函数的单调性与极值

§2.8 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.21 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

3.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）导数与微分的概念微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）③ 掌握后可解锁曲线的凹凸性与拐点导数应用：最值、渐近线、作图多元函数的无条件极值

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 单调性与极值的三条基本定理：判定定理 $f^{'} > 0 \Rightarrow$ 严格增、极值的定义、第一充分条件★★ 必会

后面所有通过求导来定号的方法，其根据都在下面三条正式的陈述之中。

① 单调性判定定理：设

f

在

[a, b]

上连续，在

(a, b)

内可导。如果在

(a, b)

内恒有

f^{'} (x) > 0

，那么

f

在

[a, b]

上严格单调增加；如果恒有

f^{'} (x) < 0

，那么它严格单调减少。有两点须注意：结论在整个闭区间上成立，端点处只要求连续；条件是充分而不必要的，当

f^{'} \geq 0

且

f^{'} = 0

只在孤立的点上成立（即不在任何一个子区间上恒为零）时，函数仍然严格增加，例如

f (x) = x^{3}

在

x = 0

处

f^{'} = 0

，而它在整个数轴上严格增加。与此相对，

f

单调不减

⟺ f^{'} \geq 0

才是充分必要的。

② 极值的定义：设

f

在

x_{0}

的某邻域内有定义。如果存在

δ > 0

，使得当

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ

时恒有

f (x) < f (x_{0}),

那么称

f (x_{0})

为极大值，称

x_{0}

为极大值点（不等号反向时即为极小值与极小值点）。要点：(i) 极值是局部的概念，只考察一个小邻域，与全局的最值不同，一个极大值完全可以小于另一个极小值；(ii) 定义要求的是双侧邻域，因此区间的端点处不谈极值；(iii) 定义并不要求可导，例如

∣ x ∣

在

x = 0

处不可导，却取得极小值；(iv) 在可导的点处若取得极值，则必有

f^{'} (x_{0}) = 0

（费马引理，§2.5），但驻点未必是极值点，例如

x^{3}

的

x = 0

。可能的极值点为驻点与不可导点两类，都必须逐一检查。

③ 极值第一充分条件：设

f

在

x_{0}

处连续，在去心邻域

(x_{0} - δ, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + δ)

内可导。
- 左侧

f^{'} > 0

、右侧

f^{'} < 0

（先升后降）

\Rightarrow x_{0}

为极大值点；
- 左侧

f^{'} < 0

、右侧

f^{'} > 0

（先降后升）

\Rightarrow x_{0}

为极小值点；
- 两侧

f^{'}

同号

\Rightarrow

不是极值点。

值得注意的是：在

x_{0}

处只要求连续、不必可导，所以它能处理不可导的点，比第二充分条件（见后文专条，那里要求

f^{'} (x_{0}) = 0

且

f^{''} (x_{0})

存在）适用范围更广。

证明 / 推导

判定定理的证明（用拉格朗日中值定理，§2.5）. 任取

a \leq x_{1} < x_{2} \leq b

，则

f

在

[x_{1}, x_{2}]

上连续，在

(x_{1}, x_{2})

内可导，故存在

ξ \in (x_{1}, x_{2}) \subset (a, b)

，使

f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (ξ) (x_{2} - x_{1}) > 0,

（这里用到

f^{'} (ξ) > 0

与

x_{2} - x_{1} > 0

），即

f (x_{1}) < f (x_{2})

。由

x_{1}, x_{2}

的任意性可知

f

严格单调增加。

■

第一充分条件的证明（先升后降的情形）. 先看左侧：

f

在

(x_{0} - δ, x_{0})

内满足

f^{'} > 0

，又在

x_{0}

处连续，由判定定理（用于

[x, x_{0}]

）知

f

在

(x_{0} - δ, x_{0}]

上严格增加，故当

x \in (x_{0} - δ, x_{0})

时

f (x) < f (x_{0})

。右侧与此相类似：由

f^{'} < 0

得

f

在

[x_{0}, x_{0} + δ)

上严格减少，同样有

f (x) < f (x_{0})

。合起来，在去心邻域内恒有

f (x) < f (x_{0})

，按定义

x_{0}

是极大值点。

■

注意证明中

x_{0}

处的连续性不可缺少，有了它，单调性才能一直延伸到

x_{0}

这个端点。

举例说明

真题（2019·数一，选择）. 设

f (x) = {x ∣ x ∣, x ln x, x \leq 0, x > 0,

则

x = 0

是

f (x)

的（　）
(A) 可导点，极值点　(B) 不可导点，极值点　(C) 可导点，非极值点　(D) 不可导点，非极值点

解. 关于可导性，回到定义：

f_{-}^{'} (0) = x \to 0^{-} lim \frac{x ∣ x ∣ - 0}{x} = x \to 0^{-} lim ∣ x ∣ = 0

