多元函数的无条件极值

§5.7 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

3.72 分/卷近 11 年平均

7/11 年出现年份

4.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）偏导数函数的单调性与极值③ 掌握后可解锁条件极值与拉格朗日乘数法

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 求二元函数极值的标准步骤：求驻点，算二阶偏导数 $A, B, C$ ，用 $A C - B^{2}$ 判定★★ 必会

求二元可微函数

z = f (x, y)

的无条件极值，按下面的固定步骤进行：先用一阶偏导数求出候选的驻点，再用二阶偏导数逐点判定，最后回代求值。

① 求全部驻点。 令一阶偏导数为零，解方程组

{f_{x} (x, y) = 0 f_{y} (x, y) = 0

，求出所有驻点

(x_{0}, y_{0})

。理论根据是费马必要条件：可微函数的极值点必是驻点，因此极值只能在驻点处产生。如果还有偏导数不存在的点，也要一并列为候选点，见本节最后一条。解方程组时不要在两边直接约去公因子，否则极易丢根、漏掉驻点。

② 求三个二阶偏导数。 在每个驻点处计算

A = f_{xx}, B = f_{x y}, C = f_{y y}

。二阶偏导数连续时

f_{x y} = f_{y x}

，所以只需这三个量。

③ 用判别式 $H = A C - B^{2}$ 逐点判定。 把各驻点处的

A, B, C

分别代入，按下面的结论判定，其中

A, B, C, H

都取该驻点处的值：
·

H > 0

且

A > 0

：极小值点，这时二次型正定，必有

C > 0

；
·

H > 0

且

A < 0

：极大值点，这时二次型负定，必有

C < 0

；
·

H < 0

：不是极值点，称为鞍点，这时二次型不定，沿不同方向一升一降；
·

H = 0

：判别法失效。

A C - B^{2}

给不出结论，必须回到极值的定义，考察

Δ f = f (x, y) - f (x_{0}, y_{0})

的符号，或者沿特殊路径试探。例如 2023 年数一的

f = (y - x^{2}) (y - x^{3})

在原点处

H = 0

，实际上不是极值点。

④ 回代求极值。 对判定为极大值点或极小值点的驻点，代回求出

f (x_{0}, y_{0})

，即极大值或极小值。题目要求的是极值本身，不要只答极值点。鞍点以及

H = 0

未定的点不计入。

证明 / 推导

判别法的来历如下，详细推导见本节《判别式

A C - B^{2}

的来历：二阶泰勒公式与配方》一条。在驻点处

f_{x} = f_{y} = 0

，把

f

作二阶泰勒展开，增量为

Δ f = f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0}) \approx \frac{1}{2} (A Δ x^{2} + 2 B Δ x Δ y + C Δ y^{2}),

右端是以黑塞矩阵

(A B B C)

为系数矩阵的二次型，

Δ f

的正负完全由这个二次型的定性决定。二次型正定（

H > 0, A > 0

）时

Δ f > 0

，取极小值；负定（

H > 0, A < 0

）时

Δ f < 0

，取极大值；不定（

H < 0

）时

Δ f

变号，

P_{0}

是鞍点；退化（

H = 0

）时二阶项沿某个方向为零，定不了符号，要靠更高阶的信息。判别式

H = A C - B^{2}

恰好是黑塞矩阵的行列式，它的正、负、零正好对应二次型的正（负）定、不定与退化，这就是上面判别表的根据。

举例说明

例（2020·数一，10 分） 求

f (x, y) = x^{3} + 8 y^{3} - x y

的极值。

① 求驻点 令

{f_{x} = 3 x^{2} - y = 0 f_{y} = 24 y^{2} - x = 0

。由第一式得

y = 3 x^{2}

，代入第二式得

24 (3 x^{2})^{2} - x = 216 x^{4} - x = x (216 x^{3} - 1) = 0

。提出公因子

x

后有两支：

x = 0

，或

x^{3} = \frac{1}{216}

即

x = \frac{1}{6}

。如果在两边直接约去

x

，就会漏掉驻点

(0, 0)

。再由

y = 3 x^{2}

得两个驻点

(0, 0)

与

(\frac{1}{6}, \frac{1}{12})

。

② 求二阶偏导数

A = f_{xx} = 6 x, B = f_{x y} = - 1, C = f_{y y} = 48 y

。

③ 逐点判定
· 在

(0, 0)

处

A = 0, B = - 1, C = 0

，

H = A C - B^{2} = 0 \cdot 0 - (- 1)^{2} = - 1 < 0

，是鞍点，不是极值点；
· 在

(\frac{1}{6}, \frac{1}{12})

