条件极值与拉格朗日乘数法

§4.7 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.64 分/卷近 11 年平均

1/11 年出现年份

0.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）多元函数的无条件极值多元隐函数求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 拉格朗日方程组的来历：用隐函数降元即可推出（数二不需要用到梯度）★ 要懂

数二不讲梯度，但仅用隐函数求导就能把拉格朗日乘数法说清楚。从几何上看，在条件极值点处，目标函数的一条等值线恰好与约束曲线相切，两条曲线在该点的方向相同。用代数的语言来说，这等价于向量

(f_{x}, f_{y})

与

(φ_{x}, φ_{y})

成比例，引入比例常数

λ

就得到

L = f + λ φ

的驻点方程。可见乘数法并不是新的原理，它只是隐函数降元

+

一个比例常数的简洁写法。

证明 / 推导

设约束

φ (x, y) = 0

在极值点附近

φ_{y} \neq = 0

，由隐函数存在定理确定

y = y (x)

，且

\frac{d y}{d x} = - \frac{φ _{x}}{φ _{y}}

。代入目标函数，得一元函数

Φ (x) = f (x, y (x))

，于是条件极值就是

Φ

的极值，故

Φ^{'} (x) = f_{x} + f_{y} \frac{d y}{d x} = f_{x} - f_{y} \frac{φ _{x}}{φ _{y}} = 0 ⟹ f_{x} φ_{y} - f_{y} φ_{x} = 0.

这表明

(f_{x}, f_{y})

与

(φ_{x}, φ_{y})

成比例；记比例常数为

- λ

，即

f_{x} + λ φ_{x} = 0, f_{y} + λ φ_{y} = 0

，再与约束

φ = 0

合在一起，恰好是

L = f + λ φ

的三个驻点方程。

■

2. 解题的主要步骤与两式相除消去 $λ$ 的做法；条件极值一般不用 $A C - B^{2}$ 判别法★★ 必会

标准的步骤如下：① 写出

L = f + λ φ

；② 令

L_{x} = f_{x} + λ φ_{x} = 0, L_{y} = f_{y} + λ φ_{y} = 0, φ = 0

；③ 常把前两式相除消去 $λ$ ，得到

x, y

的关系，再与约束联立求候选点；④ 把候选点代回

f

比较大小，以确定最值。注意：条件极值通常不用无条件极值的

A C - B^{2}

来判别，因为约束已把两个变量联系在一起；通常是根据有界闭集上连续函数必取到最值这一结论直接比较，或者结合实际背景判断。约束方程

L_{λ} = φ = 0

也是方程组中的一个，不能遗漏。

举例说明

求

f = x^{2} + y^{2}

在约束

x y = 1

（

x, y > 0

）下的最小值。作

L = x^{2} + y^{2} + λ (x y - 1)

，则

L_{x} = 2 x + λ y = 0, L_{y} = 2 y + λ x = 0

。两式相除消去 $λ$ ，得

\frac{2 x}{2 y} = \frac{λ y}{λ x} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{y}{x} \Rightarrow x^{2} = y^{2}

，由于两个变量都取正值，得

x = y

。代入

x y = 1

得

x = y = 1

，

f = 2

。从几何上看，这就是双曲线

x y = 1

上离原点最近的点，最小值为

2

。

3. 闭区域上求最值的完整步骤：内部驻点与边界上的候选点一并比较★ 要懂

最值可能在区域的内部取到，也可能在边界上取到，两者都必须考察：① 在内部，解

f_{x} = 0, f_{y} = 0

求出驻点；② 在边界上，边界本身就是一条约束曲线，用拉格朗日乘数法（或者参数化、代入降元）求出候选点；③ 把内部驻点处的值与边界上候选点处的值放在一起比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。只算内部而遗漏边界，是这类题最常见的错误。

