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条件极值与拉格朗日乘数法

高等数学 · 多元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 条件极值：约束把点锁在一条曲线上

上一节的极值是无条件的：

(x, y)

在整个区域里自由取值。

条件极值多了一句话：点还必须满足

φ (x, y) = 0,

也就是只能在那条曲线上走。上一节处理「闭区域边界上的最值」时，做的就是条件极值。

有两条路：

① 代入法. 能从约束解出

y = y (x)

就代进

f

，化成一元函数的极值——
能解就解，这是最省事的。

② 拉格朗日乘数法. 解不出来（或解出来很丑）时用它，好处是根本不解约束。

2. 做法：构造 $L$ ，解三个方程（第三个就是约束）

目标

f (x, y)

，约束

φ (x, y) = 0

。构造拉格朗日函数

L (x, y, λ) = f (x, y) + λ φ (x, y),

然后把它当成三个变量的函数，令三个偏导都为零：

⎩ ⎨ ⎧ f_{x} + λ φ_{x} = 0, f_{y} + λ φ_{y} = 0, φ (x, y) = 0.

第三个方程就是约束本身（

L

对

λ

求偏导的结果），千万不要漏。

解出来的

(x, y)

是可能的极值点；

λ

叫拉格朗日乘数，
它是中间量，不是答案的一部分。

L = f - λ φ

也行——负号会被

λ

自己吸收掉，只要前后一致。

3. 多个变量、多个约束：乘数一个约束配一个

变量多了，方程跟着多，写法一个字不变。

三元一个约束：

L = f (x, y, z) + λ φ (x, y, z),

四个方程（三个偏导加约束）。

三元两个约束：一个约束配一个乘数，

L = f + λ φ_{1} + μ φ_{2},

五个方程。

解方程组最有效的一招是「两式相除消 $λ$ 」：

λ

在每个方程里都是一次的，
相除就把它消掉，还顺手把两个方程并成一个只含变量的关系。

相除之前要看一眼除数会不会为零——为零的情形要单独讨论，否则丢解。

4. 应用题：设、列、解、答

考场上条件极值多半是应用题，形状很固定：

设：把未知量设出来，顺手写上它们的范围（长度

> 0

）。

列：目标函数（要最大的那个量）＋约束（题里「一共」「固定」那句话）。

解：拉格朗日，或者能代入就代入。

答：回到实际问题回答，别停在

x = 2

上。

实际问题的最值一定存在（材料有限、容积不可能无限大），所以：
求出唯一的可能极值点后，可以直接断定它就是所求。

写一句「由题意最大值存在，而可能的极值点只有一个，故它就是最大值」就够了——
这比去算二阶判别省时得多，也是标准的交代方式。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

先看约束解不解得开

第一步：试着从约束解出一个变量（

y = y (x)

）。

第二步：解得开且不丑，就代入目标，化成一元极值题，按一元那套做。

第三步：解不开、带根号、或变量在三个以上，改用拉格朗日。

第四步：两条路算完都要回到约束上检查一下点是否满足它。

例例. 求

f = x y

在约束

x + y = 4

下的极值。

第一步，先试着解约束：

y = 4 - x

，干净利落。

第二步，代入目标化成一元题：

f = x (4 - x) = 4 x - x^{2}, f^{'} = 4 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 2,

f^{''} = - 2 < 0

，故取极大值

f (2, 2) = 4

。

第三步，什么时候改走拉格朗日：约束换成

x^{2} + y^{2} = 1

（解出来带根号，还要分正负两支）、或者变量有三个以上。

第四步，回到约束上检查：

2 + 2 = 4

✓

「能代就代」不是偷懒——代入之后只剩一个变量，连是不是极值都用一元的判别法，比拉格朗日少一大半笔。

拉格朗日：构造、求导、消 $λ$

第一步：把约束写成

φ = 0

，构造

L = f + λ φ

（多个约束就多个乘数）。

第二步：对每个变量求偏导并令为零，再补上约束那一个方程。

第三步：两式相除消

λ

（先看除数是否可能为零），得到变量之间的关系。

第四步：把关系代回约束解出点，算出函数值；多个候选点就比大小。

例例. 求

f = x y

在约束

x^{2} + y^{2} = 2

下的最值。

第一步，构造

L = x y + λ (x^{2} + y^{2} - 2)

。

第二步，对每个变量求偏导令零，再补上约束那一行：

L_{x} = y + 2 λ x = 0, L_{y} = x + 2 λ y = 0, x^{2} + y^{2} = 2.

三个方程才齐——漏掉约束那一行，方程组就是欠定的。

第三步，两式相除消

λ

。先看除数：若

x = 0

，由第一式得

y = 0

，与约束

0 + 0 = 2

矛盾，所以

x, y

都不为零，可以除：

\frac{y}{x} = \frac{x}{y} ⟹ x^{2} = y^{2} .

