多元隐函数求导

§4.5 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

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1.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）多元复合函数求导法则隐函数与参数方程求导③ 掌握后可解锁条件极值与拉格朗日乘数法

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 隐函数求导公式的来历：它就是链式法则，条件 $F_{z} \neq = 0$ 保证所求的偏导数可以解出★ 要懂

隐函数求导并不是一个新的公式，它是链式法则的应用。把

z = z (x, y)

代回原方程，得到恒等式

F (x, y, z (x, y)) \equiv 0

，再把两端对

x

求偏导数，即可导出公式。条件

F_{z} \neq = 0

正是为了能把

z_{x}

解出来，它同时也是隐函数存在定理的基本假设。明白了这一点，公式

z_{x} = - F_{x} / F_{z}

中的负号就不会记错，因为它是移项相除以后自然出现的。

证明 / 推导

对恒等式

F (x, y, z (x, y)) \equiv 0

的两端关于

x

求偏导数（此时把

y

看作常数，而

z

是

x, y

的函数，第三个位置须用链式法则），得

F_{x} \cdot 1 + F_{y} \cdot 0 + F_{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0 ⟹ \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} (F_{z} \neq = 0) .

同理，对

y

求偏导数，得

\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}}

。

■

2. 三种等价的方法：公式法、直接求偏导数法、全微分法；同时要求两个偏导数时，全微分法最简便★★ 必会

① 公式法：直接使用

z_{x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}}

，这样做较快，但负号必须记准。② 直接求偏导数法：把

z

看作

x, y

的函数，把原方程两端求偏导数，凡出现

z

的项都要按链式法则乘上

z_{x}

，然后解出所求的偏导数，这种做法最稳妥，也不易记错。③ 全微分法：对

F = 0

取全微分，得

F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z = 0

，从中解出

d z

，则

d x, d y

前的系数就是两个偏导数，一次即可得到两个。因此，当需要同时求出

z_{x}, z_{y}

时，用全微分法最为简便。

举例说明

设

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z = 0

确定了隐函数

z = z (x, y)

，用全微分法求它的偏导数。两端取全微分，得

2 x d x + 2 y d y + 2 z d z - 4 d z = 0

，即

(2 z - 4) d z = - 2 x d x - 2 y d y

，

d z = \frac{x}{2 - z} d x + \frac{y}{2 - z} d y \Rightarrow z_{x} = \frac{x}{2 - z}, z_{y} = \frac{y}{2 - z} .

用公式法算得

- F_{x} / F_{z} = - \frac{2 x}{2 z - 4} = \frac{x}{2 - z}

，两者完全一致。

3. 存在定理只在局部成立：在 $F_{z} = 0$ 的点处公式失效，而这恰好如实反映了曲面的几何情形

隐函数存在定理是一个局部的结论：它只在满足

F_{z} (P_{0}) \neq = 0

的点的邻域内保证

z = z (x, y)

单值且有偏导数。如果

F_{z} = 0

，

z

就可能不能表示成

(x, y)

的单值函数，而公式

- F_{x} / F_{z}

的分母为零，也就无法使用。这并不是公式本身的缺陷，而是它如实反映了曲面在该处的奇异性。解题时遇到这种情形，应当先设

F_{z} \neq = 0

，或者说明所讨论的范围。

证明 / 推导

证. 设

F

有连续的偏导数。先证一个必要条件。设在点

P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

的某邻域内存在可微函数

z = z (x, y)

，满足

z (x_{0}, y_{0}) = z_{0}

与恒等式

F (x, y, z (x, y)) \equiv 0.

两端关于

x

求偏导数，由链式法则（见本节第一条）得

F_{x} + F_{z} \cdot z_{x} = 0

。若在

P_{0}

处

F_{z} (P_{0}) = 0

，则由此式得

F_{x} (P_{0}) = 0

。同理对

y

求偏导数，得

F_{y} (P_{0}) = 0

。

把它反过来说，便得一个判别法。设

F_{z} (P_{0}) = 0

，而

F_{x} (P_{0}), F_{y} (P_{0})

不全为零。那么在

P_{0}

附近不存在满足方程且可微的单值函数

z = z (x, y)

。这时公式

- F_{x} / F_{z}

的分母为零而分子不为零，它无从取值，恰与这一结论相符。

这种情形的几何意义也很清楚。曲面在

P_{0}

处的法向量为

\nabla F = (F_{x}, F_{y}, F_{z})

。当

F_{z} = 0

时有

\nabla F \cdot (0, 0, 1) = F_{z} = 0

，即

z

轴的方向与法向量垂直，因而落在切平面内。可见曲面在该处是竖直的，

z

自然不能由

(x, y)

