边际成本 $=$ 平均成本。
这两个相等式都是一阶条件的直接结果。解题的规范是：设出变量，写出目标函数与定义域，求驻点，再用二阶导数或问题本身的性质验证它是最值。

证明 / 推导

两个一阶条件的来历. ① 由

L = R - C \Rightarrow L^{'} = R^{'} - C^{'}

，令

L^{'} = 0

，即

R^{'} = C^{'}

。② 对

\overline{C} = \frac{C ( Q )}{Q}

用商的求导法则，得

\overline{C}^{'} (Q) = \frac{C ^{'} ( Q ) Q - C ( Q )}{Q ^{2}}

，令它

= 0

，得

C^{'} (Q) Q = C (Q)

，即

C^{'} (Q) = \frac{C ( Q )}{Q}

（边际

=

平均）。

■

举例说明

例（数三 2020）. 设某产品的产量为

Q

，成本为

C (Q) = 100 + 13 Q

，单价为

p

，需求量为

q (p) = \frac{800}{p + 3} - 2

。求利润最大时的产量。
解. 由产销平衡

Q = q

，再由

Q = \frac{800}{p + 3} - 2

反解得

p = \frac{800}{Q + 2} - 3

。于是利润为

L (Q) = pQ - C (Q) = (\frac{800}{Q + 2} - 3) Q - (100 + 13 Q) = \frac{800 Q}{Q + 2} - 16 Q - 100.

L^{'} (Q) = \frac{1600}{( Q + 2 ) ^{2}} - 16 = 0 \Rightarrow (Q + 2)^{2} = 100 \Rightarrow Q = 8

。当

Q < 8

时

L^{'} > 0

，当

Q > 8

时

L^{'} < 0

，故

Q = 8

时利润最大。

■

💡 小知识

弹性这一概念由马歇尔（A. Marshall）在 1890 年的《经济学原理》中引入，灵感来自物理学中弹簧的相对形变与相对受力之比。他把这种没有量纲的相对灵敏度搬进了经济学。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设生产某产品的平均成本为

\overline{C} (Q) = 1 + e^{- Q}

（

Q

为产量），求边际成本。难度 1

边际成本是总成本的导数

C^{'} (Q)

，而总成本

C (Q) = Q \cdot \overline{C} (Q) = Q (1 + e^{- Q}) = Q + Q e^{- Q}

。
故

C^{'} (Q) = 1 + e^{- Q} + Q \cdot (- e^{- Q}) = 1 + (1 - Q) e^{- Q}

。（数三 2017）

例 2 设需求函数

Q = 100 - 5 P

。若需求弹性的绝对值大于 $1$ ，求价格

P

的取值范围。难度 2

\frac{d Q}{d P} = - 5

，需求弹性绝对值

∣ η ∣ = \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P} = \frac{- 5 P}{100 - 5 P} = \frac{5 P}{100 - 5 P}

（

P < 20

时分母为正）。
令

∣ η ∣ > 1

：

5 P > 100 - 5 P \Rightarrow P > 10

；又需求量

Q = 100 - 5 P \geq 0

给出

P \leq 20

。故

10 < P \leq 20

。（数三 1992）

例 3 设某商品需求函数为

P = 10 e^{- x /2}

（

x

为需求量，最大需求量为

6

）。求收益函数与边际收益，并求收益最大时的产量、最大收益及相应价格。难度 2

收益

R (x) = x P (x) = 10 x e^{- x /2} (0 \leq x \leq 6)

。边际收益

R^{'} (x) = 10 e^{- x /2} + 10 x \cdot (- \frac{1}{2}) e^{- x /2} = 5 (2 - x) e^{- x /2} .

令

R^{'} (x) = 0

得

x = 2

；

R^{''} (x) = \frac{5}{2} (x - 4) e^{- x /2}

，

R^{''} (2) = - \frac{5}{e} < 0

，故

x = 2

时收益最大。最大收益

R (2) = 20 e^{- 1} = \frac{20}{e}

，相应价格

P (2) = 10 e^{- 1} = \frac{10}{e}

。（数三 1989）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

设某产品的价格函数为

p = {25 - 0.25 Q, 35 - 0.75 Q, Q \leq 20 Q > 20

（

p

为单价，单位：万元，

Q

为产量，单位：件），总成本函数为

C = 150 + 5 Q + 0.25 Q^{2}

（万元），则经营该产品可获得的最大利润为 ______（万元）。

2022 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设某产品的产量

Q

由资本投入量

x

和劳动投入量

y

决定，生产函数为

Q = 12 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{6}}

，该产品的销售单价

p

与

Q

的关系为

p = 1160 - 1.5 Q

. 若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为

6

和

8

，求利润最大时的产量.

