方向导数与梯度

§5.6 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.80 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

2.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数全微分③ 掌握后可解锁偏导数几何应用（切平面、法线）场论初步：散度与旋度

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 公式 $\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot e_{l}$ 以可微为前提，不可微时必须回到定义★★ 必会

方向导数等于梯度与单位方向向量的数量积，这条公式只在

f

于该点可微时成立。在偏导数存在而不可微的点（例如分段函数的分界点），公式会给出错误的结果，必须回到定义

\frac{\partial f}{\partial l} = lim_{t \to 0^{+}} \frac{f ( P _{0} + t e _{l} ) - f ( P _{0} )}{t}

逐个方向计算。反过来也要注意，各个方向导数都存在同样推不出可微，两者不能混为一谈。

证明 / 推导

下面证明可微时公式确实成立，并看清可微性用在何处。

证设

f

在点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

处可微，

e_{l} = (cos α, cos β)

为单位向量。按可微的定义，

f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0}) ρ = f_{x} (P_{0}) Δ x + f_{y} (P_{0}) Δ y + o (ρ) = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} .

沿方向

e_{l}

取动点，即令

Δ x = t cos α, Δ y = t cos β

，其中

t > 0

。这时

ρ = t^{2} cos^{2} α + t^{2} cos^{2} β = t cos^{2} α + cos^{2} β = t,

末一步用到

e_{l}

是单位向量。代入上式，得

f (P_{0} + t e_{l}) - f (P_{0}) = t [f_{x} (P_{0}) cos α + f_{y} (P_{0}) cos β] + o (t) .

两边除以

t

，再令

t \to 0^{+}

，其中

\frac{o ( t )}{t} \to 0

，于是

\frac{\partial f}{\partial l}_{P_{0}} = f_{x} (P_{0}) cos α + f_{y} (P_{0}) cos β = \nabla f (P_{0}) \cdot e_{l} .

这就证明了公式。三元函数的情形完全相同，只须把方向余弦添上一个

cos γ

。

■

由证明可以看出可微性的作用。它保证增量有

A Δ x + B Δ y + o (ρ)

这样的一阶近似，而余项

o (ρ)

对一切方向是同一个，与

e_{l}

无关。如果只知道两个偏导数存在，那么所掌握的仅是沿两条坐标轴方向的信息。这时其余方向上的余项无从控制，上面这一步就无法进行。

由公式还可得一条便于检验的推论。设

f

在

P_{0}

处可微，则沿相反的两个方向的方向导数之和为零，这是因为

\nabla f (P_{0}) \cdot (- e_{l}) = - \nabla f (P_{0}) \cdot e_{l}

。因此，如果在某点算出沿

e_{l}

与

- e_{l}

的方向导数都是正数，那么

f

在该点必不可微。

举例说明

考察

f (x, y) = ∣ x y ∣

在原点的情形。由

f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0

得

\nabla f (0, 0) = 0

，按公式将得出一切方向导数都是

0

。但按定义，沿单位方向

e_{l} = (cos α, sin α)

有

\frac{\partial f}{\partial l} = t \to 0^{+} lim \frac{∣ t ^{2} cos α sin α ∣}{t} = ∣ cos α sin α ∣ .

取

α = 4 5^{\circ}

得

\frac{1}{2} \neq = 0

。在这个方向上，实际的方向导数与公式所给的结果不符。这说明

f

在原点不可微。此时套用公式一般会出错，只在沿坐标轴的四个方向上碰巧相符。

2. 梯度方向是变化率最大的方向：由柯西不等式立得，并可求出 $f$ 不变的方向★★ 必会

当

f

可微时，

\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot e_{l} = ∣\nabla f ∣ cos θ

，其中

θ

是所给方向与梯度的夹角。因为

∣ e_{l} ∣ = 1

，由柯西不等式知方向导数的取值范围是

[- ∣\nabla f ∣, ∣\nabla f ∣]