单值而可微地确定。

失效的方式有两种。一种是单值性被破坏，上面所举的球面即属此类。另一种是单值性尚在而可微性被破坏，例如取

F = z^{3} - x

，在原点处

F_{z} = 3 z^{2} = 0

，

F_{x} = - 1 \neq = 0

。由方程解得

z = 3 x

，它是单值的，但在

x = 0

处不可导，其图形在该点有竖直的切线。两种情形都被上面的判别法所涵盖。

最后指出定理另一方向的内容。若

F_{z} (P_{0}) \neq = 0

，隐函数存在定理断言在

P_{0}

的某个邻域内有唯一的连续可微函数

z = z (x, y)

。它并不断言整张曲面都能这样表示。这就是称它为局部结论的缘故。

■

举例说明

单位球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

，

F_{z} = 2 z

。在赤道

z = 0

处

F_{z} = 0

。在那里上半球面与下半球面相接，

z

不能表示成

(x, y)

的单值函数；而这时公式

z_{x} = - \frac{x}{z}

的分母为零，恰好指出了这一点。离开赤道以后（此时

z \neq = 0

），公式重新有效。

4. 求二阶偏导数： $F_{x}, F_{z}$ 中仍含有 $z$ ，因此仍须用链式法则，并回代 $z_{x}$ ★ 要懂

求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}

时，对

z_{x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}}

再求一次偏导数。必须注意 $F_{x}, F_{z}$ 中都含有 $z$ ，而 $z$ 仍是 $x, y$ 的函数，所以要再次使用链式法则；求出以后，再把已经得到的

z_{x}

代回并加以化简。也可以直接对原方程再求一次偏导数。求隐函数的二阶偏导数时，常在这一步出错。

举例说明

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

求

z_{xx}

。先求得

z_{x} = - \frac{x}{z}

。再对

x

求偏导数（用商的求导法则，注意其中

z

是函数），得

z_{xx} = - \frac{z - x z _{x}}{z ^{2}} = - \frac{z - x ( - \frac{x}{z} )}{z ^{2}} = - \frac{z ^{2} + x ^{2}}{z ^{3}} .

这里的关键在于把

z_{x} = - x / z

代回这一步。如果把

z

当作常数，就会漏掉

- x z_{x}

这一项，从而得出错误的结果。

💡 小知识

隐函数存在定理只保证在局部范围内有隐函数。以单位球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

为例，赤道上

F_{z} = 2 z = 0

，那里的

z

没法写成

(x, y)

的单值函数，因为上下半球在此相接；而公式

- F_{x} / F_{z}

的分母恰好为零，如实地报告了这一情况。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

z = z (x, y)

由方程

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 6

确定，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 1

公式法。令

F (x, y, z) = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} - 6

，则

F_{x} = 2 x, F_{y} = 4 y, F_{z} = 6 z

。当

z \neq = 0

（

F_{z} \neq = 0

）时，

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = - \frac{2 x}{6 z} = - \frac{x}{3 z}, \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}} = - \frac{4 y}{6 z} = - \frac{2 y}{3 z} .

切记那个负号，别丢。

例 2 设

y = y (x)

由方程

x^{2} + x y + y^{2} = 3

确定，求

\frac{d y}{d x}

及其在点

(1, 1)

处的值。难度 1

这是一元隐函数。令

F (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3

，

F_{x} = 2 x + y, F_{y} = x + 2 y

。当

F_{y} \neq = 0

时

\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y} .

代入点

(1, 1)

：

\frac{d y}{d x}_{(1, 1)} = - \frac{2 + 1}{1 + 2} = - 1

。（也可两边对

x

求导：

2 x + y + x y^{'} + 2 y y^{'} = 0

，解出

y^{'}

，结果相同。）

例 3 设

z = z (x, y)

由方程

e^{z} = x y z

确定，求

\frac{\partial z}{\partial x}

，并用原方程化简。难度 2

令

F = e^{z} - x y z

，则

F_{x} = - y z, F_{y} = - x z, F_{z} = e^{z} - x y

。故

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = - \frac{- y z}{e ^{z} - x y} = \frac{y z}{e ^{z} - x y} .

用原方程化简：由

e^{z} = x y z

得

e^{z} - x y = x y z - x y = x y (z - 1)

，代入

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y z}{x y ( z - 1 )} = \frac{z}{x ( z - 1 )} .