处

A = 1, B = - 1, C = 4

，

H = 1 \cdot 4 - (- 1)^{2} = 3 > 0

且

A > 0

，是极小值点。

④ 求极值

f (\frac{1}{6}, \frac{1}{12}) = \frac{1}{6 ^{3}} + \frac{8}{1 2 ^{3}} - \frac{1}{6 \cdot 12} = \frac{1}{216} + \frac{1}{216} - \frac{3}{216} = - \frac{1}{216}

。

所以 $f$ 只有极小值 $f (\frac{1}{6}, \frac{1}{12}) = - \frac{1}{216}$ ，没有极大值。 本题有两处容易出错：一是解方程组时约去

x

而漏掉驻点

(0, 0)

，二是把

H < 0

的鞍点

(0, 0)

误判为极值点。按上面四步逐条做，这两处都能避免。

2. 判别式 $A C - B^{2}$ 的来历：二阶泰勒公式与配方（黑塞矩阵的正定性）★ 要懂

在驻点

P_{0}

处

f_{x} = f_{y} = 0

，由二阶泰勒公式得

Δ f = f (P_{0} + Δ) - f (P_{0}) \approx \frac{1}{2} (A Δ x^{2} + 2 B Δ x Δ y + C Δ y^{2})

。右端是关于

(Δ x, Δ y)

的二次型，它的矩阵就是黑塞矩阵

(A B B C)

。

Δ f

的正负由这个二次型的定性决定，而二次型的定性可以用配方来判定。极值判别法与线性代数中的正定性由此联系起来。

证明 / 推导

设

A \neq = 0

，对二次型

Q = A Δ x^{2} + 2 B Δ x Δ y + C Δ y^{2}

配方，得

Q = A (Δ x + \frac{B}{A} Δ y)^{2} + \frac{A C - B ^{2}}{A} Δ y^{2} .

记

H = A C - B^{2}

。

（i）

H > 0

时，两个系数

A

与

\frac{H}{A}

同号。若

A > 0

，则除

Δ = 0

外恒有

Q > 0

，二次型正定，

Δ f > 0

，取极小值；若

A < 0

，则

Q < 0

，二次型负定，取极大值。

（ii）

H < 0

时，

A

与

\frac{H}{A}

异号，

Q

可正可负：沿

Δ y = 0

与沿

Δ x = - \frac{B}{A} Δ y

所得的符号相反，二次型不定，

P_{0}

是鞍点。

（iii）

H = 0

时出现零特征方向，二阶项不足以定号，判别法失效。

■

3. $H = 0$ 时判别法完全失效：同样是 $H = 0$ ，可能是极小值点，也可能不是极值点★ 要懂

H = A C - B^{2} = 0

是判别法的盲区。这时二阶项沿某个方向退化为零，极值性质完全由更高阶的项决定，因此必须回到定义，考察

Δ f = f (P) - f (P_{0})

在

P_{0}

附近的符号，或者沿特殊路径试探。下面两个函数在原点处都有

A = B = C = 0

，因而

H = 0

，结论却完全相反。

举例说明

下面都考察原点，它对两个函数都是驻点，且

f_{xx} = f_{y y} = f_{x y} = 0

，

H = 0

。

（1）

f = x^{4} + y^{4}

：对一切

(x, y) \neq = (0, 0)

有

f > 0 = f (0, 0)

，所以原点是严格极小值点。

（2）

g = x^{4} - y^{4}

：沿

x

轴

g = x^{4} > 0

，沿

y

轴

g = - y^{4} < 0

，

Δ g

在原点附近变号，所以原点不是极值点。

同样是

H = 0

，一个是极小值点，一个不是极值点。可见

H = 0

时不能下结论，必须用定义或路径来判别。

4. 极值不是最值：求闭区域上的最值要把内部驻点与边界一起比较★★ 必会

极值是局部概念，最值是整体概念。求有界闭区域

D

上连续函数的最值（最值定理保证最值存在），按下面三步进行。第一，求

D

的内部的驻点以及偏导数不存在的点处的函数值。第二，求边界上的最值，可以把边界降为一元函数，也可以用 §5.8 的拉格朗日乘数法。第三，把内部的候选值与边界的候选值放在一起比较，最大的是最大值，最小的是最小值。只算内部而忘记边界，是最常见的失分之处。

举例说明

求

f (x, y) = x^{2} - y^{2}

在闭圆盘

D : x^{2} + y^{2} \leq 1

上的最大值和最小值。先求内部驻点：由

f_{x} = 2 x = 0, f_{y} = - 2 y = 0

得

(0, 0)

