乐思数学通 › 先打基础 › 偏导数几何应用（切平面、法线）

偏导数几何应用（切平面、法线）

高等数学 · 多元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 空间曲线：切向量一个，两种用法

曲线写成参数式

x = x (t), y = y (t), z = z (t) .

在

t = t_{0}

（对应点

P_{0}

）处，切向量就是三个导数拼起来：

T = (x^{'} (t_{0}), y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0})) .

有了它，两个方程都能写：

切线（点向式）——方向向量做分母：

\frac{x - x _{0}}{x ^{'} ( t _{0} )} = \frac{y - y _{0}}{y ^{'} ( t _{0} )} = \frac{z - z _{0}}{z ^{'} ( t _{0} )} .

法平面（点法式）——法向量做系数：

x^{'} (x - x_{0}) + y^{'} (y - y_{0}) + z^{'} (z - z_{0}) = 0.

一个向量，两种用法：做分母是直线，做系数是平面。

2. 曲面 $F (x, y, z) = 0$ ：法向量就是梯度

曲面的法向量不必另记——上一节已经证过：梯度垂直于等值面。
把

F = 0

看成

F

的一张等值面，于是

n = (F_{x}, F_{y}, F_{z})_{P_{0}} .

两个方程照模板填：

切平面（点法式）：

F_{x} (x - x_{0}) + F_{y} (y - y_{0}) + F_{z} (z - z_{0}) = 0.

法线（点向式）：

\frac{x - x _{0}}{F _{x}} = \frac{y - y _{0}}{F _{y}} = \frac{z - z _{0}}{F _{z}} .

和曲线那边正好对调：曲线是「切线用点向式、法平面用点法式」，
曲面是「切平面用点法式、法线用点向式」。

法向量可以乘任意非零常数，所以

(2, 4, 6)

和

(1, 2, 3)

一样好用——约掉公因子更省事。

3. $z = f (x, y)$ ：法向量 $(f_{x}, f_{y}, - 1)$ ，那个 $- 1$ 最常漏

显式给出的曲面先挪成隐式：

F (x, y, z) = f (x, y) - z = 0.

于是三个偏导是

F_{x} = f_{x}

、

F_{y} = f_{y}

、

F_{z} = - 1

：

n = (f_{x}, f_{y}, - 1) .

（取反的

(- f_{x}, - f_{y}, 1)

同样是法向量。）

切平面写出来是

z - z_{0} = f_{x} (x - x_{0}) + f_{y} (y - y_{0}) .

这个式子和全微分一模一样：

d z = f_{x} d x + f_{y} d y

。

所以「可微」的几何含义就是曲面在该点有切平面，而切平面就是曲面的线性近似。
前面那一节的近似计算，几何上做的正是「用切平面代替曲面」。

4. 两类常考变形：交线的切向量、平行于已知平面

① 曲线是两曲面的交线. 它在

P_{0}

处的切向量同时垂直于两个法向量，所以取叉乘：

T = n_{1} \times n_{2} .

千万别拿其中一个法向量当切向量——那是垂直于曲面，不是沿着曲线。

② 求切平面平行（或垂直）于已知平面. 切点未知，列方程组：

法向量与已知平面的法向量成比例（给出两个方程）；

切点在曲面上（给出一个方程）。

三个方程三个未知量，解出切点，再写切平面。

认出「两个条件」这件事是关键——这类题卡住的人多半是不知道从哪里下手。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

曲线：切向量 $\to$ 两个方程

第一步：三个坐标各对

t

求导，代入

t_{0}

，得切向量

T

。

第二步：算出那一点

P_{0}

的坐标（把

t_{0}

代进参数式）。

第三步：切线用点向式（

T

做分母）。

第四步：法平面用点法式（

T

做系数），展开整理成

A x + B y + C z = D

。

例例. 求曲线

x = t

、

y = t^{2}

、

z = t^{3}

在

t_{0} = 1

处的切线与法平面。

第一步，三个坐标各对

t

求导得

(1, 2 t, 3 t^{2})

，代入

t_{0} = 1

：切向量

T = (1, 2, 3)

。

第二步，点

P_{0}

：把

t_{0} = 1

代进参数式，得

(1, 1, 1)

。

第三步，切线用点向式（

T

做分母）：

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{3} .

第四步，法平面用点法式（

T

做系数）：

1 \cdot (x - 1) + 2 (y - 1) + 3 (z - 1) = 0 ⟹ x + 2 y + 3 z = 6.

同一个向量两种用法：做分母是切线，做系数是法平面。记混了，两个答案正好对调。

曲面：梯度 $\to$ 两个方程

第一步：把曲面写成

F (x, y, z) = 0

；显式的

z = f (x, y)

要挪成

f - z = 0

。

第二步：求

(F_{x}, F_{y}, F_{z})

并代入那个点，可约掉公因子。

第三步：切平面用点法式。

第四步：法线用点向式（法向量做分母）。

例例. 求曲面

z = x^{2} + y^{2}

在点

(1, 1, 2)

处的切平面与法线。

第一步，显式的要先挪成隐式：

F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z = 0

。

第二步，

(F_{x}, F_{y}, F_{z}) = (2 x, 2 y, - 1)

，代入那个点得

(2, 2, - 1)

。

第三步，切平面用点法式：

2 (x - 1) + 2 (y - 1) - 1 \cdot (z - 2) = 0 ⟹ 2 x + 2 y - z = 2.

第四步，法线用点向式：

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} .

