全微分

§5.3 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.23 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

2.1 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数导数与微分的概念③ 掌握后可解锁方向导数与梯度

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 可微的实质是全增量含 $o (ρ)$ ：等价极限式，以及分母取 $ρ$ 的理由★★ 必会

可微是指全增量可以表示为线性主部与关于

ρ = Δ x^{2} + Δ y^{2}

的高阶无穷小之和，即

Δ z = f_{x} Δ x + f_{y} Δ y + o (ρ)

。它等价于极限式

ρ \to 0 lim \frac{Δ z - ( f _{x} Δ x + f _{y} Δ y )}{ρ} = 0.

分母取的是动点到定点的距离

ρ

。分母也可以取

∣Δ x ∣ + ∣Δ y ∣

，所得到的是同一个可微定义。事实上

ρ \leq ∣Δ x ∣ + ∣Δ y ∣ \leq 2 ρ

，两者相互控制，因此一个是高阶无穷小，另一个也是。但是分母不能取

Δ x

，因为当

Δ x = 0

而

Δ y \neq = 0

时比式没有意义。必须注意，

ρ \to 0

允许动点以任意方式趋于定点。因此上述极限式要求误差对一切方向一致地为高阶无穷小。可微之所以比偏导数存在强，也正在于此：偏导数只管两条坐标轴的方向，可微则管住所有方向。

证明 / 推导

两种表述等价的证明. 记误差

η (Δ x, Δ y) = Δ z - (f_{x} Δ x + f_{y} Δ y)

。

设

Δ z = f_{x} Δ x + f_{y} Δ y + o (ρ)

。按高阶无穷小的定义，

η

可以写成

η = α ρ

，其中

ρ \to 0

时

α \to 0

。于是当

ρ \neq = 0

时

\frac{η}{ρ} = α

，取极限即得所述的极限式。

反过来，设

ρ \to 0 lim \frac{η}{ρ} = 0

。令

α = \frac{η}{ρ} (ρ \neq = 0)

，并补充规定

ρ = 0

时

α = 0

。这时

η = α ρ

，且

ρ \to 0

时

α \to 0

，即

η = o (ρ)

。所以两种说法完全相同。

分母取 $ρ$ 的作用. 把极限式按定义写开：对任意

ε > 0

，存在

δ > 0

，使当

0 < ρ < δ

时

Δ z - f_{x} Δ x - f_{y} Δ y \leq ερ .

这里的

δ

只依赖于

ε

。动点沿哪个方向趋于

P_{0}

，用的都是同一个

δ

。因此可微是一个对各方向一致的要求。又

ρ

就是两点间的距离

∣ P_{0} P ∣

，它不随坐标轴的选取而改变，用它度量趋近的程度最为自然。

分母不能取 $Δ x$ . 如果把分母换成

Δ x

，那么当

Δ x = 0

而

Δ y \neq = 0

时比式没有意义。这样的条件管不住沿

y

轴方向的趋近，也就不能刻画可微。

最后要注意，

ρ \to 0

允许动点以任意方式趋于

P_{0}

，沿直线与沿曲线都包括在内。这一点是二元函数与一元函数的重要区别。

■

举例说明

验证

f (x, y) = (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} ((x, y) \neq = (0, 0)), f (0, 0) = 0

在原点可微。先求偏导数：

f_{x} (0, 0) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x ^{2} s i n \frac{1}{∣Δ x ∣}}{Δ x} = 0

，同理

f_{y} (0, 0) = 0

。代入等价极限式，得

\frac{Δ z - 0}{ρ} = \frac{( Δ x ^{2} + Δ y ^{2} ) sin \frac{1}{ρ}}{ρ} = ρ sin \frac{1}{ρ} \to 0.

极限为

0

，所以

f

在原点可微，且

d z_{(0, 0)} = 0

。

2. 可微必连续、可微必有偏导数：两条必要条件的证明★ 要懂

这两条结论都可以由定义直接推出，是理解可微、偏导数存在、连续三者关系的基础。反过来，其中任何一条都不成立：偏导数存在推不出可微，连续也推不出可微。把这两条证清楚，就明白可微为什么是较强的条件。

证明 / 推导

设

f

在

P_{0}

可微，即

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ)

。

（1）偏导数存在。令

Δ y = 0

，这时

ρ = ∣Δ x ∣

，

Δ z = A Δ x + o (∣Δ x ∣)

