偏导数

§5.2 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.94 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

7.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）多元函数的极限与连续导数与微分的概念③ 掌握后可解锁全微分多元复合函数求导法则方向导数与梯度多元函数的无条件极值偏导数几何应用（切平面、法线）第一类曲面积分（对面积）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 求偏导数的三个要点：视其余变量为常量、辨清函数类型、分界点回到定义★★ 必会

第一，求

f_{x}

时把其余变量都看作常量，按一元函数的求导法则计算，求

f_{y}

时同理。第二，要辨清函数的类型。例如

x^{y} (x > 0)

的底数与指数都含有变量，对

x

求导时它是幂函数，

\frac{\partial}{\partial x} = y x^{y - 1}

；对

y

求导时它是指数函数，

\frac{\partial}{\partial y} = x^{y} ln x

。关键在于看清哪个是底数、哪个是指数。第三，分段函数在分界点（通常是原点）处不能套用公式，必须用定义

f_{x} (x_{0}, y_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x _{0} + Δ x , y _{0} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{Δ x}

来计算。这一类题目考试中几乎每年都有。

举例说明

设

f (x, y) = {(x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

，求

f_{x} (0, 0)

。原点是分界点，应回到定义计算：

f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( Δ x , 0 ) - 0}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{Δ x ^{2} sin \frac{1}{Δ x ^{2}}}{Δ x} = Δ x \to 0 lim Δ x sin \frac{1}{Δ x ^{2}} = 0

最后一步用的是有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。如果在这里对表达式直接套用公式，就会出现含

cos \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}

的振荡项，从而误判偏导数不存在。

2. 偏导数给出的信息最弱：即使一切方向导数都存在，也推不出连续★★ 必会

一元函数中可导必连续，这个结论对多元函数不再成立。偏导数

f_{x}, f_{y}

只刻画函数沿两条坐标轴方向的变化，管不住其余方向，因此偏导数存在既推不出连续，也推不出可微。更值得注意的是，即使把两条坐标轴加强为一切方向，也就是所有方向导数都存在，仍不能保证连续，当然也不能保证可微。原因在于逐个方向所得到的都是一维的信息，拼不出二维邻域内的整体控制。

举例说明

设

f (x, y) = \frac{x ^{2} y}{x ^{4} + y ^{2}} (x^{2} + y^{2} \neq = 0), f (0, 0) = 0

。沿任一方向

(cos α, sin α)

，有

\frac{f ( t cos α , t sin α )}{t} = \frac{t cos ^{2} α sin α}{t ^{2} cos ^{4} α + sin ^{2} α} \to \frac{cos ^{2} α}{sin α} (sin α \neq = 0),

沿

x

轴（

sin α = 0

）时为

0

，可见一切方向导数都存在。但沿抛物线

y = x^{2}

有

f = \frac{x ^{2} \cdot x ^{2}}{x ^{4} + x ^{4}} = \frac{1}{2} \neq \to 0 = f (0, 0)

，所以

f

在原点不连续。方向导数全部存在而函数不连续，可见偏导数以至方向导数都不足以保证函数的整体性质。

3. 混合偏导数未必相等：Clairaut 定理中的连续性条件不可省去★ 要懂

求导次序可以交换，即

f_{x y} = f_{y x}

，并不是无条件成立的，只有当

f_{x y}, f_{y x}

在该点连续时才成立，这就是 Clairaut 定理（又称 Schwarz 定理）。去掉连续性条件，两者可以不相等。记号约定为

f_{x y} = (f_{x})_{y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}

，即先对

x

求导，再对

y

求导。下面的经典反例在原点处

f_{x y} (0, 0) \neq = f_{y x} (0, 0)

，说明对分段函数在分界点处不能随意交换求导次序。

证明 / 推导

取

f (x, y) = \frac{x y ( x ^{2} - y ^{2} )}{x ^{2} + y ^{2}} (x^{2} + y^{2} \neq = 0), f (0, 0) = 0

。先求一阶偏导数在坐标轴上的表达式。对固定的

y

，

f_{x} (0, y) = h \to 0 lim \frac{f ( h , y ) - f ( 0 , y )}{h} = h \to 0 lim y \cdot \frac{h ^{2} - y ^{2}}{h ^{2} + y ^{2}} = y \cdot \frac{- y ^{2}}{y ^{2}} = - y,

故

f_{x} (0, y) = - y

。同理

f_{y} (x, 0) = lim_{k \to 0} x \cdot \frac{x ^{2} - k ^{2}}{x ^{2} + k ^{2}} = x

。再对它们各求一次偏导数：

f_{x y} (0, 0) f_{y x} (0, 0) = \frac{\partial}{\partial y} [f_{x} (0, y)]_{y = 0} = \frac{d}{d y} (- y) = - 1 = \frac{\partial}{\partial x} [f_{y} (x, 0)]_{x = 0} = \frac{d}{d x} (x) = 1.

