多元复合函数求导法则

§4.4 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.88 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

1.5 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁多元隐函数求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 变量依赖树法则：沿每条路径相乘，再把各条路径相加★★ 必会

先画出变量依赖树：因变量在最上层，逐层向下连到中间变量，再连到自变量。求某个偏导数时，沿从因变量到该自变量的每一条路径把沿途的（偏）导数相乘，再把通往该自变量的所有路径的结果相加。中间变量有几个，和式就有几项，画树的目的就是避免漏项。各条路径之所以相加，是因为自变量的微小变化经由每个中间变量各自贡献一份增量，而这些贡献是叠加的。

证明 / 推导

以

z = f (u, v), u = u (x, y), v = v (x, y)

为例，设

f

可微，下面推导

\frac{\partial z}{\partial x}

。固定

y

，给

x

以增量

Δ x

，由可微性得

Δ z ρ = f_{u} Δ u + f_{v} Δ v + o (ρ) = Δ u^{2} + Δ v^{2} .

两边除以

Δ x

并令

Δ x \to 0

。因

\frac{Δ u}{Δ x} \to u_{x}, \frac{Δ v}{Δ x} \to v_{x}

，而

\frac{o ( ρ )}{Δ x} \to 0

，故得

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{u} u_{x} + f_{v} v_{x} .

两个中间变量对应于两项之和，这就是各条路径相加的由来。

■

2. 全微分形式不变性：一次求出两个偏导数，且不易漏项

无论

u, v

是自变量还是中间变量，全微分总有

d z = \frac{\partial z}{\partial u} d u + \frac{\partial z}{\partial v} d v

。因此求复合函数的偏导数时可以这样做：先写出

d z

，再把

d u, d v

各自展开成

d x, d y

的表达式，合并同类项后，

d x, d y

的系数分别就是

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}

。这样一次可以求得两个偏导数，而且不容易漏项，比逐个使用链式法则更为稳妥。

证明 / 推导

证. 设

z = f (u, v)

可微，

u = u (x, y)

与

v = v (x, y)

也可微。这时

z

是

x, y

的复合函数。由链式法则，得

\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} u_{x} + \frac{\partial z}{\partial v} v_{x} = \frac{\partial z}{\partial u} u_{y} + \frac{\partial z}{\partial v} v_{y} .

把它们代入以

x, y

为自变量的全微分公式，得

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y = \frac{\partial z}{\partial u} (u_{x} d x + u_{y} d y) + \frac{\partial z}{\partial v} (v_{x} d x + v_{y} d y) .

括号内的两个式子恰是

u, v

作为

x, y

的函数的全微分，即

d u

与

d v

。因此

d z = \frac{\partial z}{\partial u} d u + \frac{\partial z}{\partial v} d v .

这与

u, v

作自变量时的写法完全相同。这就证明了一阶全微分的形式不变性。

■

比较系数为什么可行. 展开合并后所得的式子

d z = A d x + B d y

对

d x, d y

的一切取值都成立。取

d x = 1, d y = 0

，得

A = \frac{\partial z}{\partial x}

；取

d x = 0, d y = 1

，得

B = \frac{\partial z}{\partial y}

。这里用到

x, y

是自变量，它们的微分可以独立地任意取值。

只对一阶成立. 如果

u, v

是自变量，那么

d^{2} z = z_{uu} d u^{2} + 2 z_{uv} d u d v + z_{v v} d v^{2}

；如果

u, v

是中间变量，那么还要添上

z_{u} d^{2} u + z_{v} d^{2} v

两项。因此二阶微分没有形式不变性，上述结论不能推广到二阶。

举例说明

设

z = f (u, v), u = x y, v = \frac{x}{y}

。由

d u = y d x + x d y, d v = \frac{1}{y} d x - \frac{x}{y ^{2}} d y

得

d z = f_{1}^{'} (y d x + x d y) + f_{2}^{'} (\frac{1}{y} d x - \frac{x}{y ^{2}} d y) = (y f_{1}^{'} + \frac{1}{y} f_{2}^{'}) d x + (x f_{1}^{'} - \frac{x}{y ^{2}} f_{2}^{'}) d y .

比较系数即得

\frac{\partial z}{\partial x} = y f_{1}^{'} + \frac{1}{y} f_{2}^{'}, \frac{\partial z}{\partial y} = x f_{1}^{'} - \frac{x}{y ^{2}} f_{2}^{'}

。

3. 抽象复合函数的二阶偏导数： $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 仍是复合函数，必须再用一次链式法则★★ 必会

如果不给出

z = f (u, v)

的具体表达式，就记

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial u}

，即对第一个位置求偏导数，并记

f_{2}^{'} = \frac{\partial f}{\partial v}

。这里的下标表示位置，而不是表示对

x, y

求导。困难之处在于二阶偏导数：

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

与 $f$ 的结构相同，仍以原来的

u, v

为中间变量，所以对它们再求偏导数时必须再用一遍链式法则，从而出现

f_{11}^{''}, f_{12}^{''}, f_{22}^{''}

。遗漏这一步是求二阶偏导数时最常见的错误。

举例说明

设

z = f (x^{2} + y^{2})