，而

f_{+}^{'} (0) = x \to 0^{+} lim \frac{x ln x - 0}{x} = x \to 0^{+} lim ln x = - \infty

，右导数不存在，故

x = 0

是不可导点。关于极值，直接按定义比较函数值：当

x < 0

时

f (x) = - x^{2} < 0 = f (0)

；当

0 < x < 1

时

f (x) = x ln x < 0 = f (0)

。可见在去心邻域内恒有

f (x) < f (0)

，所以

x = 0

是极大值点。选 (B)。

本题正好检验上述三条基本结论：极值的定义并不要求可导，不可导的点照样可以是极值点，因此由不可导就断定不是极值，是典型的错误。无论是按定义比较函数值，还是考察两侧导数的符号（即第一充分条件：

x < 0

时

f^{'} = - 2 x > 0

，

0 < x < 1

时

f^{'} = ln x + 1

在

x \to 0^{+}

处为负，即先升后降），都能确认这里取得极大值。

2. 用单调性证明不等式：令 $F =$ 左 $-$ 右，求 $F^{'}$ 定号，再比较一个边界值★★ 必会

要证在区间

I

上

g (x) \geq h (x)

，标准的做法是令

F (x) = g (x) - h (x)

，转而证明

F (x) \geq 0

。步骤：①取一个便于计算的边界点

x_{0}

（区间的端点，或使

F = 0

的点），算出

F (x_{0})

；②求

F^{'}

并判定它的符号，从而确定

F

的单调性；③由

F (x_{0}) = 0

与单调性推出

F

在这一侧不变号。这样做为什么有效：逐点比较大小无从下手，而单调性把它化成了求一个导数的符号并考察一个边界值，这是完全可以操作的。它是考研证明题中最重要的方法之一。

举例说明

例. 证明：当

x > 1

时，

2 ln x < x - \frac{1}{x}

。
证. 令

F (x) = x - \frac{1}{x} - 2 ln x

，则

F (1) = 1 - 1 - 0 = 0

，且

F^{'} (x) = 1 + \frac{1}{x ^{2}} - \frac{2}{x} = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2}} > 0 (x > 1) .

故

F

在

(1, + \infty)

内严格单调增加，结合

F (1) = 0

得

F (x) > 0

，即

x - \frac{1}{x} > 2 ln x

。

■

值得注意的是：

F^{'}

恰好配成完全平方

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2}}

，符号一目了然；求导之后再作配方，是这类题目常用的手法。

3. 一次求导定不出符号时，就再求一次导数，逐层推到能定号为止★★ 必会

有时

F^{'} (x)

本身的符号也不清楚，这时就对 $F^{'}$ 再求一次导数：如果能定出

F^{''}

的符号，就知道

F^{'}

是单调的，再配合边界值

F^{'} (x_{0})

定出

F^{'}

的符号，然后回过头来定

F

的符号。整个递推是：

F^{''}

定号

\to F^{'}

单调

+ F^{'} (x_{0}) \to F^{'}

定号

\to F

单调

+ F (x_{0}) \to F

定号。每增加一层，就多用掉一个边界值。这是处理较难不等式的通用办法，实质是把高阶导数的信息逐层传递到函数值上。

举例说明

例. 用纯单调性（不用泰勒余项）证明：

x > 0

时

e^{x} > 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}

。
证. 令

F (x) = e^{x} - 1 - x - \frac{x ^{2}}{2}

，

F (0) = 0

。

F^{'} (x) = e^{x} - 1 - x

，

F^{'} (0) = 0

，符号还不能确定，于是再求一次导数：

F^{''} (x) = e^{x} - 1 > 0 (x > 0),

故

F^{'}

在

(0, + \infty)

内单调增加，结合

F^{'} (0) = 0

得

F^{'} (x) > 0

。于是

F

单调增加，再结合

F (0) = 0

得

F (x) > 0

，即

e^{x} > 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}

。

■

全过程用了

F (0), F^{'} (0)

两个边界值，求了两次导数，每递推一层就用掉一个取值为

0

的边界条件。

4. 讨论方程 $f (x) = 0$ 的实根个数：单调区间 + 极值符号 + 零点定理★★ 必会

方程有几个实根，就是曲线

y = f (x)

与

x

轴有几个交点。三个步骤：①求

f^{'}

定出单调区间，把定义域分成若干个单调的区段；②在每一段上

f

至多有一个根，是否确有根，要看该段两端的函数值（或极限）是否异号，其中零点定理保证根的存在，单调性保证根的唯一；③极值的符号起着控制作用，它决定相邻的两段能否各有一根。若函数含参数，只需讨论极大值、极小值与