于是

f_{x y} (0, 0) = - 1 \neq = 1 = f_{y x} (0, 0)

。原因在于这个函数的二阶混合偏导数在原点不连续，不满足 Clairaut 定理的条件。

■

4. 混合偏导数相等的两个用处：选择求导次序，判别全微分★★ 必会

当

f

有二阶连续偏导数（即

f \in C^{2}

）时

f_{x y} = f_{y x}

。这个对称性有两个用处。一是可以选择求导次序，求

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}

时挑先对哪个变量求导更简便的一侧。二是它给出了

P d x + Q d y

为某个函数的全微分（即恰当式，亦即势函数存在）的相容条件

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

。这个条件在第 6 章的格林公式和第 8 章的恰当方程中反复出现，其实质就是

u_{x y} = u_{y x}

。

证明 / 推导

必要性. 设在区域

D

内

P d x + Q d y = d u

，即

u_{x} = P

，

u_{y} = Q

。若

P, Q

在

D

内有连续的一阶偏导数，则

u

有连续的二阶偏导数。由混合偏导数的对称性得

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial y \partial x} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} .

所以

P_{y} = Q_{x}

是全微分的必要条件。

充分性（先在矩形区域上）. 反过来，设

D

是矩形区域。又设

P, Q

在其中有连续的一阶偏导数，且

P_{y} = Q_{x}

。取定

(x_{0}, y_{0}) \in D

，作函数

u (x, y) = \int_{x_{0}}^{x} P (t, y_{0}) d t + \int_{y_{0}}^{y} Q (x, s) d s .

先对

y

求偏导数。第一个积分与

y

无关，第二个是变上限积分，故

u_{y} = Q (x, y)

。再对

x

求偏导数。第二个积分中

x

是参变量，因

Q_{x}

连续，可以在积分号下求导，于是

u_{x} = P (x, y_{0}) + \int_{y_{0}}^{y} Q_{x} (x, s) d s = P (x, y_{0}) + \int_{y_{0}}^{y} P_{y} (x, s) d s .

末一个积分的被积函数是

P (x, s)

对

s

的偏导数，由牛顿-莱布尼茨公式得

\int_{y_{0}}^{y} P_{y} (x, s) d s = P (x, y) - P (x, y_{0})

。代入即得

u_{x} = P (x, y)

。因此

d u = P d x + Q d y

。

区域的形状不能忽略. 上面的构造走的是一条折线，先由

(x_{0}, y_{0})

水平到

(x, y_{0})

，再竖直到

(x, y)

。这条折线必须整个落在

D

内，矩形区域正好保证这一点。对一般的区域，充分性要求

D

是单连通的。如果

D

上有洞，

P_{y} = Q_{x}

就不再够用。例如在去心平面

x^{2} + y^{2} > 0

上取

P Q = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

容易验证

P_{y} = Q_{x} = \frac{y ^{2} - x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

，但动点绕原点一周后极角增加

2 π

，故不存在单值函数

u

使

d u = P d x + Q d y

。

这就证明了

P_{y} = Q_{x}

是全微分的必要条件，并且在矩形区域上也是充分条件。

■

举例说明

求

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}

，其中

f (x, y) = e^{x^{2}} + x sin y + y^{3}

。先对

y

后对

x

：

f_{y} = x cos y + 3 y^{2}

，

f_{y x} = cos y

。先对

x

后对

y

：

f_{x} = 2 x e^{x^{2}} + sin y

，

f_{x y} = cos y

。两种次序所得结果相同，因为

f \in C^{2}

；而先求

f_{y}

时

e^{x^{2}}

直接消去，计算明显简便。反过来，给定

P = 2 x y, Q = x^{2} + cos y

，由

P_{y} = 2 x = Q_{x}

可以判定

P d x + Q d y

是某个

u (x, y)

的全微分，这里

u = x^{2} y + sin y + C

。

💡 小知识

偏导数专用的花体符号

\partial

由勒让德引入，经雅可比推广之后才通行开来，中文读作偏，英文读作 round d。它特意与一元微分所用的

d

区分开，为的就是时刻提醒你：此处还有别的变量正被摁住当常数。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 设

z = x^{3} + 2 x^{2} y - y^{3}

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

。难度 1

求

\frac{\partial z}{\partial x}

时把

y

看成常数，对

x

求导：

\frac{\partial z}{\partial x} = 3 x^{2} + 4 x y

（其中

- y^{3}

是常数，导数为

0

）。求

\frac{\partial z}{\partial y}

时把

x

看成常数，对

y

求导：

\frac{\partial z}{\partial y} = 2 x^{2} - 3 y^{2}

（其中

x^{3}

是常数）。核心口诀：对谁求偏导，就把别的变量冻结成常数。

例 2 设

z = x^{2} y + sin y

，求

\frac{\partial z}{\partial x}

与

\frac{\partial z}{\partial y}

，并求它们在点

(1, π)

