偏导数

高等数学 · 多元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 定义：把另一个变量钉死，退回一元导数

f_{x} (x_{0}, y_{0}) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x , y _{0} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{Δ x} .

看清这个式子里 $y$ 的遭遇：从头到尾它都钉在

y_{0}

上没动过。
所以偏导数不是什么新东西——它就是一元函数

f (x, y_{0})

在

x_{0}

处的导数。

记号有好几套，考场上都见得到：

f_{x} (x, y), \frac{\partial z}{\partial x}, z_{x}^{'} .

几何上：用平面

y = y_{0}

去截曲面

z = f (x, y)

，截出一条曲线；

f_{x} (x_{0}, y_{0})

就是这条曲线在那一点的切线斜率。

对

y

的偏导同理，把

x

钉死，让

y

动。

2. 求偏导就是一元求导：对谁求导，其余全当常数

动笔时只有一句口令：对 $x$ 求导，就把 $y$ 看成 $3$ （看成任何一个具体数字都行）。

看成数字之后，一元的那套法则原样可用：四则、复合、幂函数、指数函数。

要留神的只有一种形状：两个变量一个在底、一个在指数。

z = x^{y} (x > 0) .

对

x

求导时，

y

是常数指数，这是幂函数；
对

y

求导时，

x

是常数底，这是指数函数。两条法则长得完全不一样。

题面上

x

与

y

是对称出现的，法则却不对称——所以先在旁边写一句
「此刻

y

是常数」，再下笔。

3. 分界点上：必须按定义算，公式在那儿不成立

分段函数在分界点（多半是原点）的偏导数，不能拿「另一支算出来的公式」代点。
那个公式是在原点之外推出来的，在原点根本没有发言权。

在那一点只能回到定义：

f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x} .

动笔顺序要对：先把 $y = 0$ 代进分段函数，看 $f (Δ x, 0)$ 落在哪一支，再算这个一元极限。

这条和一元的「分段点处按定义求导」是同一件事，只是多了一步「先钉死另一个变量」。

4. 高阶偏导：四个二阶，混合的那两个通常相等

一阶偏导还是

x, y

的函数，可以再求一次，于是有四个二阶偏导：

f_{xx}, f_{x y}, f_{y x}, f_{y y} .

下标从左往右就是求导的先后：

f_{x y}

是先对

x

、再对

y

。
另一套记号同理：

f_{x y} = \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

定理. 若

f_{x y}

与

f_{y x}

在区域内连续，则

f_{x y} = f_{y x} .

考研里碰到的初等函数都满足这个条件，所以混合偏导与顺序无关基本可以当成常态。

这给了你一个免费的对拍：两个顺序各算一次，结果不等就是算错了，不是定理失效。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求偏导：先写一句「此刻谁是常数」

第一步：在式子旁边写下「对

x

求导，

y

是常数」。

第二步：把那个常数当成数字看一遍题——认出这是幂函数、指数函数还是复合。

第三步：按一元法则求导，含常数的因子原样抄下来。

第四步：要代点就最后代。两个偏导都要时，第一步重写一遍，别顺着上一题的惯性。

例例. 求

z = x^{y}

（

x > 0

）的两个偏导。

第一步，先写一句：对 $x$ 求导， $y$ 是常数。

第二步，把

y

当数字看一遍——底是变量、指数是常数，这是幂函数。

第三步，按幂函数法则：

\frac{\partial z}{\partial x} = y x^{y - 1}

。

第一步（重写）：对 $y$ 求导， $x$ 是常数。这回底是常数、指数是变量，这是指数函数，法则完全不同：

\frac{\partial z}{\partial y} = x^{y} ln x .

同一个

x^{y}

，两次求导走的是两条路。那句话每次都得重写——顺着上一问的惯性往下走，就会把对

y

的导数也写成

y x^{y - 1}

。

分界点处求偏导：按定义写一元极限

第一步：把另一个变量取成那一点的值，代进分段函数（不是代进公式）。

第二步：看

f (Δ x, 0)

落在哪一支上，写出它的表达式。

第三步：写差商

\frac{f ( Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x}

，求

Δ x \to 0

的极限。

第四步：极限不存在就写「

f_{x} (0, 0)

不存在」——这也是一个合法答案。

例例. 设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

，求

f_{x} (0, 0)

。

第一步，另一个变量取成那一点的值：

y = 0

。

第二步，看

f (Δ x, 0)

落在哪一支。

Δ x \neq = 0

时

(Δ x, 0) \neq = (0, 0)

，走第一支：

f (Δ x, 0) = \frac{Δ x \cdot 0}{( Δ x ) ^{2} + 0} = 0.

第三步，写差商求极限：

Δ x \to 0 lim \frac{f ( Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{0 - 0}{Δ x} = 0,

所以

f_{x} (0, 0) = 0

；同理

f_{y} (0, 0) = 0

。

第四步，两个偏导都存在，可这个

f

在原点并不连续（上一条已证它的极限不存在）。偏导存在推不出连续——这是多元与一元最大的分别。

千万别把公式

\frac{\partial}{\partial x} \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

算出来再代

(0, 0)

：那个公式只在原点之外成立。

求二阶偏导：一阶结果再求一次，顺手对拍

第一步：先把两个一阶偏导求出来、写清楚。

第二步：对每个一阶结果再求两次，共四个。

第三步：

f_{x y}

与

f_{y x}

比一比，不等就回头找错。

第四步：题目只要混合偏导时，挑求导后项数少的那个顺序走。

例例. 求

z = x^{3} y^{2} + e^{x y}

的四个二阶偏导。

第一步，先把一阶写清楚：

z_{x} = 3 x^{2} y^{2} + y e^{x y}, z_{y} = 2 x^{3} y + x e^{x y} .

