方向导数与梯度

高等数学 · 多元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 方向导数：沿一条射线走的变化率

偏导数只盯着两个方向：沿

x

轴、沿

y

轴。可是站在曲面上的一点，
你可以朝任何方向走——朝那个方向走，函数变得多快？ 这就是方向导数。

设

l

是从

P_{0}

出发的射线，它的单位方向向量是

e = (cos α, cos β) .

沿

l

走距离

t > 0

到达的点记作

P = (x_{0} + t cos α, y_{0} + t cos β),

于是定义

\frac{\partial f}{\partial l}_{P_{0}} = t \to 0^{+} lim \frac{f ( P ) - f ( P _{0} )}{t} .

留意 $t \to 0^{+}$ ：方向一旦选定，走的距离只能是正的，所以它是单侧的。

偏导数是它的特例：取

e = (1, 0)

就是

f_{x}

，取

e = (0, 1)

就是

f_{y}

。

2. 可微时的公式：两个偏导乘方向余弦

定理. 若

f

在

P_{0}

可微，则沿任何方向

e = (cos α, cos β)

的方向导数都存在，且

\frac{\partial f}{\partial l} = f_{x} cos α + f_{y} cos β .

三元同理，多加一项

f_{z} cos γ

。

前提是可微，不是「偏导存在」。 这一点在这一节格外要紧：
那个

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

在原点两个偏导都为

0

，公式会给出「任何方向的方向导数都是

0

」，
而它在原点连连续都不连续，沿

y = x

方向的方向导数根本不存在。

动笔的顺序固定成三步：

单位化方向 $\to$ 算两个偏导并代点 $\to$ 相乘相加。

3. 梯度：一个点积，管住三条结论

把两个偏导装成一个向量，叫梯度：

grad f = (f_{x}, f_{y})

（也记作

\nabla f

）。于是上面的公式就是一个点积：

\frac{\partial f}{\partial l} = grad f \cdot e = ∣ grad f ∣ cos θ,

其中

θ

是梯度与

e

的夹角（

∣ e ∣ = 1

）。

这一行里唯一能变的是

cos θ \in [- 1, 1]

，三条结论立刻掉出来：

① 沿梯度方向（ $θ = 0$ ）方向导数最大，最大值

= ∣ grad f ∣

；

② 沿负梯度方向最小，为

- ∣ grad f ∣

；

③ 与梯度垂直的方向，方向导数为 $0$ 。

梯度是向量，方向导数是数——答题时这两样别写串。

4. 几何：梯度垂直于等值线（三元时垂直于等值面）

等值线是

f (x, y) = C

这条曲线——沿着它走，函数值根本不变。

于是沿等值线方向的方向导数是

0

，由那个点积

grad f \cdot e = 0,

得到：梯度与等值线的切线方向垂直（当

grad f \neq = 0

）。

换句话说，

grad f

就是等值线的法向量。

三元完全一样：

grad F = (F_{x}, F_{y}, F_{z})

是等值面

F (x, y, z) = C

的法向量。

这一条下一节直接拿去用：求曲面

F = 0

的切平面，需要的法向量就是它的梯度。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求方向导数：单位化、代点、点乘

第一步：把给的方向向量单位化（除以它的模）。给角度的话，写成

(cos α, sin α)

。

第二步：求两个偏导，并代入那个点，得到两个数。

第三步：对应相乘再相加，答案是一个数。

第四步：若问的是沿

- l

，把单位向量取反再来一遍（可微时等于原答案的相反数）。

例例. 求

f (x, y) = x^{2} + x y

在点

P (1, 2)

处沿

l = (3, 4)

的方向导数。

第一步，单位化：

∣ l ∣ = 5

，

e = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})

。这一步不能省——方向导数只认方向，不认那个向量有多长。

第二步，

f_{x} = 2 x + y

、

f_{y} = x

，代入

P (1, 2)

得两个数：

f_{x} (P) = 4

、

f_{y} (P) = 1

。

第三步，对应相乘再相加：

\frac{\partial f}{\partial l}_{P} = 4 \cdot \frac{3}{5} + 1 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} .

答案是一个数，不是向量。

第四步，若问沿

- l

：把单位向量取反再算一遍，得

- \frac{16}{5}

。

f

在这里可微，所以恰好是相反数；不可微的点上两边要各算各的。

求最大变化率与它的方向

第一步：求梯度

grad f = (f_{x}, f_{y})

，代入那个点。

第二步：最大的方向导数

= ∣ grad f ∣

，最小的

= - ∣ grad f ∣

。

第三步：方向问的是单位向量，把梯度除以它的模。

第四步：核对题问的是「值」还是「方向」——一个是数，一个是向量。

例例. 接上题：

f = x^{2} + x y

在

P (1, 2)

处沿哪个方向增长最快？最快是多少？

第一步，求梯度并代点：

grad f = (2 x + y, x)

，在

P

处为

(4, 1)

。

第二步，最大的方向导数就是梯度的模：

∣ grad f ∣ = 4^{2} + 1^{2} = 17;

最小的是

- 17

，沿梯度的反方向取到。

第三步，问「方向」就要给单位向量：

\frac{1}{17} (4, 1)