0

的大小关系，即可得到完整的分类。

举例说明

例. 讨论

f (x) = x^{3} - 3 x + k

的实根个数（

k

为参数）。
解. 由

f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)

知

f

在

(- \infty, - 1) ↗, (- 1, 1) ↘, (1, + \infty) ↗

。极大值为

f (- 1) = k + 2

，极小值为

f (1) = k - 2

；又当

x \to \mp \infty

时

f \to \mp \infty

。按极值与

0

的相对位置分别讨论：

- 当

k < - 2

或

k > 2

时（极大值

< 0

或极小值

> 0

）：曲线只穿过横轴一次， $1$ 个根；
- 当

k = \pm 2

时（两个极值中有一个

= 0

）：出现重根， $2$ 个相异根；
- 当

- 2 < k < 2

时（极大值

> 0

且极小值

< 0

）：三个单调段上各有一根， $3$ 个根。

■

5. 极值第二充分条件为什么成立： $f^{''} (x_{0}) > 0 \Rightarrow$ 取极小值的两种证法★ 要懂

f^{'} (x_{0}) = 0, f^{''} (x_{0}) > 0 \Rightarrow x_{0}

为极小值点，这条判别法的根据何在？下面两种证法都表明：第二充分条件其实是第一充分条件的特例，它把

f^{'}

在

x_{0}

附近由负变正这一事实，浓缩成一个数

f^{''} (x_{0})

的符号。明白了这一点，也就明白为什么当

f^{''} (x_{0}) = 0

时第二充分条件失效，因为这时浓缩不出任何信息，必须退回到第一充分条件，去考察

f^{'}

是否真的变号。

证明 / 推导

证法一（用导数定义与极限的保号性）. 因为

f^{'} (x_{0}) = 0

，所以

f^{''} (x_{0}) = x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( x _{0} )}{x - x _{0}} = x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x )}{x - x _{0}} > 0.

由极限的保号性，存在

x_{0}

的一个去心邻域，在其中

\frac{f ^{'} ( x )}{x - x _{0}} > 0

，即

f^{'} (x)

与

x - x_{0}

同号：当

x < x_{0}

时

f^{'} (x) < 0

，当

x > x_{0}

时

f^{'} (x) > 0

。根据第一充分条件（

f^{'}

由负变正），

x_{0}

是极小值点。

■

证法二（用泰勒公式）. 由

f (x) - f (x_{0}) = \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2} (x - x_{0})^{2} + o ((x - x_{0})^{2})

可知，在

x_{0}

附近右端的符号由

f^{''} (x_{0}) > 0

与平方项决定，因而为正，故

f (x) > f (x_{0})

，即取得极小值。

💡 小知识

驻点的想法最早来自费马。他比牛顿和莱布尼茨早了几十年，就用极值处函数几乎不变这个朴素的念头去求极大极小。拉格朗日因此称费马为微分学真正的奠基人，尽管在那个年代，导数这个词还没有出现。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

的单调区间与极值。难度 1

定义域为

R

。

f^{'} (x) = 2 x - 4 = 2 (x - 2)

。
当

x < 2

时

f^{'} < 0

，

f

单调减少；当

x > 2

时

f^{'} > 0

，

f

单调增加。
故

x = 2

处

f^{'}

由负变正，取极小值

f (2) = 4 - 8 + 3 = - 1

。单调减区间

(- \infty, 2)

，单调增区间

(2, + \infty)

。

例 2 求

f (x) = x^{3} - 3 x

的极值。难度 1

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)

，驻点

x = - 1, x = 1

。
列表看符号：

x < - 1

时

f^{'} > 0

，

- 1 < x < 1

时

f^{'} < 0

，

x > 1

时

f^{'} > 0

。
故

x = - 1

处

+ \to -

，取极大值

f (- 1) = - 1 + 3 = 2

；

x = 1

处

- \to +

，取极小值

f (1) = 1 - 3 = - 2

。

例 3 用二阶导数判别法求

f (x) = x + \frac{1}{x}

（

x > 0

）的极值。难度 2

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 1

（

x > 0

）。

f^{''} (x) = \frac{2}{x ^{3}}

，

f^{''} (1) = 2 > 0

，故

x = 1

为极小值点，极小值

f (1) = 1 + 1 = 2

。

例 4 求

f (x) = x^{2/3}

的极值。难度 2

f^{'} (x) = \frac{2}{3} x^{- 1/3} = \frac{2}{3 3 x}

，在

x = 0

处不存在，故

x = 0

是不可导点（候选极值点）。
当

x < 0

时

f^{'} < 0

（减），

x > 0

时

f^{'} > 0

（增），故

x = 0

处

- \to +

，取极小值

f (0) = 0

。
注意：本题极值出现在不可导点，只找驻点会漏掉它。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

在区间

[- 1, 1]