。两边除以

Δ x

并令

Δ x \to 0

，得

lim \frac{Δ z}{Δ x} = A

，即

f_{x} (P_{0}) = A

存在。同理令

Δ x = 0

得

f_{y} (P_{0}) = B

。因此可微必有两个偏导数存在，且

d z = f_{x} d x + f_{y} d y

。

（2）连续。当

ρ \to 0

时

A Δ x + B Δ y \to 0

，

o (ρ) \to 0

，故

Δ z \to 0

，即

lim_{(Δ x, Δ y) \to (0, 0)} f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) = f (x_{0}, y_{0})

，所以

f

在

P_{0}

连续。

■

3. 偏导数连续是可微的充分条件，但不是必要条件★ 要懂

如果偏导数在该点连续，那么函数在该点可微。这个充分条件很好用，但它不是必要的，可微并不要求偏导数连续。把它误记成充要条件是常见的错误。上一条中的

(x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}

就是现成的例子，它在原点可微，偏导数却不连续。

证明 / 推导

下面证明这个充分条件。设

f_{x}, f_{y}

在点

P_{0} (x_{0}, y_{0})

的某邻域内存在，并且在

P_{0}

处连续。把全增量拆成两段，每段只有一个变量在变：

Δ z = [f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0} + Δ y)] + [f (x_{0}, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})] .

第一个方括号内

y

固定为

y_{0} + Δ y

，只有

x

在变。对它用拉格朗日中值定理，存在

0 < θ_{1} < 1

，使它等于

f_{x} (x_{0} + θ_{1} Δ x, y_{0} + Δ y) Δ x

。第二个方括号内只有

y

在变，同理存在

0 < θ_{2} < 1

，使它等于

f_{y} (x_{0}, y_{0} + θ_{2} Δ y) Δ y

。

记

ρ = Δ x^{2} + Δ y^{2}

。当

ρ \to 0

时两个中值点都趋于

P_{0}

，由

f_{x}, f_{y}

在

P_{0}

连续，可以写成

f_{x} (x_{0} + θ_{1} Δ x, y_{0} + Δ y) f_{y} (x_{0}, y_{0} + θ_{2} Δ y) = f_{x} (P_{0}) + α = f_{y} (P_{0}) + β

其中

α \to 0, β \to 0

。代回上式，得

Δ z = f_{x} (P_{0}) Δ x + f_{y} (P_{0}) Δ y + α Δ x + β Δ y .

最后估计末两项。由

∣Δ x ∣ \leq ρ

与

∣Δ y ∣ \leq ρ

得

\frac{α Δ x + β Δ y}{ρ} \leq ∣ α ∣ + ∣ β ∣ ⟶ 0,

即

α Δ x + β Δ y = o (ρ)

。按可微的定义，这就证明了

f

在

P_{0}

可微。

■

值得注意的是，证明对两个偏导数的要求并不对称。第二段也可以不用中值定理，直接按偏导数的定义写成

f_{y} (P_{0}) Δ y + o (Δ y)

，这时只须

f_{y}

在

P_{0}

处存在。因此条件还可以减弱为：一个偏导数在邻域内存在且在该点连续，另一个在该点存在。这说明连续性的要求本来就留有余地，它不是必要条件。

举例说明

仍取

f = (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}

（原点处取

0

），记

r = x^{2} + y^{2}

。上一条已经证明它在原点可微。但当

(x, y) \neq = (0, 0)

时

f_{x} = 2 x sin \frac{1}{r} - \frac{x}{r} cos \frac{1}{r};

沿

x

轴令

y = 0, x \to 0^{+}

，得

f_{x} = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}

。其中

2 x sin \frac{1}{x} \to 0

，而

cos \frac{1}{x}

当

x \to 0

时振荡而无极限，故

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f_{x}

不存在，

f_{x}

在原点不连续。可见

f

可微而

f_{x}, f_{y}

不连续，偏导数连续确是充分非必要条件。

4. 判别可微性的三个步骤，以及用一条路径否定可微★★ 必会

判别可微性可按下面三步进行。第一，求该点的两个偏导数，分界点处用定义计算；如果有一个偏导数不存在，那么函数不可微。第二，如果偏导数在该点连续，那么函数可微，这是最省事的一条路。第三，否则回到等价极限式