，

f (0, 0) = 0

。这里

H = (2) (- 2) - 0 = - 4 < 0

，它是鞍点，但仍应列为候选点。再看边界

x^{2} + y^{2} = 1

：代入

y^{2} = 1 - x^{2}

得

f = x^{2} - (1 - x^{2}) = 2 x^{2} - 1, x \in [- 1, 1]

，值域为

[- 1, 1]

，最大值

1

在

(\pm 1, 0)

处取得，最小值

- 1

在

(0, \pm 1)

处取得。把

{0, 1, - 1}

放在一起比较，得最大值为

1

，最小值为

- 1

。内部鞍点处的值

0

既不是最大值也不是最小值。

5. 不要漏掉偏导数不存在的点，它也可能是极值点★★ 必会

费马必要条件

f_{x} = f_{y} = 0

只网住驻点，但极值也可能出现在偏导数不存在的点处。因此求极值或最值时，候选点应当包括驻点和偏导数不存在的点；对闭区域还要加上边界。这一类尖点处的极值，单用

A C - B^{2}

是发现不了的，必须用定义直接判断。

举例说明

考察

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

，它的图形是上半圆锥面。在原点

f (0, 0) = 0

，而对一切

(x, y) \neq = (0, 0)

有

f > 0

，所以原点是极小值点，也是最小值点。但

f_{x} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}

在原点没有定义，沿

\pm x

方向的极限分别为

\pm 1

，并不相等，即偏导数不存在。这个极值点用驻点法根本找不到，只能用定义识别。凡是遇到根号、绝对值一类不光滑的地方，都要单独检查。

💡 小知识

鞍点（saddle point）的名字来自马鞍：马背沿一个方向下凹，沿另一个方向上凸，正中间那一点既不是最高处也不是最低处。判别式

A C - B^{2}

其实就是黑塞矩阵

(A B B C)

的行列式，微积分与线性代数在这里接上了头。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5

的极值。难度 1

第一步求驻点：

f_{x} = 2 x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1

；

f_{y} = 2 y - 4 = 0 \Rightarrow y = 2

。唯一驻点

(1, 2)

。第二步判别：

A = f_{xx} = 2, B = f_{x y} = 0, C = f_{y y} = 2

，

H = A C - B^{2} = 4 - 0 = 4 > 0

，且

A = 2 > 0

，故

(1, 2)

是极小值点。第三步求值：

f (1, 2) = 1 + 4 - 2 - 8 + 5 = 0

。所以

f

有极小值

0

，无极大值。

例 2 求

f (x, y) = x^{3} - 3 x + y^{2}

的极值。难度 2

求驻点：

f_{x} = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1

；

f_{y} = 2 y = 0 \Rightarrow y = 0

。得驻点

(1, 0)

与

(- 1, 0)

。二阶偏导：

A = f_{xx} = 6 x, B = f_{x y} = 0, C = f_{y y} = 2

，

H = A C - B^{2} = 12 x

。对

(1, 0)

：

H = 12 > 0

且

A = 6 > 0 \Rightarrow

极小值

f (1, 0) = 1 - 3 + 0 = - 2

。对

(- 1, 0)

：

H = - 12 < 0 \Rightarrow

鞍点（非极值）。故

f

有极小值

- 2

。

例 3 求

f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x

的极值。难度 2

求驻点：

f_{x} = 2 x + y - 3 = 0

，

f_{y} = x + 2 y = 0

。由第二式

x = - 2 y

，代入第一式：

2 (- 2 y) + y - 3 = 0 \Rightarrow - 3 y = 3 \Rightarrow y = - 1

，

x = 2

。唯一驻点

(2, - 1)

。判别：

A = f_{xx} = 2, B = f_{x y} = 1, C = f_{y y} = 2

，

H = A C - B^{2} = 4 - 1 = 3 > 0

，且

A > 0 \Rightarrow

极小值。

f (2, - 1) = 4 + 2 \cdot (- 1) + 1 - 3 \cdot 2 = 4 - 2 + 1 - 6 = - 3

。故极小值为

- 3

。本题含交叉项

x y

，故

B = 1 \neq = 0

。

例 4 求

f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y

的极值。难度 2

求驻点：

f_{x} = 3 x^{2} - 3 y = 0 \Rightarrow y = x^{2}

；

f_{y} = 3 y^{2} - 3 x = 0 \Rightarrow x = y^{2}

。代入得

x = (x^{2})^{2} = x^{4}

，即

x^{4} - x = 0 \Rightarrow x (x^{3} - 1) = 0

，

x = 0

或

x = 1

。相应

(0, 0)

