求导法则（四则、复合、反函数）

§2.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.92 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

8.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）导数与微分的概念③ 掌握后可解锁隐函数与参数方程求导高阶导数边际与弹性（导数的经济意义）不定积分的概念与性质换元积分法与分部积分法多元复合函数求导法则

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 乘积法则为什么是 $u^{'} v + u v^{'}$ ，以及它向三个因子的推广★ 要懂

乘积的导数不是各因子导数的乘积，而是每次只对一个因子求导，其余因子不动，再把结果相加。这一结构可以直接推广：

(uv w)^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + uv w^{'}

，

n

个因子的情形与此相同。从几何上看，边长为

u, v

的矩形，其面积的增量主要来自沿两条边的长条

v Δ u

与

u Δ v

，而角上的小矩形

Δ u Δ v

是高阶无穷小。

证明 / 推导

证. 记

Δ u = u (x + Δ x) - u (x)

，

Δ v = v (x + Δ x) - v (x)

，也就是

u (x + Δ x) v (x + Δ x) = u (x) + Δ u, = v (x) + Δ v .

代入定义直接展开：

Δ (uv) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) - u (x) v (x) = [u (x) + Δ u] [v (x) + Δ v] - u (x) v (x) = Δ u \cdot v (x) + u (x) \cdot Δ v + Δ u Δ v .

除以

Δ x

并令

Δ x \to 0

，前两项

\to u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

；

v

可导必连续，故

Δ v \to 0

，末项

\frac{Δ u Δ v}{Δ x} = \frac{Δ u}{Δ x} Δ v \to u^{'} (x) \cdot 0 = 0

。简记

u = u (x)

，

v = v (x)

，这就是

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

。对于三个因子，只需写成

uv w = (uv) w

，再用一次乘积法则即得。

■

2. 链式法则：由外向内逐层求导，抽象的复合函数尤须注意★★ 必会

y = f (g (x))

的导数

= f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

，即先把外层函数作为整体求导，再乘以内层函数的导数；若有多层，就逐层相乘。这可以由

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x}

看出，即变化率相乘。试题常给出抽象函数

f

，考查是否记得乘上内层的导数，并在内层的值处取导数。

证明 / 推导

要点推导. 设

u = g (x)

在

x

处可导，

y = f (u)

在

u = g (x)

处可导。当

Δ x \to 0

时

Δ u \to 0

，且

\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x} \to f^{'} (u) \cdot g^{'} (x) = f^{'} (g (x)) g^{'} (x) .

（严格的证明还需处理

Δ u = 0

的情形，改用增量式

Δ y = f^{'} (u) Δ u + o (Δ u)

即可避开，结论不变。）

■

举例说明

例（数三 1993）. 设

y = f (\frac{3 x - 2}{3 x + 2})

，且

f^{'} (x) = arctan x^{2}

，求

\frac{d y}{d x}_{x = 0}

。
解. 记内层

u = \frac{3 x - 2}{3 x + 2}

，则

y = f (u)

，由链式法则

\frac{d y}{d x} = f^{'} (u) \cdot u^{'} (x)

，其中

f^{'} (u) = arctan u^{2}

（把

f^{'}

的自变量整体换成

u

）。
对内层求导，得

u^{'} = \frac{3 ( 3 x + 2 ) - 3 ( 3 x - 2 )}{( 3 x + 2 ) ^{2}} = \frac{12}{( 3 x + 2 ) ^{2}}

。
令

x = 0

，得

u = \frac{- 2}{2} = - 1

，

f^{'} (- 1) = arctan (- 1)^{2} = arctan 1 = \frac{π}{4}

，

u^{'} (0) = \frac{12}{4} = 3

。故

\frac{d y}{d x}_{0} = \frac{π}{4} \cdot 3 = \frac{3 π}{4}

。

■

易错：

f^{'}

的自变量应整体代入

u = - 1

（不是

x = 0

），并且不要漏掉内层的导数

u^{'}

。

3. 反函数的求导法则，以及由它推出反三角函数的导数★ 要懂

若

y = f (x)