。

第四步，核对题问的是哪一个——「最大变化率」是数

17

，「变化最快的方向」是向量。两问答反是这一条最常见的丢分。

顺带验上一题：沿

(3, 4)

的方向导数是

\frac{16}{5} = 3.2

，而

17 \approx 4.12

✓ 任何方向都不会超过梯度的模——超过了就是算错了。

要法向量就去求梯度

第一步：把曲线（曲面）写成等值的样子：

f (x, y) = C

或

F (x, y, z) = C

。

第二步：求梯度，代入那个点。

第三步：这个向量就是法向量；与它垂直的方向就是切线（切平面）方向。

第四步：沿等值线（面）走的方向导数为

0

，可以当结论直接写。

例例. 求曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 6

在点

P (1, 1, 1)

处的法向量与切平面。

第一步，它已经是等值面的样子：

F (x, y, z) = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2}

，取值

6

。

第二步，

grad F = (2 x, 4 y, 6 z)

，代入

P

得

(2, 4, 6)

，约掉公因子写成

(1, 2, 3)

。

第三步，这就是法向量，切平面用点法式：

1 \cdot (x - 1) + 2 (y - 1) + 3 (z - 1) = 0 ⟹ x + 2 y + 3 z = 6.

第四步，沿等值面走的方向导数为

0

，这可以直接当结论写。验一下：取切平面内的方向

e = \frac{1}{5} (2, - 1, 0)

（它与

(1, 2, 3)

点积为零），

\frac{\partial F}{\partial e} = grad F \cdot e = \frac{2 \cdot 2 + 4 \cdot ( - 1 ) + 6 \cdot 0}{5} = 0 ✓

「梯度垂直于等值面」这句话，算出来就是这个零。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

方向向量没单位化就代公式

公式里的

cos α, cos β

是单位向量的分量。

拿

(3, 4)

直接代，答案会放大

5

倍，而它和

(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})

是同一个方向。

自检：两个分量的平方和应当等于

1

。

沿 $- l$ 方向忘了变号

可微时

\frac{\partial f}{\partial ( - l )} = - \frac{\partial f}{\partial l}

，
因为单位向量取反，点积就变号。

题目爱问「沿由

A

指向

B

的方向」，而你顺手写成了

B

指向

A

——
方向向量的起点终点读反，答案正好差一个负号。

先写一句「方向向量

= A B = \dots

」，再单位化。

偏导存在就套那条公式

公式的前提是可微。偏导存在而不可微时，它算出来的数可能根本不是方向导数。

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

（原点补

0

）就是反例：公式说「各方向都是

0

」，
实际上沿

y = x

方向的方向导数不存在。

所以在分段函数、分界点这类题里，先确认可微，再用公式；否则回定义。

梯度与方向导数的「类型」写串

grad f

是向量，

\frac{\partial f}{\partial l}

是数。

常见症状：问最大变化率答了一个向量（应当是模），问方向答了一个数。

写答案前看一眼题干的那个字：「率」「值」是数，「方向」是向量。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认定义与记号

练 1

方向导数

\frac{\partial f}{\partial l}

是（）。

A一个向量
B梯度本身
C一个数
D一个矩阵

练 2

向量

l = (3, 4)

的单位向量

e =

________。

练 3

设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，则

grad f =

________。

练 4

取

e = (1, 0)

时，可微函数的方向导数

\frac{\partial f}{\partial l}

等于（）。

A $f_{y}$
B $∣ grad f ∣$
C $0$
D $f_{x}$

第二组 · 代公式

练 5

f (x, y) = x^{2} y

在

(1, 2)

处沿

l = (3, 4)

的方向导数为 ________。

练 6

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在

(1, 2)

处

∣ grad f ∣ =

________。

练 7

设

f

在

P

可微，沿方向

l

的方向导数为

3

，则沿

- l

的方向导数为（）。

A $- 3$
B $3$
C $0$
D无法确定

练 8

f (x, y) = x y

在

(1, 1)

处沿

l = (1, 1)

的方向导数为 ________。

第三组 · 梯度与几何

练 9

已知

f

在

P

可微且

grad f = (3, 4)

，则该点方向导数的最大值为（）。

A $7$
B $5$
C $25$
D不存在

练 10

承上题，方向导数取到最大值的方向的单位向量为 ________。

练 11

关于梯度与等值线（设

grad f \neq = 0

），正确的是（）。

A梯度与等值线相切
B梯度沿等值线方向
C梯度与等值线垂直
D两者没有关系

练 12

设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，则在

(1, 0)

处沿该点等值线切线方向的方向导数为 ________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

方向导数与梯度

先打基础

1. 方向导数：沿一条射线走的变化率

2. 可微时的公式：两个偏导乘方向余弦

3. 梯度：一个点积，管住三条结论

4. 几何：梯度垂直于等值线（三元时垂直于等值面）

常用结构

求方向导数：单位化、代点、点乘

求最大变化率与它的方向

要法向量就去求梯度

基础易错

方向向量没单位化就代公式

沿 −l 方向忘了变号

偏导存在就套那条公式

梯度与方向导数的「类型」写串

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

沿 $- l$ 方向忘了变号