偏导数几何应用（切平面、法线）

§5.9 · 方法技巧🌱 基础篇 →

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前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数方向导数与梯度

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 切平面与法线的标准方程：隐式曲面用 $\nabla F$ ，显式曲面用 $(f_{x}, f_{y}, - 1)$ ★★ 必会

下面是可以直接默写的两套方程。法向量为什么取

\nabla F

，见下一条；这里补全方程本身，特别是常被忽略的法线方程。

① 隐式曲面 $F (x, y, z) = 0$ 设

F

在

P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})

处有连续偏导数，且

\nabla F (P_{0}) \neq = 0

，取法向量

n = \nabla F (P_{0}) = (F_{x}, F_{y}, F_{z})_{P_{0}}

，则

切平面（点法式）

F_{x} (P_{0}) (x - x_{0}) + F_{y} (P_{0}) (y - y_{0}) + F_{z} (P_{0}) (z - z_{0}) = 0;

法线（对称式）

\frac{x - x _{0}}{F _{x} ( P _{0} )} = \frac{y - y _{0}}{F _{y} ( P _{0} )} = \frac{z - z _{0}}{F _{z} ( P _{0} )} .

② 显式曲面 $z = f (x, y)$ （

f

的偏导数连续）取法向量

n = (f_{x}, f_{y}, - 1)_{(x_{0}, y_{0})}

，则

切平面

z - z_{0} = f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

；　法线

\frac{x - x _{0}}{f _{x} ( x _{0} , y _{0} )} = \frac{y - y _{0}}{f _{y} ( x _{0} , y _{0} )} = \frac{z - z _{0}}{- 1} .

使用要点 第一，一个

n

可以写出两条方程，它既是切平面的法向量，又是法线的方向向量；先求偏导数、代入

P_{0}

得到

n

，再分别写点法式与对称式。第二，对称式中如果某个分母为

0

，应理解为对应的分子恒为

0

，例如

F_{z} (P_{0}) = 0

时法线上恒有

z = z_{0}

。第三，偏导数连续这个前提不可省去，只有偏导数存在时曲面未必有切平面。

证明 / 推导

两条方程都由法向量

n = (A, B, C)

与定点

P_{0}

直接得到。

切平面 平面上任一点

P (x, y, z)

满足

P_{0} P ⊥ n

，即

n \cdot P_{0} P = A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0

，这就是点法式。

法线法线是过

P_{0}

且以

n

为方向向量的直线，动点满足

P_{0} P ∥ n

，坐标成比例即得对称式

\frac{x - x _{0}}{A} = \frac{y - y _{0}}{B} = \frac{z - z _{0}}{C}

。

显式化为隐式 把

z = f (x, y)

改写为

F (x, y, z) = f (x, y) - z = 0

，则

F_{x} = f_{x}, F_{y} = f_{y}, F_{z} = - 1

，代入①的两式即得②。可见两套公式实际上是一套。

■

举例说明

（2000 填空 3 分，法线对称式） 求曲面

x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} = 21

在点

(1, - 2, 2)

处的法线方程。

解. 令

F = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} - 21

，则

\nabla F = (2 x, 4 y, 6 z)_{(1, - 2, 2)} = (2, - 8, 12) ∥ (1, - 4, 6)

，方向向量可以约去公因子。故法线为

\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 2}{6} .

如果同时要求切平面，由点法式即得

(x - 1) - 4 (y + 2) + 6 (z - 2) = 0

，即

x - 4 y + 6 z - 21 = 0

。

（2023 填空 5 分，显式公式） 求曲面

z = x + 2 y + ln (1 + x^{2} + y^{2})

在

(0, 0, 0)

处的切平面。由

f_{x} = 1 + \frac{2 x}{1 + x ^{2} + y ^{2}}_{(0, 0)} = 1

，

f_{y} = 2 + \frac{2 y}{1 + x ^{2} + y ^{2}}_{(0, 0)} = 2

得

n = (1, 2, - 1)