单调可导，且

f^{'} (x) \neq = 0

，那么它的反函数

x = f^{- 1} (y)

可导，且

[f^{- 1} (y)]^{'} = \frac{1}{f ^{'} ( x )}

，即

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x}

。这是切线斜率取倒数的自然结果，也是推导

arcsin, arctan

等函数的导数的正规途径，不必强记。

证明 / 推导

证（以 $arcsin$ 为例）. 设

y = arcsin x

，即

x = sin y, y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

，在这一区间上

cos y \geq 0

。由反函数的求导法则，得

(arcsin x)^{'} = \frac{1}{( sin y ) ^{'}} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{1 - sin ^{2} y} = \frac{1}{1 - x ^{2}} .

与此相类似，由

x = tan y

得

(arctan x)^{'} = \frac{1}{sec ^{2} y} = \frac{1}{1 + tan ^{2} y} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

。

■

4. 对数求导法：幂指函数为什么不能只按幂函数或只按指数函数求导★★ 必会

对幂指函数

u (x)^{v (x)}

，以及由连乘、连除与根式构成的复杂函数，先取对数再求导最为简便。幂指函数

u^{v}

之所以不能当作幂函数（

v u^{v - 1} u^{'}

）求导，也不能当作指数函数（

u^{v} ln u \cdot v^{'}

）求导，是因为底数与指数同时在变，上面两种写法各自只算对了一半。取对数（等价于写成

u^{v} = e^{v l n u}

）可以把这两部分一次求出。

证明 / 推导

通用公式. 设

y = u^{v} = e^{v l n u}

，则

y^{'} = e^{v l n u} (v^{'} ln u + v \cdot \frac{u ^{'}}{u}) = u^{v} (v^{'} ln u + \frac{v u ^{'}}{u}) .

由此可见，结果恰是按指数函数求导所得的一项与按幂函数求导所得的一项之和，所以不能只取其中一项。

■

举例说明

例. 求

y = (sin x)^{x} (0 < x < π)

的导数。
解. 取对数得

ln y = x ln sin x

，两边求导，得

\frac{y ^{'}}{y} = ln sin x + x \cdot \frac{cos x}{sin x} = ln sin x + x cot x .

故

y^{'} = (sin x)^{x} (ln sin x + x cot x)

。

■

💡 小知识

链式法则

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}

看上去像是把分数里的

d u

约掉了。莱布尼茨记号的巧妙就在这里，它像一个会骗人却总说真话的谎言：形式上是约分，实际做的是两个变化率相乘。正因如此，物理里换元、换单位的时候，才能放心地上下一约。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

y = x^{2} ln x

的导数。难度 1

用乘积法则

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

，取

u = x^{2}, v = ln x

：

y^{'} = (x^{2})^{'} ln x + x^{2} (ln x)^{'} = 2 x ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x ln x + x .

例 2 求

y = (2 x + 1)^{10}

的导数。难度 1

这是复合函数，外层幂函数、内层

2 x + 1

。由链式法则「外层求导

\times

内层求导」：

y^{'} = 10 (2 x + 1)^{9} \cdot (2 x + 1)^{'} = 10 (2 x + 1)^{9} \cdot 2 = 20 (2 x + 1)^{9} .

（切记带出内层导数

2

，否则会漏系数。）

例 3 求

y = \frac{x}{1 + x ^{2}}

的导数。难度 2

用商法则，分子

u = x

，分母

v = (1 + x^{2})^{1/2}

，

v^{'} = \frac{x}{1 + x ^{2}}

：

y^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{1 + x ^{2} - x \cdot \frac{x}{1 + x ^{2}}}{1 + x ^{2}} .

分子通分：

\frac{( 1 + x ^{2} ) - x ^{2}}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}}

。故

y^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2} ( 1 + x ^{2} )} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} .