第一步那个移项最常被跳过：直接拿

z = x^{2} + y^{2}

去求「偏导」只会得到

(2 x, 2 y)

两个分量，第三个分量

- 1

就丢了——而它正是把切平面从 $x O y$ 面上立起来的那一个。

交线与「平行于已知平面」

第一步：交线问题先求两个曲面各自的法向量

n_{1}, n_{2}

。

第二步：切向量取

n_{1} \times n_{2}

，再按曲线的模板写切线与法平面。

第三步：平行问题设切点未知，写「法向量成比例」得两个方程。

第四步：补上「切点在曲面上」那个方程，解出切点，再写切平面。

例例（交线）. 求

z = x^{2} + y^{2}

与

z = 2 - x^{2} - y^{2}

的交线在点

P (1, 0, 1)

处的切向量。

第一步，两张曲面各自的法向量：

F = x^{2} + y^{2} - z

给

(2 x, 2 y, - 1) \to (2, 0, - 1)

；

G = x^{2} + y^{2} + z - 2

给

(2 x, 2 y, 1) \to (2, 0, 1)

。

第二步，切向量取叉乘：

T = (2, 0, - 1) \times (2, 0, 1) = (0, - 4, 0) ⟶ (0, 1, 0),

再按上一条曲线的模板写切线与法平面。（验一下：交线其实是圆

x^{2} + y^{2} = 1, z = 1

，在

(1, 0, 1)

处的切向确实沿

y

轴 ✓）

例（平行于已知平面）. 求

z = x^{2} + y^{2}

上切平面平行于

2 x + 2 y - z = 0

的点。

第三步，设切点

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

未知，法向量是

(2 x_{0}, 2 y_{0}, - 1)

；已知平面的是

(2, 2, - 1)

。第三个分量都是

- 1

，比例系数即为

1

，于是

2 x_{0} = 2

、

2 y_{0} = 2

，得

x_{0} = y_{0} = 1

。

第四步，补上「切点在曲面上」那个方程：

z_{0} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 2

。切点是

(1, 1, 2)

，切平面

2 x + 2 y - z = 2

——与已知平面平行而不重合 ✓

第四步最容易漏：只解出

x_{0}, y_{0}

就收工，切点少一个坐标，切平面根本写不出来。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

点向式与点法式写反

直线用点向式（向量做分母），平面用点法式（向量做系数）。

把切线写成

x^{'} (x - x_{0}) + \dots = 0

，写出来的其实是法平面；
把切平面写成连等式，得到的是法线。

记法：分母是「沿着走」，系数是「垂直于」。

$z = f (x, y)$ 的法向量漏掉 $- 1$

n = (f_{x}, f_{y}, - 1)

的第三个分量来自

F = f - z

里的

- z

。

漏掉它，法向量变成二维的

(f_{x}, f_{y})

，写出来的「切平面」里没有

z

——
那是一个竖直平面，不可能是切平面。

自检：切平面方程里必须出现

z

。

法向量没代点，还留着 $x, y, z$

(2 x, 2 y, 2 z)

是「每一点的法向量」，写具体方程前必须代入

P_{0}

。

不代点就往点法式里填，得到的方程里会同时出现

x

与

x_{0}

，根本不是平面。

动笔顺序：先求向量表达式，再代点，再写方程。

交线问题拿一个法向量当切向量

n_{1}

垂直于第一张曲面，而交线躺在两张曲面上，所以它同时垂直于

n_{1}

与

n_{2}

。

切向量只能是

n_{1} \times n_{2}

。

症状：算出来的「切线」其实垂直于曲线。看一眼它和两个曲面的关系就能发现。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认两种方程

练 1

曲线

x = t, y = t^{2}, z = t^{3}

在

t = 1

处的切向量为 ________。

练 2

过点

P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

、方向向量为

(1, 2, 3)

的直线方程是（）。

A $(x - x_{0}) + 2 (y - y_{0}) + 3 (z - z_{0}) = 0$
B $\frac{x - x _{0}}{1} = \frac{y - y _{0}}{2} = \frac{z - z _{0}}{3}$
C $x + 2 y + 3 z = 0$
D $\frac{x - x _{0}}{3} = \frac{y - y _{0}}{2} = \frac{z - z _{0}}{1}$

练 3

曲面

F (x, y, z) = 0

在

P_{0}

处的法向量为 ________（用

F

的偏导表示）。

练 4

曲面

z = f (x, y)

的法向量可取（）。

A $(f_{x}, f_{y}, - 1)$
B $(f_{x}, f_{y})$
C $(f_{x}, f_{y}, 1)$
D $(1, 1, - 1)$

第二组 · 写出方程

练 5

球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14

在点

(1, 2, 3)

处的切平面方程为 ________。

练 6

z = x^{2} + y^{2}

在点

(1, 1, 2)

处的切平面方程为 ________。

练 7

空间曲线在

P_{0}

处法平面的法向量是（）。

A该点处曲面的法向量
B任意与曲线垂直的向量
C零向量
D该点处曲线的切向量

练 8

曲线

x = t, y = t^{2}, z = t^{3}

在

t = 1

处的法平面方程为 ________。

第三组 · 两类变形

练 9

两曲面交线在

P_{0}

处的切向量可取（）（

n_{1}, n_{2}

为两曲面的法向量）。

A $n_{1} + n_{2}$
B $n_{1} - n_{2}$
C $n_{1} \times n_{2}$
D $n_{1} \cdot n_{2}$

练 10

曲面

z = x^{2} + y^{2}

上，切平面平行于平面

2 x + 2 y - z = 0

的点是 ________。

练 11

曲面

x y z = 1

在点

(1, 1, 1)

处的法向量（约去公因子）为 ________。

练 12

切平面方程

z - z_{0} = f_{x} (x - x_{0}) + f_{y} (y - y_{0})

与全微分的关系是（）。

A两者没有关系
B切平面就是全微分这个线性函数的图像
C全微分是切平面的法向量
D两者数值恒相等

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解