第四步，代回约束

2 x^{2} = 2

得

x = \pm 1

，配上

y = \pm x

共四个点：

(1, 1)

、

(- 1, - 1)

处

f = 1

；

(1, - 1)

、

(- 1, 1)

处

f = - 1

。约束集是有界闭集、

f

连续，故最大值 $1$ 、最小值 $- 1$ 。

应用题的四步

第一步：设未知量，写出它们的实际范围。

第二步：写目标函数；再从「一共」「固定」那句话里读出约束。

第三步：解（拉格朗日或代入），利用对称性简化。

第四步：答——写一句存在性与唯一性的交代，再回答实际问题（别漏单位）。

例例. 用一块面积为

12

的纸板做一个无盖长方体盒子，怎样做容积最大？

第一步，设长、宽、高为

x, y, z

，实际范围是全为正。

第二步，目标

V = x y z

。约束从「一共

12

」读出来——无盖，所以是一个底加四个侧面：

x y + 2 x z + 2 y z = 12.

第三步，构造

L = x y z + λ (x y + 2 x z + 2 y z - 12)

，三个偏导令零：

y z + λ (y + 2 z) = 0, x z + λ (x + 2 z) = 0, x y + 2 λ (x + y) = 0.

前两式相减得

(y - x) (z + λ) = 0

；而

λ = - z

会推出

z = 0

，不合实际，故

x = y

（利用对称性，这是这类题最省力的一步）。再与第三式联立解得

x = y = 2 z

。

第四步，代回约束：

4 z^{2} + 4 z^{2} + 4 z^{2} = 12

，得

z = 1

，于是

x = y = 2

、

V = 4

。

交代一句存在性：

V

在约束下连续、驻点唯一，故它就是最大值。答：底面

2 \times 2

、高

1

时容积最大，为

4

（体积单位）。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

漏掉约束那个方程

只写

f_{x} + λ φ_{x} = 0

、

f_{y} + λ φ_{y} = 0

两个方程，就少了一个条件。

两个方程、三个未知量（含

λ

），解不出确定的点；硬解出来的点也不在约束曲线上。

记法：

L

对

λ

求偏导就是

φ

，所以它本来就是方程组的一员。

把 $λ$ 当成答案的一部分

λ

是辅助用的中间量，答案里不该出现它。

症状：解出

λ = - \frac{1}{2}

就收工，或者把它当成极值报上去。

λ

唯一的用处是消掉——它一出场就该被消去。

两式相除时没讨论除数为零

相除是在假设「被除的那个式子不为零」，这个假设可能漏掉一整支解。

稳妥写法：先写「若

φ_{y} \neq = 0

，则…」，再单独讨论

φ_{y} = 0

的情形。

这类丢解在卷面上完全看不出来，只是答案里少一个点。

算完不回答原问题

应用题要的是「最大容积是多少」，不是「

x = 2

」。

还要留两样：单位，以及由题意对解的取舍（长度不能为负）。

最后补一句「由题意最值存在且候选唯一」，这一句本身就是分。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认框架

练 1

求

f (x, y)

在约束

φ (x, y) = 0

下的极值，拉格朗日函数是（）。

A $f + λ$
B $f + λ φ$
C $f φ$
D $f - φ$

练 2

求

z = x y

在

x + y = 1

下的极值，拉格朗日函数

L =

________。

练 3

方程

L_{λ} = 0

等价于（）。

A $f_{x} = 0$
B $f_{y} = 0$
C约束 $φ = 0$
D $λ = 0$

练 4

求

z = x + y

在

x^{2} + y^{2} = 1

下的极值，拉格朗日方程组共有 ________ 个方程。

第二组 · 解方程组

练 5

z = x y

在

x + y = 1

下的极大值为 ________。

练 6

解拉格朗日方程组时，最常用的一招是（）。

A两式相减消去 $x$
B对 $λ$ 求二阶偏导
C直接令 $λ = 1$
D两式相除消去 $λ$

练 7

f = x + y + z

在球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

上的最大值为 ________。

练 8

两式相除消去

λ

之前，必须（）。

A假定 $λ > 0$
B先把约束代进去
C讨论除数是否可能为零
D求出二阶偏导

第三组 · 应用题

练 9

用面积为

12

的材料做无盖长方体水箱，最大容积为 ________。

练 10

实际应用题中求出唯一的可能极值点后（）。

A可由题意断定它就是所求的最值
B必须再算 $A C - B^{2}$
C必须再验证区域边界
D无法判定

练 11

原点到平面

x + 2 y + 2 z = 9

的最短距离为 ________。

练 12

拉格朗日乘数

λ

在最终答案里（）。

A必须一并报出
B是中间量，不必出现
C等于所求的最值
D一定等于零

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

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