。当

θ = 0

，即沿

\nabla f

方向时取得最大值

∣\nabla f ∣

，函数上升最快；当

θ = π

，即沿

- \nabla f

方向时取得最小值

- ∣\nabla f ∣

，函数下降最快，梯度下降法就由此而来；当

θ = \frac{π}{2}

，即方向与

\nabla f

垂直时方向导数为零，沿这个方向

f

的瞬时变化率为零。这个方向就是等值线的切线方向，因此梯度垂直于等值线（在空间中则垂直于等值面）。

证明 / 推导

下面证明梯度垂直于等值线。设

r (t) = (x (t), y (t))

是等值线

f (x, y) = c

上的一条光滑参数曲线，则

f (r (t)) \equiv c

。两边对

t

求导，由链式法则得

\nabla f \cdot r^{'} (t) = f_{x} x^{'} + f_{y} y^{'} = 0

，即

\nabla f

与等值线的切向量

r^{'} (t)

垂直。

■

例（求

f

不变的方向）：

f = x^{2} + y^{2}

在点

(1, 1)

处

\nabla f = (2, 2)

，与它垂直的单位向量是

\pm \frac{1}{2} (1, - 1)

。沿这两个方向的方向导数为零，

f

的瞬时变化率为零，它们正是过该点的圆

x^{2} + y^{2} = 2

的切线方向。

3. 把 $\nabla$ 看作算子：梯度的运算法则及其几何意义，可直接通向场论★ 要懂

梯度算子

\nabla = (\partial_{x}, \partial_{y}, \partial_{z})

是一个向量算子，满足下列法则：

\nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f

；

\nabla (ϕ (u)) = ϕ^{'} (u) \nabla u

，这是链式法则；

\nabla (a f + b g) = a \nabla f + b \nabla g

。对

r = ∣ r ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}

有

\nabla r = \frac{r}{r}

，即单位径向量。有了这些法则，梯度的计算就和求导一样机械。这一节也由此与第 6 章的散度、旋度衔接起来，梯度场是最典型的有势场。

证明 / 推导

下面逐条推导上列法则。设

f, g, u

在所论的点处有一阶偏导数，

ϕ

可导。

线性. 由偏导数的线性性质，

(a f + b g)_{x} = a f_{x} + b g_{x}

，对

y, z

同样成立。把三个分量合起来，即得

\nabla (a f + b g) = a \nabla f + b \nabla g

。

乘积. 由乘积的求导法则，

(f g)_{x} = f_{x} g + f g_{x}

，另两个分量同理。于是

\nabla (f g) = (f_{x} g + f g_{x}, f_{y} g + f g_{y}, f_{z} g + f g_{z}) = g (f_{x}, f_{y}, f_{z}) + f (g_{x}, g_{y}, g_{z}) = g \nabla f + f \nabla g .

复合. 由复合函数求导法则，

(ϕ (u))_{x} = ϕ^{'} (u) u_{x}

，另两个分量同理。三个分量提出公因子

ϕ^{'} (u)

，即得

\nabla ϕ (u) = ϕ^{'} (u) \nabla u

。由此可见，梯度的这几条法则都只是把一元的求导法则按分量各写一遍。

径向量的梯度. 设

r = x^{2} + y^{2} + z^{2}

。当

r > 0

时

\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{2 x}{2 x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}} = \frac{x}{r},

对

y, z

同理，故

\nabla r = \frac{( x , y , z )}{r} = \frac{r}{r}

，它是背离原点方向的单位向量。这一结果只在

r > 0

处成立，因为

r

在原点不可导。

把复合法则用于

ϕ (r)

，便得一个常用的公式

\nabla ϕ (r) = ϕ^{'} (r) \frac{r}{r} .

这就证明了：凡只依赖于

r

的函数，其梯度都沿径向，大小由

ϕ^{'} (r)

决定。中心力场的一般形状即由此而来。

■

举例说明

计算

\nabla (\frac{1}{r})

，其中

r = x^{2} + y^{2} + z^{2}

。由链式法则得

\nabla (\frac{1}{r}) = - \frac{1}{r ^{2}} \nabla r = - \frac{1}{r ^{2}} \cdot \frac{r}{r} = - \frac{r}{r ^{3}} .

