全微分

高等数学 · 多元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 全微分的定义：误差要比 $ρ$ 高阶

一元的微分说的是：增量能拆成「线性部分

+

更小的东西」。

Δ y = f^{'} (x_{0}) Δ x + o (Δ x) .

二元照搬这句话，只是让两个自变量同时动。全增量

Δ z = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0}) .

定义. 若存在与

Δ x, Δ y

无关的常数

A, B

，使

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ), ρ = Δ x^{2} + Δ y^{2},

就说

f

在该点可微，并把

A Δ x + B Δ y

叫全微分，记

d z = A d x + B d y .

三处要留神：

A, B

只依赖那个点，不随增量变；误差要比

ρ

高阶，
不是比

Δ x

高阶；两个增量是一起趋于零的。

2. 可微 $\Rightarrow$ 偏导存在，而且 $A = f_{x}$ 、 $B = f_{y}$

定理. 若

f

在点

(x_{0}, y_{0})

可微，则两个偏导数都存在，且

d z = f_{x} d x + f_{y} d y .

这条定理把定义里那对「存不存在的常数」钉死成了两个偏导数。

于是求全微分成了一件机械的事：求

f_{x}

、求

f_{y}

、拼起来。考场上九成的全微分题就这三步。

反过来不成立：两个偏导都存在，照样可以不可微（下一条有反例）。
这也是为什么全微分是个新概念，而不是偏导数的别名。

请你先证

照着刚才那条证明，自己写一遍平行的。写完再展开参考写法对照。

上面那条证明的手法是：在定义式 $Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ)$ 上，
让增量按你需要的方式趋于零。要偏导数，就只放一个增量动、另一个钉死。设

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

可微，证明

f

在该点连续。

也就是要证

ρ \to 0 lim Δ z = 0.

照着刚才那条证明的样子，自己写一遍：这一次该让增量怎么动？

3. 四件事的关系网：一元是一条链，二元是一张网

一元只有一条链：可导

⟺

可微

\Rightarrow

连续。

二元是一张网，记住三个单向箭头就够：

偏导连续 \Rightarrow 可微 \Rightarrow {连续, 偏导存在 .

三个箭头反过来全不成立：

偏导存在

⇏

可微（下面的例子）；连续

⇏

可微（

x^{2} + y^{2}

在原点）；
可微

⇏

偏导连续。

「偏导连续」是充分条件，不是必要条件，这一点在判断题里年年考。

4. 用全微分做近似：哪个变量更要紧，偏导说了算

可微的意思是「增量

\approx

线性部分」，把它当等式用就是近似公式：

Δ z \approx f_{x} (x_{0}, y_{0}) Δ x + f_{y} (x_{0}, y_{0}) Δ y .

于是

f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) \approx f (x_{0}, y_{0}) + d z .

用它算

(1.02)^{2.99}

、

1.0 3^{2} + 1.9 8^{2}

这类「在整数点附近挪一点点」的数。

选点的规矩只有一条： $(x_{0}, y_{0})$ 要让 $f$ 、 $f_{x}$ 、 $f_{y}$ 都算得出来，
增量则越小越好。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求全微分：两个偏导，拼起来

第一步：先确认不必验可微——初等函数在定义区域内，偏导连续，直接算。

第二步：求

f_{x}

（

y

当常数）。

第三步：求

f_{y}

（

x

当常数）。

第四步：写成

d z = f_{x} d x + f_{y} d y

。
两项都要有，

d x

、

d y

不要写成

Δ x

、

Δ y

。

例例. 求

z = x^{2} ln (x y)

的全微分。

第一步，它是初等函数，在

x y > 0

的区域内两个偏导都连续，可以直接算，不必去验可微。

第二步，对

x

求（

y

当常数），用乘积法则：

z_{x} = 2 x ln (x y) + x^{2} \cdot \frac{y}{x y} = 2 x ln (x y) + x .