举例说明

求

f = x^{2} + y^{2} - x y + 1

在闭圆盘

x^{2} + y^{2} \leq 4

上的最值。内部：

f_{x} = 2 x - y = 0, f_{y} = 2 y - x = 0 \Rightarrow (0, 0)

，

f = 1

。边界

x^{2} + y^{2} = 4

上：此时

f = 4 - x y + 1 = 5 - x y

，而在半径

2

的圆上

x y \in [- 2, 2]

（因为

∣ x y ∣ \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} = 2

），故

f = 5 - x y \in [3, 7]

，最大值为

7

（

x y = - 2

，如

(2, - 2)

）；最小值为

3

（

x y = 2

，如

(2, 2)

）。把

{1, 3, 7}

放在一起比较：最大值 $7$ （边界），最小值 $1$ （内部驻点）。由此可见，内部这一步同样不能遗漏。

4. 方法的选择、多个约束的情形，以及四个常见错误

(1) 乘数法与消元法的选择：如果约束能显式解出一个变量，那么代入目标函数降元之后按无条件极值处理往往更快；只有当解不出，或者利用对称性更为方便时，才使用乘数法。两种方法结果相同，前面的要点一就是用降元推出乘数法的。(2) 多个约束用多个乘数：求

f (x, y, z)

在两个约束

φ = 0, ψ = 0

下的极值，构造

L = f + λ φ + μ ψ

，令

L_{x} = L_{y} = L_{z} = 0

并与两个约束联立（共五个方程）。(3) 四个常见错误：① 漏掉约束方程

L_{λ} = φ = 0

；② 对条件极值误用

A C - B^{2}

（应当比较函数值，或结合背景判断）；③ 忽略隐含的取值范围（在几何或物理问题中

x, y, z > 0

会排除一部分候选点）；④ 求闭区域上的最值时只算内部而漏掉边界。注意这几点，条件极值题就不易出错。

💡 小知识

拉格朗日乘数

λ

在经济学里有个响亮的名字，叫影子价格：约束每放宽一个单位、最优目标能多赚多少，恰好就等于它。一个纯数学的辅助参数，就这样成了衡量资源边际价值的尺子。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

f (x, y) = x y

在约束

x + y = 6

（

x > 0, y > 0

）下的最大值。难度 1

构造

L = x y + λ (x + y - 6)

，令

L_{x} = y + λ = 0, L_{y} = x + λ = 0, x + y = 6.

前两式给

x = y = - λ

，代入约束

2 x = 6 \Rightarrow x = y = 3

。故候选点

(3, 3)

，

f (3, 3) = 9

。由于

x + y

固定时两数越接近乘积越大（且边界

x \to 0

时

f \to 0

），

(3, 3)

给出最大值 $9$ 。

例 2 求原点到直线

x + y = 2

的最短距离（即在约束

x + y = 2

下最小化

f = x^{2} + y^{2}

）。难度 1

最小化

f = x^{2} + y^{2}

（距离的平方）。令

L = x^{2} + y^{2} + λ (x + y - 2)

：

L_{x} = 2 x + λ = 0, L_{y} = 2 y + λ = 0 \Rightarrow x = y, x + y = 2 \Rightarrow x = y = 1.

候选点

(1, 1)

，

f = 1^{2} + 1^{2} = 2

，故最短距离

f = 2

。（与点到直线公式

\frac{∣0 + 0 - 2∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{2}{2} = 2

一致。）

例 3 求

f (x, y) = x^{2} y

在约束

x + y = 3

（

x > 0, y > 0

）下的最大值。难度 2

令

L = x^{2} y + λ (x + y - 3)

：

L_{x} = 2 x y + λ = 0, L_{y} = x^{2} + λ = 0, x + y = 3.