例 4 用对数求导法求

y = x^{x} (x > 0)

的导数。难度 2

幂指函数两边取对数：

ln y = x ln x

。两边对

x

求导（左边

y

是

x

的函数，用链式法则）：

\frac{y ^{'}}{y} = ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1.

故

y^{'} = y (ln x + 1) = x^{x} (ln x + 1) .

（

x^{x}

既不能写成

x \cdot x^{x - 1}

，也不能写成

x^{x} ln x

——必须取对数让底数与指数同时被求导。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{1}^{x^{3}} \frac{e ^{t}}{1 + t ^{2}} d t

，

f

的反函数为

g

，则（　　）。

A $g (0) = 1, g^{'} (0) = \frac{3}{2} e$
B $g (0) = 1, g^{'} (0) = \frac{2}{3 e}$
C $g (1) = 0, g^{'} (1) = \frac{3}{2} e$
D $g (1) = 0, g^{'} (1) = \frac{2}{3 e}$

2022 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

f (x) = e^{s i n x} + e^{- s i n x}

，则

f^{'''} (2 π) =

______.

2021 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

若

y = cos e^{- x}

，则

\frac{d y}{d x}_{x = 1} =

______。

2019 年 · 数三 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

f (x) = {x^{2 x}, x e^{x} + 1, x > 0 x \leq 0

，求

f^{'} (x)

，并求

f (x)

的极值.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

\frac{d}{d x} sin 2 x =

（　）

A $cos 2 x$
B $2 cos 2 x$
C $- 2 cos 2 x$
D $2 sin 2 x$

练习 2 · 选择题

设

y = e^{x^{2}}

，则

y^{'} =

（　）

A $e^{x^{2}}$
B $2 x e^{x^{2}}$
C $x^{2} e^{x^{2}}$
D $2 e^{x^{2}}$

练习 3 · 填空题

\frac{d}{d x} ln (cos x) =

____。

练习 4 · 填空题

设

y = x^{x} (x > 0)

，则

y^{'}_{x = 1} =

____。

练习 5 · 填空题

设

f (x) = arctan 2 x

，则

f^{'} (0) =

____。

练习 6 · 选择题

设

y = x^{s i n x} (x > 0)

，则

y^{'}_{x = π} =

（　）。

A $0$
B $- 1$
C $ln π$
D $- ln π$

练习 7 · 填空题

设函数

y = f (x) = x + e^{x}

，其反函数为

x = φ (y)

，则

φ^{'} (1) =

____。

练习 8 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{ln ( 1 + 2 x )}{x}, a + b x, x > 0, x \leq 0,

其中

a, b

为常数。

(1) 求

a

，使

f (x)

在

x = 0

处连续；

(2) 在 (1) 的基础上求

b

，使

f (x)

在

x = 0

处可导，并求

f^{'} (0)

。

2015 年 · 数三 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

（Ⅰ）设函数

u (x), v (x)

可导，利用导数定义证明

[u (x) v (x)]^{'} = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

；

（Ⅱ）设函数

u_{1} (x), u_{2} (x), \dots, u_{n} (x)

可导，

f (x) = u_{1} (x) u_{2} (x) \dots u_{n} (x)

，写出

f (x)

的求导公式。

2012 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x) = (e^{x} - 1) (e^{2 x} - 2) \dots (e^{n x} - n)

，其中

n

为正整数，则

f^{'} (0) =

（　　）。

A $(- 1)^{n - 1} (n - 1)!$
B $(- 1)^{n} (n - 1)!$
C $(- 1)^{n - 1} n!$
D $(- 1)^{n} n!$

求导法则（四则、复合、反函数）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 乘积法则为什么是 u′v+uv′，以及它向三个因子的推广★ 要懂

2. 链式法则：由外向内逐层求导，抽象的复合函数尤须注意★★ 必会

3. 反函数的求导法则，以及由它推出反三角函数的导数★ 要懂

4. 对数求导法：幂指函数为什么不能只按幂函数或只按指数函数求导★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 乘积法则为什么是 $u^{'} v + u v^{'}$ ，以及它向三个因子的推广★ 要懂