里面

ln (x y)

对

x

的导数是

\frac{y}{x y} = \frac{1}{x}

——链式带出来的

y

自己约掉了。

第三步，对

y

求（

x

当常数）：

z_{y} = x^{2} \cdot \frac{x}{x y} = \frac{x ^{2}}{y}

。

第四步，拼起来：

d z = [2 x ln (x y) + x] d x + \frac{x ^{2}}{y} d y .

两项都要有，末尾是

d x

、

d y

，不是

Δ x

、

Δ y

。

判断分界点处是否可微

第一步：先查连续——不连续的话一句话否掉（可微

\Rightarrow

连续）。

第二步：按定义算两个偏导

f_{x} (P_{0})

、

f_{y} (P_{0})

；有一个不存在，也就不可微了。

第三步：作差

Δ z - f_{x} Δ x - f_{y} Δ y

，再除以

ρ

。

第四步：这个比值的极限为

0

则可微；不为

0

或不存在则不可微（找一条路否掉即可）。

例例. 判断

f (x, y) = ∣ x y ∣

在

(0, 0)

处是否可微。

第一步，查连续：

∣ x y ∣ \to 0 = f (0, 0)

，连续 ✓ 否不掉。

第二步，按定义算偏导：

f (Δ x, 0) = 0

，故

f_{x} (0, 0) = 0

；同理

f_{y} (0, 0) = 0

。两个都存在，还是否不掉。

第三步，作差再除以

ρ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}

：

\frac{Δ z - f _{x} Δ x - f _{y} Δ y}{ρ} = \frac{∣Δ x Δ y ∣}{( Δ x ) ^{2} + ( Δ y ) ^{2}} .

第四步，找一条路否掉。沿

Δ y = Δ x > 0

：

\frac{Δ x}{2 Δ x} = \frac{1}{2} \neq = 0,

极限不是

0

，所以不可微。

前两步全过了它仍然不可微——偏导存在远不等于可微，第三步那个比值才是判据。

用全微分做近似计算

第一步：把要算的数看成某个

f (x, y)

在一点的值。

第二步：选

(x_{0}, y_{0})

——取整、取

1

、取

0

这类好算的点，并定出两个增量。

第三步：算

f (x_{0}, y_{0})

与两个偏导在该点的值。

第四步：

f \approx f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} Δ x + f_{y} Δ y

，代数算完。

例例. 求

1.0 4^{2.02}

的近似值。

第一步，看成

f (x, y) = x^{y}

在点

(1.04, 2.02)

处的值。

第二步，取好算的点

(x_{0}, y_{0}) = (1, 2)

，增量

Δ x = 0.04

、

Δ y = 0.02

。

第三步，算三个数：

f (1, 2) = 1

；

f_{x} = y x^{y - 1}

在该点为

2

；

f_{y} = x^{y} ln x

在该点为

1 \cdot ln 1 = 0

。

第四步，代公式：

1.0 4^{2.02} \approx 1 + 2 \times 0.04 + 0 \times 0.02 = 1.08.