，故切平面为

z = x + 2 y

，即

x + 2 y - z = 0

；法线可顺次写出

\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}

。

2. 法向量为什么是 $\nabla F$ ：曲面上任一曲线的切向量都与 $\nabla F$ 垂直★ 要懂

曲面

F (x, y, z) = 0

是

F

的一张等值面。在它上面任取一条过

P_{0}

的曲线

r (t)

，则

F (r (t)) \equiv 0

；两边对

t

求导，由链式法则得

\nabla F \cdot r^{'} (t_{0}) = 0

。可见曲面上一切过

P_{0}

的曲线，其切向量都与

\nabla F

垂直，这些切向量张成切平面，所以

n = \nabla F ∣_{P_{0}} = (F_{x}, F_{y}, F_{z})

就是法向量。对显式曲面

z = f (x, y)

，把它看作

F = f (x, y) - z = 0

，得法向量

(f_{x}, f_{y}, - 1)

，切平面方程

z - z_{0} = f_{x} (x - x_{0}) + f_{y} (y - y_{0})

的右端就是全微分，这与 §5.3 中可微与存在切平面等价的说法完全一致。

证明 / 推导

设

r (t) = (x (t), y (t), z (t))

是曲面

F = 0

上过

P_{0} = r (t_{0})

的任一光滑曲线，则恒有

F (x (t), y (t), z (t)) \equiv 0

。两边对

t

求导，由链式法则得

F_{x} x^{'} (t) + F_{y} y^{'} (t) + F_{z} z^{'} (t) = \nabla F \cdot r^{'} (t) = 0.

在

t_{0}

处即

\nabla F (P_{0}) ⊥ r^{'} (t_{0})

。由曲线的任意性知，

\nabla F (P_{0})

垂直于该点处一切切向量，因而垂直于切平面，即为法向量。

■

举例说明

求抛物面

z = x^{2} + y^{2}

在

P_{0} (1, 1, 2)

处的切平面与法线。令

F = x^{2} + y^{2} - z

，则

\nabla F = (2 x, 2 y, - 1)_{P_{0}} = (2, 2, - 1)

。切平面为

2 (x - 1) + 2 (y - 1) - (z - 2) = 0

，即

2 x + 2 y - z = 2

；法线为

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

。这里右端的

2 (x - 1) + 2 (y - 1)

就是

d z

。

3. 空间曲线的切线与法平面：参数式的情形，与交面式的 $\nabla F \times \nabla G$ ★★ 必会

关键是求出曲线的切向量。第一，曲线用参数式

r (t) = (x (t), y (t), z (t))

给出时，切向量为

T = (x^{'} (t_{0}), y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0}))

，切线用对称式写出，法平面以

T

为法向量，用点法式写出。第二，曲线用交面式

{F = 0 G = 0

给出时，曲线同时在两张曲面上，切向量必同时垂直于两个法向量

\nabla F, \nabla G

，因此可取

T = \nabla F \times \nabla G

。必须注意区分：切平面属于曲面，它的法向量是曲面的法向量；法平面属于曲线，它的法向量是曲线的切向量。

证明 / 推导

证. ① 参数式的情形. 设

r (t) = (x (t), y (t), z (t))

在

t_{0}

处可导，且

r^{'} (t_{0}) \neq = 0

。记

P_{0} = r (t_{0})

。在曲线上另取一点

P = r (t)

。割线

P_{0} P

的方向向量为

r (t) - r (t_{0})

。用非零数

t - t_{0}

去除不改变直线的方向，故割线的方向也可以取

\frac{r ( t ) - r ( t _{0} )}{t - t _{0}} = (\frac{x ( t ) - x ( t _{0} )}{t - t _{0}}, \frac{y ( t ) - y ( t _{0} )}{t - t _{0}}, \frac{z ( t ) - z ( t _{0} )}{t - t _{0}}) .