这就是万有引力和库仑力所服从的平方反比场：势函数

\frac{1}{r}

的梯度给出一个指向原点、大小与

\frac{1}{r ^{2}}

成正比的向量场。一个纯粹的梯度运算，写出了物理中最重要的中心力场。

4. 计算方向导数时的三个细节：单位化、由两点确定方向、单侧极限★ 要懂

第一，所给的方向如果不是单位向量（例如

l = (3, 4)

），必须先单位化为

e_{l} = l /∣ l ∣

，再与梯度作数量积。第二，方向若以从

P

指向

Q

的形式给出，取

e_{l} = P Q /∣ P Q ∣

；若以与坐标轴的夹角给出，则用方向余弦

(cos α, cos β)

，它满足

cos^{2} α + cos^{2} β = 1

。第三，数学一中方向导数用单侧极限

t \to 0^{+}

定义，对不可微的函数，沿

l

与沿

- l

的方向导数未必只相差一个符号。此外，最大变化率是数量

∣\nabla f ∣

，而变化最快的方向才是向量

\nabla f

，两者不要混淆。

举例说明

设

f (x, y, z) = x y z

，求它在点

P (1, 1, 1)

处沿由

P

指向

Q (2, 3, 1)

的方向的方向导数。梯度为

\nabla f = (y z, x z, x y)_{P} = (1, 1, 1)

。方向向量

P Q = (1, 2, 0)

，

∣ P Q ∣ = 5

，故

e_{l} = \frac{1}{5} (1, 2, 0)

。于是

\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot e_{l} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0}{5} = \frac{3}{5} = \frac{3 5}{5} .

又

f

在

P

处增长最快的方向是

\nabla f = (1, 1, 1)

，最大变化率为

∣\nabla f ∣ = 3

。

💡 小知识

今天训练神经网络，每一步都是沿负梯度下山。这套梯度下降法可以追溯到 1847 年，柯西为求解天文方程组提出了最速下降的想法。一个关于山坡哪个方向最陡的古老问题，如今支撑起了整个深度学习时代的计算。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，求梯度

\nabla f

及其在点

(1, 2)

处的值。难度 1

梯度是由两个偏导数拼成的向量：

\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) = (2 x, 2 y)

。代入点

(1, 2)

：

\nabla f_{(1, 2)} = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4)

。记住：梯度是向量，方向导数才是数。

例 2 设

f (x, y) = x^{2} y

，求

f

在点

P_{0} (1, 2)

处沿方向

l = (3, 4)

的方向导数。难度 1

f

是初等函数，处处可微，可用公式

\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot e_{l}

。第一步求梯度：

\nabla f = (2 x y, x^{2})

，在

P_{0} (1, 2)

处为

(4, 1)

。第二步把方向单位化：

∣ l ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5

，

e_{l} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})

。第三步作点积：

\frac{\partial f}{\partial l}_{P_{0}} = (4, 1) \cdot (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) = \frac{12}{5} + \frac{4}{5} = \frac{16}{5}

。切记方向必须先化成单位向量。

例 3 设

f (x, y, z) = x y z

，求

f

在点

(1, 2, 3)

处增长最快的方向，以及最大方向导数（最大变化率）。难度 2

三元梯度

\nabla f = (y z, x z, x y)

，在

(1, 2, 3)

处为

(2 \cdot 3, 1 \cdot 3, 1 \cdot 2) = (6, 3, 2)

。由

\frac{\partial f}{\partial l} = ∣\nabla f ∣ cos θ

知：沿梯度方向（

θ = 0

）方向导数最大。故增长最快的方向是

\nabla f = (6, 3, 2)

（或其单位向量），最大变化率为

∣\nabla f ∣ = 6^{2} + 3^{2} + 2^{2} = 49 = 7

。注意最大变化率是标量

∣\nabla f ∣

，方向才是向量。

例 4 设

f (x, y) = x e^{y}

，求

f

在点

P (2, 0)

处沿从

P

指向

Q (3, - 1)

方向的方向导数。难度 2

先求梯度：

\nabla f = (e^{y}, x e^{y})

，在

P (2, 0)

处为

(e^{0}, 2 e^{0}) = (1, 2)

。方向由

P

指向

Q

：

P Q = (3 - 2, - 1 - 0) = (1, - 1)

，

∣ P Q ∣ = 2

，单位向量

e_{l} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

。方向导数

\frac{\partial f}{\partial l} = (1, 2) \cdot e_{l} = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = - \frac{1}{2} = - \frac{2}{2}

。结果为负，说明沿此方向函数在下降。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

已知函数

u (x, y, z) = x y^{2} z^{3}

，向量

n = (2, 2, - 1)

，则

\frac{\partial u}{\partial n}_{(1, 1, 1)} =

______.

2022 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

函数

f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2}

在点

(0, 1)

处的最大方向导数为 ______.