（真值约

1.0817

。）

f_{y}

在这一点恰好是

0

，说明指数上那

0.02

的变动几乎不起作用——这不是巧合，是

ln 1 = 0

。选点选得好，公式里就少算一项。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

把「两个偏导存在」当成可微

这是二元独有的断裂处：偏导存在只管住两条线，可微管的是整片邻域。

反例就是那个

\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

：原点处两个偏导都是

0

，却连续都不连续。

动笔时的症状：题目问「是否可微」，答卷上求了两个偏导就写「故可微」。

定义式里的 $ρ$ 写成 $Δ x$ 或 $Δ x + Δ y$

要求的是误差比距离

ρ = Δ x^{2} + Δ y^{2}

高阶。

换成

Δ x

，沿

y

轴方向的走法就漏了；换成

Δ x + Δ y

，
两个增量一正一负时它能等于

0

，而点明明挪了。

验可微的那一步分母上写错，后面算出来的极限全无意义。

验可微时忘了减掉线性主部

要验的是

ρ \to 0 lim \frac{Δ z - f _{x} Δ x - f _{y} Δ y}{ρ} = 0,

不是

Δ z \to 0

——后者只是连续。

这两件事差着一整个概念：连续只要增量趋于零，可微还要求「趋于零的方式像个线性函数」。

把「偏导连续 $\Rightarrow$ 可微」反过来用

这条箭头是充分条件，倒过来不成立：可微推不出偏导连续。

所以「因为它可微，所以偏导连续」是错的；反过来「偏导不连续，所以不可微」也是错的。

判断题里这两个方向轮流出现，记的时候就把箭头画上，别只记住两个词。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 定义与记号

练 1

全微分定义

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ)

中的

ρ

是（）。

A $Δ x$
B $Δ x + Δ y$
C $Δ x^{2} + Δ y^{2}$
D $∣Δ x ∣ + ∣Δ y ∣$

练 2

设

z = x + 2 y

，则

d z =

________。

练 3

设

z = x^{2} + y^{2}

，则

d z =

________。

练 4

若

f

在点

P

可微，则在该点一定成立的是（）。

A两个偏导数连续
B二阶偏导数存在
C $f$ 取到极值
D两个偏导数存在

第二组 · 关系网

练 5

下列推理正确的是（）。

A两个偏导存在 $\Rightarrow$ 可微
B偏导在该点邻域内连续 $\Rightarrow$ 可微
C连续 $\Rightarrow$ 可微
D可微 $\Rightarrow$ 偏导连续

练 6

设

z = e^{x y}

，则

d z =

________。

练 7

设

f (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

（

(x, y) \neq = (0, 0)

），

f (0, 0) = 0

，则

f

在原点（）。

A可微
B两个偏导存在，但不可微
C两个偏导都不存在
D可微，但偏导不连续

练 8

设

z = ln (x + y^{2})

，则

d z =

________。

第三组 · 验可微与近似

练 9

用全微分求

(1.02)^{2.99}

的近似值（保留两位小数）：________。

练 10

设

f

在

(0, 0)

可微，

f (0, 0) = 0

，

f_{x} (0, 0) = 1

，

f_{y} (0, 0) = 2

，则

Δ z

的线性主部为（）。

A $Δ x + 2Δ y$
B $2Δ x + Δ y$
C $3 ρ$
D $0$

练 11

设

z = x^{2} y

，在点

(1, 1)

处取

Δ x = 0.1

、

Δ y = - 0.1

，则

d z =

________。

练 12

要按定义验证

f

在

P_{0}

可微，应当验（）。

A $Δ z \to 0$
B两个偏导数存在
C $f$ 在 $P_{0}$ 连续
D $Δ z - f_{x} Δ x - f_{y} Δ y$ 是 $ρ$ 的高阶无穷小

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

全微分

先打基础

1. 全微分的定义：误差要比 ρ 高阶

2. 可微 ⇒ 偏导存在，而且 A=fx​、B=fy​

请你先证

3. 四件事的关系网：一元是一条链，二元是一张网

4. 用全微分做近似：哪个变量更要紧，偏导说了算

常用结构

求全微分：两个偏导，拼起来

判断分界点处是否可微

用全微分做近似计算

基础易错

把「两个偏导存在」当成可微

定义式里的 ρ 写成 Δx 或 Δx+Δy

验可微时忘了减掉线性主部

把「偏导连续 ⇒ 可微」反过来用

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

1. 全微分的定义：误差要比 $ρ$ 高阶

2. 可微 $\Rightarrow$ 偏导存在，而且 $A = f_{x}$ 、 $B = f_{y}$

定义式里的 $ρ$ 写成 $Δ x$ 或 $Δ x + Δ y$

把「偏导连续 $\Rightarrow$ 可微」反过来用