令

t \to t_{0}

，各分量分别趋于

x^{'} (t_{0}), y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0})

。切线是割线的极限位置，因此它的方向向量为

T = r^{'} (t_{0})

。法平面是过

P_{0}

且与切线垂直的平面。它以

T

为法向量，由点法式即得其方程。

② 交面式的情形. 设

F, G

有连续偏导数。又设曲线

Γ

在

P_{0}

附近可用可导的参数式

r (t)

表示，且

r^{'} (t_{0}) \neq = 0

。因

Γ

在曲面

F = 0

上，故恒有

F (x (t), y (t), z (t)) \equiv 0

。两端对

t

求导，由链式法则得

F_{x} x^{'} (t) + F_{y} y^{'} (t) + F_{z} z^{'} (t) = \nabla F \cdot r^{'} (t) = 0.

在

t_{0}

处即

\nabla F (P_{0}) ⊥ T

。同理

\nabla G (P_{0}) ⊥ T

。

再证

T

与

\nabla F \times \nabla G

平行。设

\nabla F (P_{0})

与

\nabla G (P_{0})

不平行，则二者线性无关，张成一个二维子空间。在三维空间中，与该子空间正交的向量全体是一维子空间。其中的非零向量彼此平行。而

\nabla F \times \nabla G

与

T

都是这个一维子空间中的非零向量。因此二者平行，取

T = \nabla F \times \nabla G

即可。

这里的条件是

\nabla F \times \nabla G \neq = 0

，即两张曲面在

P_{0}

处的法向量不平行。如果二者平行，那么两张曲面在该点相切。这时叉积为零向量，给不出方向，上面的做法失效。这就证明了两种表示下切向量的求法。

■

举例说明

求曲线

{x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 x + y + z = 0

在

P_{0} (1, - 2, 1)

处的切线与法平面。先验证

P_{0}

在曲线上：

1 + 4 + 1 = 6

，

1 - 2 + 1 = 0

。令

F = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6, G = x + y + z

，则

\nabla F ∣_{P_{0}} = (2, - 4, 2), \nabla G = (1, 1, 1)

，切向量为

T = \nabla F \times \nabla G = i 21 j - 4 1 k 21 = (- 6, 0, 6) ∥ (- 1, 0, 1) .

故切线为

\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 2}{0} = \frac{z - 1}{1}

，它是平面

y = - 2

上的一条直线；法平面为

- 1 (x - 1) + 0 \cdot (y + 2) + 1 \cdot (z - 1) = 0

，即

x - z = 0

。

4. 常见综合题：求曲面上切平面平行或垂直于给定平面的点

这类题的关键在法向量。切平面平行于给定平面，等价于两者的法向量平行；切平面垂直于给定平面，等价于两个法向量垂直，即数量积为零。做法是：写出曲面在动点处的法向量

\nabla F

，其中含有未知坐标；令它与给定平面的法向量满足平行（对应坐标成比例）或者垂直（数量积为零）的条件，再与点在曲面上这个方程联立求解。

举例说明

求抛物面

z = x^{2} + y^{2}

上切平面平行于平面

2 x + 4 y - z = 0

的点，并写出该切平面。令

F = x^{2} + y^{2} - z

，动点处的法向量为

\nabla F = (2 x, 2 y, - 1)

，给定平面的法向量为

(2, 4, - 1)

。平行即对应坐标成比例：

\frac{2 x}{2} = \frac{2 y}{4} = \frac{- 1}{- 1} = 1

，得

x = 1, y = 2

。代入曲面得

z = 1^{2} + 2^{2} = 5

，故切点为

(1, 2, 5)

。切平面为

2 (x - 1) + 4 (y - 2) - (z - 5) = 0

，即

2 x + 4 y - z = 5

，它与给定平面平行，只相差一个常数项。

5. 几处容易出错的地方：显式法向量中的 $- 1$ 、法向量的朝向、切平面与法平面之分、奇点

第一，显式曲面

z = f (x, y)

的法向量是

(f_{x}, f_{y}, - 1)

，其中的

- 1

来自把

z

并入

F = f - z

，决不能漏掉，写成

(f_{x}, f_{y})

是常见的错误。第二，法向量可以乘以非零常数，也可以约去公因子，例如

(2, 4, 6)

可取为

(1, 2, 3)