2019 年 · 数一 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

设

a, b

为实数，函数

z = 2 + a x^{2} + b y^{2}

在点

(3, 4)

处的方向导数中，沿方向

l = - 3 i - 4 j

的方向导数最大，最大值为

10

。

（Ⅰ）求

a, b

；

（Ⅱ）求曲面

z = 2 + a x^{2} + b y^{2} (z \geq 0)

的面积。

2017 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

函数

f (x, y, z) = x^{2} y + z^{2}

在点

(1, 2, 0)

处沿向量

n = (1, 2, 2)

的方向导数为（　　）

A $12$ .
B $6$ .
C $4$ .
D $2$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，则

\nabla f

在点

(3, 4)

处等于 ____。

练习 2 · 选择题

设

f

在点

P

处可微且

\nabla f_{P} \neq = 0

，则

f

在

P

处沿梯度方向

\nabla f

的方向导数等于（　）。

A $0$
B $∣\nabla f ∣$
C $- ∣\nabla f ∣$
D $\nabla f$

练习 3 · 填空题

设

f (x, y) = x y

，则

f

在点

(1, 1)

处沿方向

(1, 1)

的方向导数为 ____。

练习 4 · 选择题

设

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

，则

f

在点

(1, 2, 2)

处的最大方向导数（最大变化率）为（　）。

A $6$
B $6$
C $36$
D $(2, 4, 4)$

练习 5 · 填空题

设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，则

f

在点

(1, 0)

处沿其等值线（过该点）切线方向的方向导数为 ____。

练习 6 · 选择题

设

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，则在原点

O (0, 0)

处（　）。

A $f$ 可微，且 $\nabla f_{O} = 0$
B $f$ 的两个偏导数都存在，但 $f$ 不可微
C $f$ 沿任何方向的方向导数都不存在
D $f$ 沿任何方向的方向导数都存在且都等于 $1$ ，但偏导数 $f_{x} (0, 0)$ 不存在

练习 7 · 填空题

设

f (x, y, z) = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2}

，则

f

在点

M (1, 1, 1)

处沿曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 6

在

M

处外法线方向的方向导数为 ____。

练习 8 · 解答题

设三元函数

u = u (x, y, z)

在点

M_{0} (1, - 1, 2)

处可微，已知它在

M_{0}

处沿三个方向

l_{1} = (1, 1, 0), l_{2} = (0, 1, 1), l_{3} = (1, 0, 1)

的方向导数依次为

\frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{4}{2}

。
（1）求

\nabla u_{M_{0}}

；
（2）求

u

在

M_{0}

处方向导数的最大值，以及取得最大值的方向的单位向量；
（3）问是否存在过

M_{0}

的方向，使

u

沿该方向的方向导数等于

- 4

？说明理由。

2015 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

已知函数

f (x, y) = x + y + x y

，曲线

C : x^{2} + y^{2} + x y = 3

，求

f (x, y)

在曲线

C

上的最大方向导数。

2012 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

grad (x y + \frac{z}{y})_{(2, 1, 1)} =

______.

方向导数与梯度

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 公式 ∂l∂f​=∇f⋅el​ 以可微为前提，不可微时必须回到定义★★ 必会

2. 梯度方向是变化率最大的方向：由柯西不等式立得，并可求出 f 不变的方向★★ 必会

3. 把 ∇ 看作算子：梯度的运算法则及其几何意义，可直接通向场论★ 要懂

4. 计算方向导数时的三个细节：单位化、由两点确定方向、单侧极限★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 公式 $\frac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot e_{l}$ 以可微为前提，不可微时必须回到定义★★ 必会

2. 梯度方向是变化率最大的方向：由柯西不等式立得，并可求出 $f$ 不变的方向★★ 必会

3. 把 $\nabla$ 看作算子：梯度的运算法则及其几何意义，可直接通向场论★ 要懂