处的值。难度 1

对

x

求偏导（

y

当常数）：

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x y

；对

y

求偏导（

x

当常数）：

\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} + cos y

。代入点

(1, π)

：

\frac{\partial z}{\partial x}_{(1, π)} = 2 \cdot 1 \cdot π = 2 π

，

\frac{\partial z}{\partial y}_{(1, π)} = 1^{2} + cos π = 1 + (- 1) = 0

。先求偏导表达式，再代点，不要代早了。

例 3 设

z = x^{3} y^{2}

，求四个二阶偏导数

z_{xx}, z_{y y}, z_{x y}, z_{y x}

，并验证

z_{x y} = z_{y x}

。难度 2

先求一阶偏导：

z_{x} = 3 x^{2} y^{2}, z_{y} = 2 x^{3} y

。再各求一次：

z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (3 x^{2} y^{2}) = 6 x y^{2}

；

z_{y y} = \frac{\partial}{\partial y} (2 x^{3} y) = 2 x^{3}

；

z_{x y} = \frac{\partial}{\partial y} (z_{x}) = \frac{\partial}{\partial y} (3 x^{2} y^{2}) = 6 x^{2} y

；

z_{y x} = \frac{\partial}{\partial x} (z_{y}) = \frac{\partial}{\partial x} (2 x^{3} y) = 6 x^{2} y

。可见

z_{x y} = z_{y x} = 6 x^{2} y

。这是因为二者都连续，由混合偏导相等定理，求导次序可交换。

例 4 设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0), (x, y) = (0, 0),

求

f_{x} (0, 0)

与

f_{y} (0, 0)

。难度 2

原点是分段函数的分界点，不能套公式，必须回到偏导数定义。

f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x}

。而

f (Δ x, 0) = \frac{Δ x \cdot 0}{Δ x ^{2}} = 0

，故

f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{0 - 0}{Δ x} = 0

。同理

f (0, Δ y) = 0

，得

f_{y} (0, 0) = 0

。所以两个偏导都存在且都为

0

。（注意：偏导存在并不能保证

f

在原点连续或可微。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

设函数

z = z (x, y)

由方程

x - a z = e^{y + a z}

（

a

为非零常数）确定，则（　　）

A $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$
B $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a}$
C $\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{1}{a}$
D $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{1}{a}$

2026 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

求函数

f (x, y) = (2 x^{2} - y^{2}) e^{x}

的极值。

2023 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

求函数

f (x, y) = (y - x^{2}) (y - x^{3})

的极值。

2022 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设函数

z = x y f (\frac{y}{x})

，其中

f (u)

可导。若

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = y^{2} (ln y - ln x)

，则（　　）

A $f (1) = \frac{1}{2}, f^{'} (1) = 0$ .
B $f (1) = 0, f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ .
C $f (1) = \frac{1}{2}, f^{'} (1) = 1$ .
D $f (1) = 0, f^{'} (1) = 1$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

设

z = x^{2} y^{3}

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

____。

练习 2 · 选择题

设

z = sin (x^{2} y)

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

（　）。

A $cos (x^{2} y)$
B $2 x y cos (x^{2} y)$
C $x^{2} cos (x^{2} y)$
D $2 x cos (x^{2} y)$

练习 3 · 填空题

设

z = x^{y} (x > 0)

，则

\frac{\partial z}{\partial y} =

____。

练习 4 · 选择题

若

f (x, y)

在点

P_{0}

处两个偏导数

f_{x} (P_{0}), f_{y} (P_{0})

都存在，则下列结论一定成立的是（　）。

A $f$ 在 $P_{0}$ 处连续
B $f$ 在 $P_{0}$ 处可微
C $f$ 在 $P_{0}$ 处未必连续
D $f$ 在 $P_{0}$ 处沿任意方向的方向导数都存在

练习 5 · 选择题

设二元函数

f (x, y)

在点

P_{0}

处两个偏导数

f_{x} (P_{0}), f_{y} (P_{0})

都存在。则（　　）。

A $f$ 在 $P_{0}$ 处必连续
B $f$ 在 $P_{0}$ 处必可微
C $f$ 在 $P_{0}$ 处沿任意方向的方向导数都存在
D以上三条都不一定成立

练习 6 · 填空题

设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0), (x, y) = (0, 0),

则

f_{x} (0, 0) =

____。

练习 7 · 解答题

设

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}, 0, (x, y) \neq = (0, 0), (x, y) = (0, 0) .

讨论

f

在原点处的：（1）连续性；（2）偏导数是否存在；（3）是否可微。

2020 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设函数

f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{x t^{2}} d t

，则

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}_{(1, 1)} =

______.

2011 年 · 数一 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

设函数

F (x, y) = \int_{0}^{x y} \frac{sin t}{1 + t ^{2}} d t

，则

\frac{\partial ^{2} F}{\partial x ^{2}}_{x = 0 y = 2} =

______.