由后两式

λ = - x^{2}

，代入第一式

2 x y = x^{2}

，因

x > 0

得

2 y = x

。与约束联立：

x + y = 3, x = 2 y \Rightarrow 3 y = 3 \Rightarrow y = 1, x = 2

。候选点

(2, 1)

，

f = 2^{2} \cdot 1 = 4

。端点

x \to 0

或

y \to 0

时

f \to 0

，故最大值为 $4$ 。

例 4 求

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

上的最大值与最小值。难度 2

令

L = x^{2} + y^{2} + λ (\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} - 1)

：

L_{x} = 2 x + \frac{λ}{2} x = x (2 + \frac{λ}{2}) = 0, L_{y} = 2 y + 2 λ y = 2 y (1 + λ) = 0.

分类讨论：① 若

x = 0

，由约束

y^{2} = 1 \Rightarrow (0, \pm 1)

，

f = 1

；② 若

y = 0

，由约束

\frac{x ^{2}}{4} = 1 \Rightarrow (\pm 2, 0)

，

f = 4

。（若

x, y

同时非零，则需

λ = - 4

且

λ = - 1

，矛盾，舍去。）约束是有界闭曲线，连续函数必取到最值，比较候选值

{1, 4}

：最大值 $4$ （在 $(\pm 2, 0)$ ），最小值 $1$ （在 $(0, \pm 1)$ ）。这正是‘长半轴最远、短半轴最近’。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2018 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

将长为

2 m

的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

2010 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

求函数

u = x y + 2 y z

在约束条件

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 10

下的最大值和最小值.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

f (x, y) = x y

在约束

x + y = 10

（

x, y > 0

）下的最大值为 ____。

练习 2 · 填空题

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在约束

2 x + y = 5

下的最小值为 ____。

练习 3 · 选择题

求

f (x, y)

在约束

φ (x, y) = 0

下的极值，令

L = f + λ φ

。下列方程不属于拉格朗日方程组的是（　）。

A $f_{x} + λ φ_{x} = 0$
B $f_{y} + λ φ_{y} = 0$
C $φ (x, y) = 0$
D $λ = 0$

练习 4 · 选择题

f (x, y) = x + y

在约束

x^{2} + y^{2} = 2

上的最大值为（　）。

A $2$
B $2$
C $22$
D $4$

2006 年 · 数三 · 第 11 题 · 选择题 · 4 分

设

f (x, y)

与

φ (x, y)

均为可微函数，且

φ_{y}^{'} (x, y) \neq = 0

，已知

(x_{0}, y_{0})

是

f (x, y)

在约束条件

φ (x, y) = 0

下的一个极值点，下列选项正确的是（　　）

A若 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$ ，则 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$ .
B若 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$ ，则 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$ .
C若 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$ ，则 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0$ .
D若 $f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$ ，则 $f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq = 0$ .

2000 年 · 数三 · 第 13 题 · 解答题 · 6 分

假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是

p_{1} = 18 - 2 Q_{1}, p_{2} = 12 - Q_{2}

，其中

p_{1}, p_{2}

分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元／吨），

Q_{1}, Q_{2}

分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是

C = 2 Q + 5

，其中

Q

表示该产品在两个市场的销售总量，即

Q = Q_{1} + Q_{2}

.

（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；

（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.

1999 年 · 数三 · 第 13 题 · 解答题 · 6 分

设生产某种产品必须投入两种要素，

x_{1}

和

x_{2}

分别为两要素的投入量，

Q

为产出量；若生产函数为

Q = 2 x_{1}^{α} x_{2}^{β}

，其中

α, β

为正常数，且

α + β = 1

。假设两种要素的价格分别为

p_{1}

和

p_{2}

，试问：当产出量为

12

时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？

1990 年 · 数三 · 第 15 题 · 解答题 · 9 分

某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入

R

（万元）与电台广告费

x_{1}

（万元）及报纸广告费

x_{2}

（万元）之间的关系有如下经验公式：

R = 15 + 14 x_{1} + 32 x_{2} - 8 x_{1} x_{2} - 2 x_{1}^{2} - 10 x_{2}^{2} .

（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为

1.5

万元，求相应的最优广告策略。