lim_{ρ \to 0} \frac{Δ z - f _{x} Δ x - f _{y} Δ y}{ρ} = 0

。能证明这个极限为

0

，函数就可微；要否定可微，只需找出一条路径（通常取

Δ y = k Δ x

），使该极限不为零或随

k

而改变。

举例说明

判别

f (x, y) = ∣ x y ∣

在原点是否可微。先求偏导数：

f_{x} (0, 0) = lim_{Δ x \to 0} \frac{∣Δ x \cdot 0∣}{Δ x} = 0

，同理

f_{y} (0, 0) = 0

；又由

∣ x y ∣ \leq \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} \to 0

知

f

在原点连续。代入极限式，得

\frac{Δ z - 0}{ρ} = \frac{∣Δ x Δ y ∣}{Δ x ^{2} + Δ y ^{2}}

。沿

Δ y = Δ x > 0

，它等于

\frac{Δ x}{2 Δ x} = \frac{1}{2} \neq = 0

。极限不为

0

，所以

f

在原点不可微。这又是一个连续且偏导数存在却不可微的例子，说明前面几条结论的逆命题都不成立。

5. 全微分的应用：近似计算与误差估计

当

∣Δ x ∣, ∣Δ y ∣

都很小时，有

f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) \approx f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y

，这是全微分最直接的应用。估计间接测量的误差时，用

d z = f_{x} d x + f_{y} d y

，各变量的误差按线性叠加，相对误差

\frac{Δ z}{z}

至多约为

\frac{f _{x}}{z} ∣Δ x ∣ + \frac{f _{y}}{z} ∣Δ y ∣

。

举例说明

近似计算

(1.04)^{2.02}

。取

f (x, y) = x^{y}

，基点为

(x_{0}, y_{0}) = (1, 2)

，

Δ x = 0.04, Δ y = 0.02

。由

f (1, 2) = 1

，

f_{x} = y x^{y - 1}

得

f_{x} (1, 2) = 2

；由

f_{y} = x^{y} ln x

得

f_{y} (1, 2) = 0

。于是

(1.04)^{2.02} \approx 1 + 2 \times 0.04 + 0 \times 0.02 = 1.08.

真值约为

1.0816

，误差来自被略去的

o (ρ)

，与线性近似的精度相符。

💡 小知识

热力学里，内能的微分

d U

是全微分，因为

U

是状态函数，只取决于始末状态；热量

δ Q

与功

δ W

却与路径有关，不是全微分，所以物理学家特意用

δ

而不是

d

来写它们。一个数学概念，就这样成了区分状态量与过程量的标尺。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求函数

z = x^{2} y + y^{2}

的全微分

d z

。难度 1

对可微函数有

d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y

。先求两个偏导：把

y

当常数得

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x y

；把

x

当常数得

\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} + 2 y

。所以

d z = 2 x y d x + (x^{2} + 2 y) d y

。（本题是初等函数，偏导连续，处处可微，公式可放心使用。）

例 2 求函数

z = e^{x y}

在点

(1, 0)

处的全微分。难度 1

先求偏导：

\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{x y}

，

\frac{\partial z}{\partial y} = x e^{x y}

，故一般地

d z = e^{x y} (y d x + x d y)

。代入点

(1, 0)

：

e^{x y} = e^{0} = 1

，于是

d z_{(1, 0)} = 1 \cdot (0 \cdot d x + 1 \cdot d y) = d y

。即该点全微分为

d z = d y

。

例 3 利用全微分做近似计算，估计

(1.04)^{2.02}

的近似值。难度 2

设

f (x, y) = x^{y}

，取基点

(x_{0}, y_{0}) = (1, 2)

，则

f (1, 2) = 1

，

Δ x = 0.04, Δ y = 0.02

。可微时有近似式

f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) \approx f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y

。求偏导：

f_{x} = y x^{y - 1} \Rightarrow f_{x} (1, 2) = 2 \cdot 1 = 2

；

f_{y} = x^{y} ln x \Rightarrow f_{y} (1, 2) = 1 \cdot ln 1 = 0

。所以

(1.04)^{2.02} \approx 1 + 2 \times 0.04 + 0 \times 0.02 = 1.08

。（真值约

1.081

，近似效果良好。）

例 4 讨论函数

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在原点

(0, 0)

处是否可微。难度 2

判可微，先看偏导是否存在。按定义

f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ x ^{2}}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{∣Δ x ∣}{Δ x}

。当

Δ x \to 0^{+}

时为

1

，

Δ x \to 0^{-}

时为

- 1

，左右极限不等，故

f_{x} (0, 0)

不存在。偏导数都不存在，函数当然不可微（可微必须先有偏导数存在）。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

设

f (u)

在区间

(0, + \infty)

内具有

3

阶连续导数，且存在可微函数

F (x, y)

使得

d F (x, y) = \frac{f ( x y )}{x ^{2} y} d x + \frac{f ^{''} ( x y )}{x y ^{2}} d y (x y > 0) .