，这样方程更简洁；但在第 6 章的第二类曲面积分中，法向量的正负代表上侧与下侧的定向，那时要按题意取

\pm

。第三，切平面属于曲面，法平面属于曲线，两者的法向量来源不同，不要混淆。第四，在

\nabla F = 0

的奇点处切平面没有定义，需要另作分析。第五，应先求出偏导数的表达式，再代入

P_{0}

得到法向量的数值，不要过早代点。

💡 小知识

梯度垂直于等值面，这一条几何事实把偏导数、方向导数和切平面串成了一线。地形图上的水流总是沿最陡的梯度方向下泄，也就总是垂直于等高线。手机里的等高线地图，画的就是一张张

F (x, y, z) = 常数

的等值面切片。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14

在点

P_{0} (1, 2, 3)

处的切平面方程与法线方程。难度 1

这是隐式曲面

F (x, y, z) = 0

。令

F = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14

，则法向量

n = \nabla F = (F_{x}, F_{y}, F_{z}) = (2 x, 2 y, 2 z)

，在

P_{0} (1, 2, 3)

处为

(2, 4, 6)

，可约去公因子取

(1, 2, 3)

。切平面（点法式）：

1 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y - 2) + 3 \cdot (z - 3) = 0

，即

x + 2 y + 3 z = 14

。法线（对称式）：

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}

。

例 2 求曲面

z = x^{2} + y^{2}

在点

P_{0} (1, 1, 2)

处的切平面方程与法线方程。难度 1

这是显式曲面

z = f (x, y)

，法向量取

n = (f_{x}, f_{y}, - 1)

（别漏那个 $- 1$ ）。

f_{x} = 2 x, f_{y} = 2 y

，在

(1, 1)

处为

(2, 2)

，故

n = (2, 2, - 1)

。切平面：

z - 2 = 2 (x - 1) + 2 (y - 1)

，整理得

2 x + 2 y - z - 2 = 0

；它正是全微分给出的线性逼近。法线：

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}

。

例 3 求空间曲线

r (t) = (t, t^{2}, t^{3})

在对应于

t = 1

的点

P_{0} (1, 1, 1)

处的切线方程与法平面方程。难度 2

对参数曲线，切向量就是

T = r^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t)) = (1, 2 t, 3 t^{2})

，在

t = 1

处为

(1, 2, 3)

。切线（对称式）：

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{3}

。法平面是过

P_{0}

且以切向量

T

为法向量的平面：

1 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y - 1) + 3 \cdot (z - 1) = 0

，即

x + 2 y + 3 z = 6

。注意：曲线用切向量，曲面才用法向量，别张冠李戴。

例 4 求曲面

z = x y

在点

P_{0} (1, 2, 2)

处的切平面方程与法线方程。难度 2

把显式曲面写成隐式

F = x y - z = 0

，则法向量

n = \nabla F = (F_{x}, F_{y}, F_{z}) = (y, x, - 1)

，在

P_{0} (1, 2, 2)

处为

(2, 1, - 1)

。切平面：

2 (x - 1) + 1 \cdot (y - 2) - 1 \cdot (z - 2) = 0

，整理得

2 x + y - z = 2

（验证：

2 \cdot 1 + 2 - 2 = 2

，点在平面上）。法线：

\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{- 1}

。（也可用

(f_{x}, f_{y}, - 1) = (y, x, - 1)

直接得同一法向量。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知函数

f (x, y) = x^{3} + y^{3} - (x + y)^{2} + 3

，设

T

是曲面

z = f (x, y)

在点

(1, 1, 1)

处的切平面，

D

为

T

与坐标平面所围有界区域在

x O y

面上的投影。

（Ⅰ）求

T

的方程；

（Ⅱ）求

f (x, y)

在

D

上的最大值和最小值。

2023 年 · 数一 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

曲面

z = x + 2 y + ln (1 + x^{2} + y^{2})

在点

(0, 0, 0)

处的切平面方程为 ______.