，其中只有一个中间变量

u = x^{2} + y^{2}

，且

f

二阶可导，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}

。一阶偏导数为

z_{x} = f^{'} (u) \cdot 2 x = 2 x f^{'}

。再对

x

求导时，注意

f^{'}

仍是复合函数，有

\frac{\partial}{\partial x} f^{'} = f^{''} \cdot 2 x

，再结合乘积的求导法则，得

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (2 x f^{'}) = 2 f^{'} + 2 x \cdot f^{''} \cdot 2 x = 2 f^{'} (x^{2} + y^{2}) + 4 x^{2} f^{''} (x^{2} + y^{2}) .

如果漏掉对

f^{'}

再用一次链式法则，就会误得

2 f^{'}

。

4. 必须区分全导数 $\frac{d z}{d x}$ 与偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ★ 要懂

设

z = f (x, y)

，而

y = y (x)

，则

z

最终只是

x

的函数。求它的全导数时，必须把

y

对

x

的依赖关系也计算在内：

\frac{d z}{d x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x} .

而偏导数

\frac{\partial f}{\partial x}

是把

y

看作与之无关的常量所得的结果。两者相差一项

\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x}

，因此记号

d

与

\partial

不能混用。这一关系在隐函数与条件极值的问题中反复用到。

证明 / 推导

设

f (x, y)

可微，

y = y (x)

可导，下面推导全导数公式。给

x

以增量

Δ x \neq = 0

，相应地记

Δ y Δ z = y (x + Δ x) - y (x) = f (x + Δ x, y + Δ y) - f (x, y) .

因为

y

可导，所以

y

连续，当

Δ x \to 0

时

Δ y \to 0

。由

f

可微得

Δ z ρ = \frac{\partial f}{\partial x} Δ x + \frac{\partial f}{\partial y} Δ y + o (ρ) = Δ x^{2} + Δ y^{2} .

两端除以

Δ x

，得

\frac{Δ z}{Δ x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{Δ y}{Δ x} + \frac{o ( ρ )}{Δ x} .

当

Δ x \to 0

时

\frac{Δ y}{Δ x} \to y^{'} (x)

。至于末项，由

\frac{o ( ρ )}{Δ x} = \frac{o ( ρ )}{ρ} \cdot \frac{ρ}{∣Δ x ∣} = \frac{o ( ρ )}{ρ} \cdot 1 + (\frac{Δ y}{Δ x})^{2}

可知它是无穷小与有界量之积，故趋于

0

。于是

\frac{d z}{d x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} y^{'} (x) .

由推导可见，多出来的一项来自

Δ y

，也就是来自

y

随

x

的变化。如果

y

是常量，那么

Δ y \equiv 0

，全导数与偏导数就相同了。这就证明了两者相差一项的原因。

还应注意，推导中用到的是

f

可微。如果

f

只有两个偏导数而不可微，那么

Δ z

写不成上面的形式，这个公式也就可能不成立。

■

举例说明

设

z = x^{2} + y^{2}

，

y = sin x

。偏导数

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x

，这是把

y

看作常量所得的结果；全导数

\frac{d z}{d x} = 2 x + 2 y \cdot cos x = 2 x + 2 sin x cos x = 2 x + sin 2 x

。二者相差

sin 2 x

，这一项就是由

y

随

x

变化所产生的。

💡 小知识

全微分形式不变性带来的便利很大：无论把

u, v

看作自变量还是中间变量，

d z = f_{u} d u + f_{v} d v

的写法都一字不改。换元之后不必重新求导，热力学和经济学里换变量时公式能够照搬，依据也在于此。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

z = u^{2} + v^{2}

，而

u = x + y, v = x - y

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 1

按链式法则‘连乘分加’。先求各偏导：

z_{u} = 2 u, z_{v} = 2 v

，

u_{x} = 1, u_{y} = 1, v_{x} = 1, v_{y} = - 1

。于是

\frac{\partial z}{\partial x} = z_{u} u_{x} + z_{v} v_{x} = 2 u \cdot 1 + 2 v \cdot 1 = 2 (x + y) + 2 (x - y) = 4 x,

\frac{\partial z}{\partial y} = z_{u} u_{y} + z_{v} v_{y} = 2 u \cdot 1 + 2 v \cdot (- 1) = 2 (x + y) - 2 (x - y) = 4 y .

验证：直接代入

z = (x + y)^{2} + (x - y)^{2} = 2 x^{2} + 2 y^{2}

，得

z_{x} = 4 x, z_{y} = 4 y

，一致。

例 2 设

z = uv

，而

u = cos t, v = sin t

，求全导数

\frac{d z}{d t}

。难度 1

z

通过

u, v

两条链依赖

t

，全导数为两项之和：

\frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{d t} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{d t} = v \cdot (- sin t) + u \cdot cos t = - sin^{2} t + cos^{2} t = cos 2 t .