2020 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设某厂家生产某产品的产量为

Q

，成本

C (Q) = 100 + 13 Q

，该产品的单价为

p

，需求量

q (p) = \frac{800}{p + 3} - 2

，则该厂家获得最大利润时的产量为 ______.

2019 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

以

P_{A}, P_{B}

分别表示 A、B 两个商品的价格，设商品 A 的需求函数

Q_{A} = 500 - P_{A}^{2} - P_{A} P_{B} + 2 P_{B}^{2}

，则当

P_{A} = 10, P_{B} = 20

时，商品 A 的需求量对自身价格的弹性

η_{AA} (η_{AA} > 0) =

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设成本函数

C (Q)

可导（

Q

为产量）。若产量为

Q_{0}

时平均成本最小，则（　）

A $C^{'} (Q_{0}) = 0$
B $C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})$
C $C^{'} (Q_{0}) = Q_{0} C (Q_{0})$
D $Q_{0} C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})$

练习 2 · 填空题

设需求函数

Q = Q (p)

对价格

p

的弹性（绝对值）

ε_{p} = 0.2

。当需求量为

10000

件时，价格增加

1

元会使收益增加约 ____ 元。

练习 3 · 填空题

设某商品需求函数

Q = 100 - 2 P

，则

P = 20

时的需求价格弹性

η =

____。

练习 4 · 选择题

关于边际与弹性，下列说法正确的是（　）

A边际成本等于平均成本 $\frac{C ( Q )}{Q}$
B需求价格弹性 $η = \frac{d Q}{d P}$
C边际收益是收益函数的导数 $R^{'} (Q)$
D需求价格弹性一定为正

练习 5 · 填空题

设某产品成本

C (Q) = Q^{2} + 2 Q + 10

，单价固定为

p = 20

，则利润最大时的产量

Q =

____。

练习 6 · 选择题

设某商品的需求函数为

Q = 800 e^{- P /20}

，其中

P

为价格（单位：元），

Q

为需求量。当

P = 30

时，若价格上涨

1%

，则总收益

R = P Q

大约（　）。

A增加 $0.5%$
B减少 $1.5%$
C增加 $1.5%$
D减少 $0.5%$

练习 7 · 填空题

设某产品的需求函数为

P = 20 - \frac{Q}{20}

（

P

为价格，

Q

为销量），总成本函数为

C (Q) = 200 + 4 Q + \frac{Q ^{2}}{20}

。则利润最大时的需求价格弹性

η =

____。

练习 8 · 解答题

设某商品的需求函数为

Q = 1000 - 50 P

（

Q

为需求量，

P

为价格，

0 < P < 20

），生产该商品的总成本函数为

C (Q) = 2000 + 2 Q

。

(1) 求需求价格弹性

η (P)

，并求

∣ η ∣ = 1

时的价格；

(2) 求总收益

R

对价格

P

的弹性

\frac{E R}{E P}

，并指出在什么价格范围内提价能增加总收益；

(3) 求利润最大时的价格、销量与最大利润，并求此时的需求价格弹性；

(4) 说明为什么「利润最大时的价格」严格高于「收益最大时的价格」。

2018 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

设某产品的成本函数

C (Q)

可导，其中

Q

为产量。若产量为

Q_{0}

时平均成本最小，则（　　）

A $C^{'} (Q_{0}) = 0$
B $C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})$
C $C^{'} (Q_{0}) = Q_{0} C (Q_{0})$
D $Q_{0} C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})$

2017 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设生产某产品的平均成本为

\overline{C} (Q) = 1 + e^{- Q}

，其中产量为

Q

，则边际成本为 ______。

边际与弹性（导数的经济意义）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 边际 = 导数：再多生产一个单位时总量增加多少★★ 必会

2. 弹性 = 相对变化率 f′(x)⋅yx​：它是无量纲的量，因而便于比较★★ 必会

3. 由弹性判定收益的变化方向：dPdR​=Q(1−∣η∣)★ 要懂

4. 利润最大 ⇔ 边际收益 = 边际成本；平均成本最小 ⇔ MC = AC★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 边际 $=$ 导数：再多生产一个单位时总量增加多少★★ 必会

2. 弹性 $=$ 相对变化率 $f^{'} (x) \cdot \frac{x}{y}$ ：它是无量纲的量，因而便于比较★★ 必会

3. 由弹性判定收益的变化方向： $\frac{d R}{d P} = Q (1 - ∣ η ∣)$ ★ 要懂

4. 利润最大 $\Leftrightarrow$ 边际收益 $=$ 边际成本；平均成本最小 $\Leftrightarrow$ MC $=$ AC★★ 必会