2018 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

过点

(1, 0, 0)

，

(0, 1, 0)

，且与曲面

z = x^{2} + y^{2}

相切的平面为（　　）

A $z = 0$ 与 $x + y - z = 1$
B $z = 0$ 与 $2 x + 2 y - z = 2$
C $x = y$ 与 $x + y - z = 1$
D $x = y$ 与 $2 x + 2 y - z = 2$

2014 年 · 数一 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

曲面

z = x^{2} (1 - sin y) + y^{2} (1 - sin x)

在点

(1, 0, 1)

处的切平面方程为 ______。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

设曲面由

F (x, y, z) = 0

给出，

F

有连续偏导且在

P_{0}

处

\nabla F \neq = 0

，则该曲面在

P_{0}

处的法向量可取（　）。

A $(F_{x}, F_{y}, F_{z})$
B $(F_{x}, F_{y}, - 1)$
C $(F_{y}, - F_{x}, 0)$
D $(1, 1, 1)$

练习 2 · 填空题

曲面

z = x^{2} + y^{2}

在点

(1, 1, 2)

处的法向量（取形式

(f_{x}, f_{y}, - 1)

）为 ____。

练习 3 · 选择题

球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3

在点

(1, 1, 1)

处的切平面方程为（　）。

A $x + y + z = 3$
B $x + y + z = 1$
C $2 x + 2 y + 2 z = 1$
D $x + y + z = 0$

练习 4 · 填空题

曲线

r (t) = (cos t, sin t, t)

在对应

t = 0

的点

(1, 0, 0)

处的切向量为 ____。

练习 5 · 选择题

曲面

z = x^{2} - y^{2}

上，切平面与平面

2 x - 4 y + z = 5

平行的点是（　）。

A $(- 1, - 2, - 3)$
B $(1, 2, - 3)$
C $(1, - 2, - 3)$
D $(- 1, 2, - 3)$

练习 6 · 填空题

曲线

Γ : {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6, x + y + z = 0

在点

(1, - 2, 1)

处的一个切向量为 ____。

练习 7 · 解答题

设曲线

Γ

是旋转抛物面

Σ : z = x^{2} + y^{2}

与平面

π : x + y + z = 4

的交线，点

P_{0} (1, 1, 2)

在

Γ

上。
（1）求

Γ

在

P_{0}

处的切线方程与法平面方程；
（2）求

Σ

上切平面平行于平面

π

的点，并写出该切平面方程；
（3）验证

Γ

在

P_{0}

处的切线落在

Σ

于

P_{0}

处的切平面内。

2013 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

曲面

x^{2} + cos (x y) + y z + x = 0

在点

(0, 1, - 1)

处的切平面方程为（　　）

A $x - y + z = - 2$ .
B $x + y + z = 0$ .
C $x - 2 y + z = - 3$ .
D $x - y - z = 0$ .

2003 年 · 数一 · 第 2 题 · 填空题 · 4 分

曲面

z = x^{2} + y^{2}

与平面

2 x + 4 y - z = 0

平行的切平面的方程是 ___.

偏导数几何应用（切平面、法线）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 切平面与法线的标准方程：隐式曲面用 ∇F，显式曲面用 (fx​,fy​,−1)★★ 必会

2. 法向量为什么是 ∇F：曲面上任一曲线的切向量都与 ∇F 垂直★ 要懂

3. 空间曲线的切线与法平面：参数式的情形，与交面式的 ∇F×∇G★★ 必会

4. 常见综合题：求曲面上切平面平行或垂直于给定平面的点

5. 几处容易出错的地方：显式法向量中的 −1、法向量的朝向、切平面与法平面之分、奇点

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 切平面与法线的标准方程：隐式曲面用 $\nabla F$ ，显式曲面用 $(f_{x}, f_{y}, - 1)$ ★★ 必会

2. 法向量为什么是 $\nabla F$ ：曲面上任一曲线的切向量都与 $\nabla F$ 垂直★ 要懂

3. 空间曲线的切线与法平面：参数式的情形，与交面式的 $\nabla F \times \nabla G$ ★★ 必会

5. 几处容易出错的地方：显式法向量中的 $- 1$ 、法向量的朝向、切平面与法平面之分、奇点