与

(1, 1)

。二阶偏导：

A = f_{xx} = 6 x, B = f_{x y} = - 3, C = f_{y y} = 6 y

。对

(0, 0)

：

H = A C - B^{2} = 0 - 9 = - 9 < 0 \Rightarrow

鞍点。对

(1, 1)

：

A = 6, C = 6, H = 36 - 9 = 27 > 0

且

A > 0 \Rightarrow

极小值

f (1, 1) = 1 + 1 - 3 = - 1

。故极小值为

- 1

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

求函数

f (x, y) = (2 x^{2} - y^{2}) e^{x}

的极值。

2024 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知函数

f (x, y) = x^{3} + y^{3} - (x + y)^{2} + 3

，设

T

是曲面

z = f (x, y)

在点

(1, 1, 1)

处的切平面，

D

为

T

与坐标平面所围有界区域在

x O y

面上的投影。

（Ⅰ）求

T

的方程；

（Ⅱ）求

f (x, y)

在

D

上的最大值和最小值。

2023 年 · 数一 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

求函数

f (x, y) = (y - x^{2}) (y - x^{3})

的极值。

2022 年 · 数一 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

当

x \geq 0, y \geq 0

时，

x^{2} + y^{2} \leq k e^{x + y}

恒成立，则

k

的取值范围是 ______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

函数

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

在点

(0, 0)

处（　）。

A取极大值
B取极小值
C是鞍点
D无法判断

练习 2 · 选择题

已知

P_{0}

是

f (x, y)

的驻点，且在

P_{0}

处

A = f_{xx} = 2, B = f_{x y} = 1, C = f_{y y} = 2

，则

P_{0}

（　）。

A是极小值点
B是极大值点
C是鞍点
D无法判断

练习 3 · 选择题

函数

f (x, y) = x y

在点

(0, 0)

处（　）。

A取极大值
B取极小值
C是鞍点
D取极值

练习 4 · 填空题

函数

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 13

的极小值为 ____。

练习 5 · 填空题

函数

f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y

的极小值为 ____。

练习 6 · 选择题

设

f (x, y)

在点

P_{0}

的某邻域内有二阶连续偏导数，且

P_{0}

是

f

的驻点。记

A = f_{xx} (P_{0}), B = f_{x y} (P_{0}), C = f_{y y} (P_{0})

。下列说法正确的是（　　）。

A若 $A C - B^{2} = 0$ ，则 $P_{0}$ 一定不是极值点
B若 $A C - B^{2} < 0$ ，则 $P_{0}$ 一定不是极值点
C若 $A > 0$ ，则 $P_{0}$ 一定是极小值点
D若 $A C - B^{2} > 0$ 且 $A < 0$ ，则 $P_{0}$ 是极小值点

练习 7 · 解答题

求函数

f (x, y) = e^{2 x} (x + y^{2} + 2 y)

的极值。

2020 年 · 数一 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

求函数

f (x, y) = x^{3} + 8 y^{3} - x y

的极值.

2014 年 · 数一 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

若

\int_{- π}^{π} (x - a_{1} cos x - b_{1} sin x)^{2} d x = a, b \in R min {\int_{- π}^{π} (x - a cos x - b sin x)^{2} d x}

，则

a_{1} cos x + b_{1} sin x =

（　　）

A $2 sin x$
B $2 cos x$
C $2 π sin x$
D $2 π cos x$

多元函数的无条件极值

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 求二元函数极值的标准步骤：求驻点，算二阶偏导数 A,B,C，用 AC−B2 判定★★ 必会

2. 判别式 AC−B2 的来历：二阶泰勒公式与配方（黑塞矩阵的正定性）★ 要懂

3. H=0 时判别法完全失效：同样是 H=0，可能是极小值点，也可能不是极值点★ 要懂

4. 极值不是最值：求闭区域上的最值要把内部驻点与边界一起比较★★ 必会

5. 不要漏掉偏导数不存在的点，它也可能是极值点★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 求二元函数极值的标准步骤：求驻点，算二阶偏导数 $A, B, C$ ，用 $A C - B^{2}$ 判定★★ 必会

2. 判别式 $A C - B^{2}$ 的来历：二阶泰勒公式与配方（黑塞矩阵的正定性）★ 要懂

3. $H = 0$ 时判别法完全失效：同样是 $H = 0$ ，可能是极小值点，也可能不是极值点★ 要懂