同理

\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z}{y ( z - 1 )}

。技巧：隐函数结果里若含

e^{z}

等，常回代原方程化到最简。

例 4 设

z = z (x, y)

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

（取上半球

z > 0

）确定，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}

。难度 2

令

F = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1

，

F_{x} = 2 x, F_{z} = 2 z

，故

\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{2 x}{2 z} = - \frac{x}{z}

。求二阶时记住 $z$ 仍是 $x, y$ 的函数，对

- \frac{x}{z}

关于

x

求偏导（商法则

+

链式）：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = - \frac{1 \cdot z - x \cdot z _{x}}{z ^{2}} = - \frac{z - x ( - \frac{x}{z} )}{z ^{2}} = - \frac{z + \frac{x ^{2}}{z}}{z ^{2}} = - \frac{z ^{2} + x ^{2}}{z ^{3}} .

若愿意，用

z^{2} = 1 - x^{2} - y^{2}

还可写成

- \frac{1 - y ^{2}}{z ^{3}}

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设函数

z = z (x, y)

由方程

x - a z = e^{y + a z}

（

a

是非零常数）确定，则（　　）。

A $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$
B $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$
C $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{1}{a}$
D $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{1}{a}$

2025 年 · 数三 · 第 14 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

z = z (x, y)

由

z + ln z - \int_{y}^{x} x e^{- t^{2}} d t = 1

确定，则

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}_{(1, 1)} =

______。

2024 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设函数

z = z (x, y)

由方程

z + e^{x} - y ln (1 + z^{2}) = 0

确定，求

(\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}})_{(0, 0)}

。

2016 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (u, v)

可微，

z = z (x, y)

由方程

(x + 1) z - y^{2} = x^{2} f (x - z, y)

确定，则

d z_{(0, 1)} =

______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = z (x, y)

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

确定，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

____。

练习 2 · 填空题

设

y = y (x)

由

x^{2} + y^{2} = 2 y

确定，则

\frac{d y}{d x} =

____。

练习 3 · 选择题

方程

F (x, y, z) = 0

在点

P_{0}

附近能确定连续可偏导的隐函数

z = z (x, y)

，除

F

有连续偏导、

F (P_{0}) = 0

外，还需（　）。

A $F_{x} (P_{0}) \neq = 0$
B $F_{y} (P_{0}) \neq = 0$
C $F_{z} (P_{0}) \neq = 0$
D $F_{x} (P_{0}) = F_{y} (P_{0}) = 0$

练习 4 · 选择题

设

z = z (x, y)

由

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x = 0

确定，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

（　）。

A $\frac{1 - x}{z}$
B $\frac{x - 1}{z}$
C $- \frac{x}{z}$
D $\frac{1 + x}{z}$

练习 5 · 选择题

设

φ (u)

可导，函数

z = z (x, y)

由方程

z = x + y φ (z)

确定，且

1 - y φ^{'} (z) \neq = 0

，则下列等式成立的是（　）

A $\frac{\partial z}{\partial x} = φ (z) \frac{\partial z}{\partial y}$
B $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 1$
C $φ (z) \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial y}$
D $y \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial y}$

练习 6 · 填空题

设

z = z (x, y)

由方程

x e^{y} + y e^{z} + z e^{x} = 0

确定，且

z (0, 0) = 0

，则

d z_{(0, 0)} =

____。

练习 7 · 解答题

设

z = z (x, y)

由方程

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 10 = 0

确定。

(1) 求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

；

(2) 求

z = z (x, y)

的极值，并指明是极大值还是极小值。

2015 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

若函数

z = z (x, y)

由方程

e^{x + 2 y + 3 z} + x y z = 1

确定，则

d z_{(0, 0)} =

______.

2013 年 · 数三 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设函数

z = z (x, y)

由方程

(z + y)^{x} = x y

确定，则

\frac{\partial z}{\partial x}_{(1, 2)} =

______.

多元隐函数求导

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 隐函数求导公式的来历：它就是链式法则，条件 Fz​=0 保证所求的偏导数可以解出★ 要懂

2. 三种等价的方法：公式法、直接求偏导数法、全微分法；同时要求两个偏导数时，全微分法最简便★★ 必会

3. 存在定理只在局部成立：在 Fz​=0 的点处公式失效，而这恰好如实反映了曲面的几何情形

4. 求二阶偏导数：Fx​,Fz​ 中仍含有 z，因此仍须用链式法则，并回代 zx​★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 隐函数求导公式的来历：它就是链式法则，条件 $F_{z} \neq = 0$ 保证所求的偏导数可以解出★ 要懂

3. 存在定理只在局部成立：在 $F_{z} = 0$ 的点处公式失效，而这恰好如实反映了曲面的几何情形

4. 求二阶偏导数： $F_{x}, F_{z}$ 中仍含有 $z$ ，因此仍须用链式法则，并回代 $z_{x}$ ★ 要懂