（1）证明：

\frac{f ^{''} ( u )}{u} - \frac{f ( u )}{u} = C

，

C

为常数；

（2）设

f (1) = 1, f^{'} (1) = - 1, f^{''} (1) = 0

，求

f (u)

的表达式。

2024 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

设函数

f (u, v)

具有

2

阶连续偏导数，且

d f ∣_{(1, 1)} = 3 d u + 4 d v

。令

y = f (cos x, 1 + x^{2})

，则

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}_{x = 0} =

___.

2023 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

曲面

z = x + 2 y + ln (1 + x^{2} + y^{2})

在点

(0, 0, 0)

处的切平面方程为 ______.

2021 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x, y)

可微，且

f (x + 1, e^{x}) = x (x + 1)^{2}

，

f (x, x^{2}) = 2 x^{2} ln x

，则

d f (1, 1) =

（　　）

A $d x + d y .$
B $d x - d y .$
C $d y .$
D $- d y .$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = x^{3} + y^{3}

，则

d z =

____。

练习 2 · 选择题

设

z = sin (x y)

，则其全微分

d z =

（　）。

A $cos (x y) (d x + d y)$
B $cos (x y) (y d x + x d y)$
C $y cos (x y) d x$
D $cos (x y) d x + cos (x y) d y$

练习 3 · 选择题

关于二元函数在某点的性质，下列命题一定正确的是（　）。

A偏导数存在 $\Rightarrow$ 可微
B可微 $\Rightarrow$ 连续
C连续 $\Rightarrow$ 可微
D偏导数存在 $\Rightarrow$ 连续

练习 4 · 填空题

函数

z = e^{x y}

在点

(2, 1)

处的全微分

d z =

____。

练习 5 · 选择题

设二元函数

z = f (x, y)

满足

f (0, 0) = 0

，且

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{f ( x , y ) - 2 x + 3 y}{x ^{2} + y ^{2}} = 0,

则

d z_{(0, 0)} =

（　）。

A $2 d x - 3 d y$
B $2 d x + 3 d y$
C $- 2 d x + 3 d y$
D $f$ 在 $(0, 0)$ 处不可微

练习 6 · 填空题

设

z = z (x, y)

由方程

z^{3} - 3 x y z = 8

确定，则

d z_{(0, 1)} =

____。

练习 7 · 解答题

设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0), (x, y) = (0, 0) .

(1)

讨论

f (x, y)

在点

(0, 0)

处的连续性；

(2)

求

f_{x} (0, 0)

与

f_{y} (0, 0)

；

(3)

判断

f (x, y)

在点

(0, 0)

处是否可微，并说明理由。

2020 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微，

f (0, 0) = 0

，

n = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, - 1)_{(0, 0)}

，非零向量

α

与

n

垂直，则（　　）

A $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{∣ n \cdot ( x , y , f ( x , y )) ∣}{x ^{2} + y ^{2}}$ 存在.
B $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{∣ n \times ( x , y , f ( x , y )) ∣}{x ^{2} + y ^{2}}$ 存在.
C $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{∣ α \cdot ( x , y , f ( x , y )) ∣}{x ^{2} + y ^{2}}$ 存在.
D $(x, y) \to (0, 0) lim \frac{∣ α \times ( x , y , f ( x , y )) ∣}{x ^{2} + y ^{2}}$ 存在.

2012 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 4 分

如果函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处连续，那么下列命题正确的是（　　）

A若极限 $x \to 0 y \to 0 lim \frac{f ( x , y )}{∣ x ∣ + ∣ y ∣}$ 存在，则 $f (x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微.
B若极限 $x \to 0 y \to 0 lim \frac{f ( x , y )}{x ^{2} + y ^{2}}$ 存在，则 $f (x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微.
C若 $f (x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微，则极限 $x \to 0 y \to 0 lim \frac{f ( x , y )}{∣ x ∣ + ∣ y ∣}$ 存在.
D若 $f (x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处可微，则极限 $x \to 0 y \to 0 lim \frac{f ( x , y )}{x ^{2} + y ^{2}}$ 存在.

全微分

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 可微的实质是全增量含 o(ρ)：等价极限式，以及分母取 ρ 的理由★★ 必会

2. 可微必连续、可微必有偏导数：两条必要条件的证明★ 要懂

3. 偏导数连续是可微的充分条件，但不是必要条件★ 要懂

4. 判别可微性的三个步骤，以及用一条路径否定可微★★ 必会

5. 全微分的应用：近似计算与误差估计

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 可微的实质是全增量含 $o (ρ)$ ：等价极限式，以及分母取 $ρ$ 的理由★★ 必会