第二步，对每个一阶结果再求两次。

z_{xx} = 6 x y^{2} + y^{2} e^{x y}

；

z_{x y} = 6 x^{2} y + e^{x y} + x y e^{x y}

（对

y

求

y e^{x y}

要用乘积法则，两项都要）；

z_{y x} = 6 x^{2} y + e^{x y} + x y e^{x y}

；

z_{y y} = 2 x^{3} + x^{2} e^{x y}

。

第三步，

z_{x y} = z_{y x}

✓ 对上了。不等就一定有一处算错，这是免费的验算，别跳过。

第四步，若只要混合偏导，挑求导后项数少的那条路走——这里两条差不多，但遇到一边是多项式、一边带

e

的，先对多项式那个变量求导能少抄一堆。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

对 $x$ 求导时，把 $y$ 也当成 $x$ 的函数

偏导数的定义已经把

y

钉死了，它不随 $x$ 变，所以不该出现

y^{'}

这种东西。

症状是算

\frac{\partial}{\partial x} (x y)

时写成

y + x y^{'}

。

y

真随

x

变的情形确实有（隐函数、复合函数），但那时求的已经不是偏导数了——
记号会换成

\frac{d z}{d x}

或带上中间变量。

$x^{y}$ 对两个变量用同一条法则

对

x

是幂函数（

y x^{y - 1}

），对

y

是指数函数（

x^{y} ln x

）。

最常见的错是对

y

求导也把指数搬下来，写成

y x^{y - 1}

或

x^{y - 1}

。

防它的办法就是那句口令：动笔前写下「此刻

y

是常数」还是「此刻

x

是常数」。

分界点上直接把公式代点

f_{x} = \frac{y ( y ^{2} - x ^{2} )}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

这类公式是在原点之外推出来的，
把

(0, 0)

代进去只会得到

\frac{0}{0}

或者一个毫无根据的数。

这一点在那里有没有偏导，只有定义说得清。

动笔的信号：题目给的是分段函数、问的又恰好是分界点——这两样同时出现就按定义写。

把一元的「可导 $\Rightarrow$ 连续」搬过来

二元这里两个偏导存在推不出连续，反过来连续也推不出偏导存在（如

x^{2} + y^{2}

在原点）。

两者互不蕴含，这是二元特有的局面。

考场上这条几乎只以判断题出现，而它的四个选项正是上面这四种组合。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 对谁求导

练 1

设

z = x^{2} y + 3 y

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

________。

练 2

求

\frac{\partial z}{\partial x}

时，

y

应当看成（）。

A常数
B $x$ 的函数
C另一个自变量，也要一起求导
D零

练 3

设

z = x y^{2}

，则

\frac{\partial z}{\partial y} =

________。

练 4

下列算法能得到

f_{x} (1, 2)

的是（）。

A把 $x = 1$ 代入得 $f (1, y)$ ，再对 $y$ 求导并代 $y = 2$
B把 $(1, 2)$ 代入 $f$ 得一个数，再求导
C把 $y = 2$ 代入得 $f (x, 2)$ ，再对 $x$ 求导并代 $x = 1$
D先求 $f_{y}$ ，再代入 $(1, 2)$

第二组 · 分界点与关系网

练 5

设

z = x^{y}

（

x > 0

），则

\frac{\partial z}{\partial y} =

________。

练 6

设

f (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}

（

(x, y) \neq = (0, 0)

），

f (0, 0) = 0

，则

f_{x} (0, 0) =

________。

练 7

关于二元函数在一点处「两个偏导存在」与「连续」，正确的是（）。

A偏导存在 $\Rightarrow$ 连续
B连续 $\Rightarrow$ 偏导存在
C两者等价
D两者互不蕴含

练 8

设

z = e^{x y}

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

________。

第三组 · 高阶与综合

练 9

设

z = x^{2} y^{3}

，则

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} =

________。

练 10

若

f_{x y}

与

f_{y x}

在区域

D

内连续，则在

D

内必有（）。

A $f_{xx} = f_{y y}$
B $f_{x y} = f_{y x}$
C $f_{x y} = 0$
D $f$ 在 $D$ 内有极值

练 11

设

z = ln (x^{2} + y^{2})

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

________。

练 12

设

f (x, y) = ∣ x ∣ + y

，则在原点处（）。

A两个偏导都存在
B $f_{x} (0, 0)$ 存在， $f_{y} (0, 0)$ 不存在
C $f_{y} (0, 0)$ 存在， $f_{x} (0, 0)$ 不存在
D两个偏导都不存在

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

偏导数

先打基础

1. 定义：把另一个变量钉死，退回一元导数

2. 求偏导就是一元求导：对谁求导，其余全当常数

3. 分界点上：必须按定义算，公式在那儿不成立

4. 高阶偏导：四个二阶，混合的那两个通常相等

常用结构

求偏导：先写一句「此刻谁是常数」

分界点处求偏导：按定义写一元极限

求二阶偏导：一阶结果再求一次，顺手对拍

基础易错

对 x 求导时，把 y 也当成 x 的函数

xy 对两个变量用同一条法则

分界点上直接把公式代点

把一元的「可导 ⇒ 连续」搬过来

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

对 $x$ 求导时，把 $y$ 也当成 $x$ 的函数

$x^{y}$ 对两个变量用同一条法则

把一元的「可导 $\Rightarrow$ 连续」搬过来