验证：

z = cos t sin t = \frac{1}{2} sin 2 t

，

\frac{d z}{d t} = cos 2 t

，一致。

例 3 设

z = f (x^{2} - y^{2}, x y)

，其中

f

有连续偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 2

记中间变量

u = x^{2} - y^{2}, v = x y

，

f_{1}^{'} = \frac{\partial f}{\partial u}, f_{2}^{'} = \frac{\partial f}{\partial v}

。各偏导：

u_{x} = 2 x, u_{y} = - 2 y, v_{x} = y, v_{y} = x

。按‘连乘分加’：

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot 2 x + f_{2}^{'} \cdot y = 2 x f_{1}^{'} + y f_{2}^{'},

\frac{\partial z}{\partial y} = f_{1}^{'} \cdot (- 2 y) + f_{2}^{'} \cdot x = - 2 y f_{1}^{'} + x f_{2}^{'} .

注意：

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

仍是以

(x^{2} - y^{2}, x y)

为中间变量的复合函数（求二阶偏导时要再链式）。

例 4 设

z = f (x y)

，其中

f

二阶可导，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。难度 2

先求一阶：把

u = x y

当中间变量，

\frac{\partial z}{\partial x} = f^{'} (x y) \cdot y = y f^{'} (x y) .

再对

y

求偏导。关键：

f^{'} (x y)

本身还是复合函数，对

y

求导要再链式（

\frac{\partial}{\partial y} f^{'} (x y) = f^{''} (x y) \cdot x

），同时

y

也是变量，用乘积法则：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y f^{'} (x y)) = 1 \cdot f^{'} (x y) + y \cdot f^{''} (x y) \cdot x = f^{'} (x y) + x y f^{''} (x y) .

忘了对

f^{'}

再链式，是二阶偏导的头号错误。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2021 年 · 数三 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x, y)

可微，且

f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}

，

f (x, x^{2}) = 2 x^{2} ln x

，则

df (1, 1) =

（　　）。

A $d x + d y$ 。
B $d x - d y$ 。
C $d y$ 。
D $- d y$ 。

2020 年 · 数三 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

设

z = arctan [x y + sin (x + y)]

，则

d z_{(0, π)} =

______.

2019 年 · 数三 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (u, v)

具有

2

阶连续偏导数，函数

g (x, y) = x y - f (x + y, x - y)

. 求

\frac{\partial ^{2} g}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial y ^{2}}

2014 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设函数

f (u)

具有连续导数，且

z = f (e^{x} cos y)

满足

cos y \frac{\partial z}{\partial x} - sin y \frac{\partial z}{\partial y} = (4 z + e^{x} cos y) e^{x}

。若

f (0) = 0

，求

f (u)

的表达式。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = e^{u}

，

u = x^{2} + y

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

____。

练习 2 · 选择题

设

z = f (x^{2} y)

，

f

可导，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

（　）。

A $f^{'} (x^{2} y)$
B $2 x y f^{'} (x^{2} y)$
C $x^{2} f^{'} (x^{2} y)$
D $2 x f^{'} (x^{2} y)$

练习 3 · 填空题

设

z = x^{2} + y^{2}

，而

x = t, y = t^{2}

，则全导数

\frac{d z}{d t} =

____。

练习 4 · 选择题

设

z = x^{2} + y^{2}

，而

y = sin x

，则全导数

\frac{d z}{d x} =

（　）。

A $2 x$
B $2 x + 2 y$
C $2 x + sin 2 x$
D $2 x + 2 cos x$

练习 5 · 选择题

设

f

可导，

z = y f (\frac{x}{y}) (y \neq = 0)

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

（　）。

A $0$
B $z$
C $2 z$
D $x z$

练习 6 · 填空题

设

z = f (x y, \frac{x}{y})

，其中

f

具有连续偏导数，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

____（用

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

表示）。

练习 7 · 解答题

设

z = z (x, y)

具有二阶连续偏导数，作变量代换

u = 3 x - y, v = x + y

。

(1) 把方程

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} + 2 \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} - 3 \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}} = 0

化为以

u, v

为自变量的方程；

(2) 由此求出该方程的通解。

2011 年 · 数三 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，

f (1, 1) = 2

是

f (u, v)

的极值，

z = f (x + y, f (x, y))

．求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}_{(1, 1)}

．

2007 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 4 分

设

f (u, v)

是二元可微函数，

z = f (\frac{y}{x}, \frac{x}{y})

，则

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} =

______.

多元复合函数求导法则

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 变量依赖树法则：沿每条路径相乘，再把各条路径相加★★ 必会

2. 全微分形式不变性：一次求出两个偏导数，且不易漏项

3. 抽象复合函数的二阶偏导数：f1′​,f2′​ 仍是复合函数，必须再用一次链式法则★★ 必会

4. 必须区分全导数 dxdz​ 与偏导数 ∂x∂f​★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 抽象复合函数的二阶偏导数： $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ 仍是复合函数，必须再用一次链式法则★★ 必会

4. 必须区分全导数 $\frac{d z}{d x}$ 与偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ★ 要懂