上有定义，则（　　）

A当 $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上单调递减、在 $(0, 1)$ 上单调递增时， $f (0)$ 为极小值
B当 $f (0)$ 是极小值时， $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上单调递减、在 $(0, 1)$ 上单调递增
C当 $f (x)$ 的图形在 $[- 1, 1]$ 上是凹的时， $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ 在 $[- 1, 1)$ 上单调递增
D当 $\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$ 在 $[- 1, 1)$ 上单调递增时， $f (x)$ 的图形在 $[- 1, 1]$ 上是凹的

2025 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} sin t d t

，

g (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot sin^{2} x

，则（　　）

A $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，也是 $g (x)$ 的极值点.
B $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的拐点.
C $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点.
D $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点，也是曲线 $y = g (x)$ 的拐点.

2025 年 · 数一 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

设函数

f (x)

在区间

(a, b)

内可导，证明：导函数

f^{'} (x)

在

(a, b)

内严格单调增加的充分必要条件是，对

(a, b)

内任意的

x_{1}, x_{2}, x_{3}

，当

x_{1} < x_{2} < x_{3}

时，

\frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} < \frac{f ( x _{3} ) - f ( x _{2} )}{x _{3} - x _{2}}

2022 年 · 数一 · 第 4 题 · 选择题 · 5 分

已知

I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2 ( 1 + cos x )} d x

，

I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{ln ( 1 + x )}{1 + cos x} d x

，

I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + sin x} d x

，则（　　）

A $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ .
B $I_{2} < I_{1} < I_{3}$ .
C $I_{1} < I_{3} < I_{2}$ .
D $I_{3} < I_{2} < I_{1}$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

f (x) = x^{2} - 6 x + 5

的极小值点为（　）

A $x = 1$
B $x = 3$
C $x = 5$
D $x = 0$

练习 2 · 填空题

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1

的极大值点

x =

____。

练习 3 · 选择题

函数

f (x) = x^{3}

在

x = 0

处（　）

A取极大值
B取极小值
C不取极值
D不连续

练习 4 · 填空题

f (x) = x + \frac{4}{x}

（

x > 0

）的极小值为 ____。

练习 5 · 选择题

f (x) = x e^{x}

的极小值点为（　）

A $x = 0$
B $x = - 1$
C $x = 1$
D $x = e$

练习 6 · 填空题

函数

f (x) = x^{2} e^{- x}

在

[0, + \infty)

上的最大值为 ____。

练习 7 · 选择题

已知

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x

在

x = 1

处取得极小值

- 2

，则

a + b =

（　　）。

A $- 3$
B $- 1$
C $1$
D $3$

练习 8 · 解答题

讨论方程

x^{3} - 3 x = k

（

k

为实参数）的实根个数。

2021 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{e ^{x} - 1}{x}, 1, x \neq = 0, x = 0,

在

x = 0

处（　　）

A连续且取极大值.
B连续且取极小值.
C可导且导数等于 $0$ .
D可导且导数不为 $0$ .

2019 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x) = {x ∣ x ∣, x ln x, x \leq 0, x > 0,

则

x = 0

是

f (x)

的（　　）

A可导点，极值点.
B不可导点，极值点.
C可导点，非极值点.
D不可导点，非极值点.

函数的单调性与极值

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 单调性与极值的三条基本定理：判定定理 f′>0⇒ 严格增、极值的定义、第一充分条件★★ 必会

2. 用单调性证明不等式：令 F= 左−右，求 F′ 定号，再比较一个边界值★★ 必会

3. 一次求导定不出符号时，就再求一次导数，逐层推到能定号为止★★ 必会

4. 讨论方程 f(x)=0 的实根个数：单调区间 + 极值符号 + 零点定理★★ 必会

5. 极值第二充分条件为什么成立：f′′(x0​)>0⇒ 取极小值的两种证法★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 单调性与极值的三条基本定理：判定定理 $f^{'} > 0 \Rightarrow$ 严格增、极值的定义、第一充分条件★★ 必会

2. 用单调性证明不等式：令 $F =$ 左 $-$ 右，求 $F^{'}$ 定号，再比较一个边界值★★ 必会

4. 讨论方程 $f (x) = 0$ 的实根个数：单调区间 + 极值符号 + 零点定理★★ 必会

5. 极值第二充分条件为什么成立： $f^{''} (x_{0}) > 0 \Rightarrow$ 取极小值的两种证法★ 要懂