导数应用：最值、渐近线、作图

§2.11 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.84 分/卷近 11 年平均

3/11 年出现年份

0.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的单调性与极值曲线的凹凸性与拐点

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 实际最值问题的解法：建模、定义域、唯一驻点即最值，以及用料最省的圆柱★★ 必会

求解实际最值问题的一般步骤是：①设出变量，利用约束条件消元，写出单变量的目标函数；②写清定义域（例如半径、长度

> 0

等）；③求驻点；④判定。这里有一条常用的结论：如果目标函数在开区间内连续可导且只有唯一的驻点，而该驻点是极小值点（极大值点），那么它就是最小值点（最大值点），不必再与端点比较。其依据是，连续函数在区间内唯一的极值点必为该区间上的最值点。有了这条结论，就可以免去端点与边界极限的讨论。

证明 / 推导

唯一的驻点为什么就是最值点. 设

f

在开区间

(a, b)

内连续可导。又设

x_{0} \in (a, b)

是唯一的驻点，并且是极小值点。下面证明它是

(a, b)

上的最小值点。

先看

x_{0}

的右侧。因为

x_{0}

是唯一的驻点，所以

f^{'}

在

(x_{0}, b)

内处处不为零。又

f^{'}

连续。如果它在其中变号，那么由介值定理它必取到零值，这与驻点唯一矛盾。因此

f^{'}

在

(x_{0}, b)

内保持同一符号。这个符号只能是正的。事实上，取

x > x_{0}

且充分接近

x_{0}

。由极小值的定义有

f (x) \geq f (x_{0})

。再由拉格朗日中值定理，存在

ξ \in (x_{0}, x)

使

f^{'} (ξ) = \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}} \geq 0,

而

f^{'} (ξ) \neq = 0

，故

f^{'} (ξ) > 0

。于是

f^{'} > 0

在整个

(x_{0}, b)

上成立，

f

在

[x_{0}, b)

上单调增加，从而当

x_{0} < x < b

时

f (x) > f (x_{0})

。

左侧同理。

f^{'}

在

(a, x_{0})

内保持同号，而且只能为负，故

f

在

(a, x_{0}]

上单调减少，当

a < x < x_{0}

时也有

f (x) > f (x_{0})

。合起来，对一切

x \in (a, b)

都有

f (x) \geq f (x_{0})

。这就证明了唯一的极小值点就是最小值点，不必再与端点比较。极大值的情形同理。

必须注意其中的前提：区间内处处可导，并且驻点唯一。如果区间内还有不可导点，那么它也是可疑点。这时上面用到的中值定理与导数保号都不再适用，必须把不可导点一并列入比较。

举例说明

例. 做容积为

V

的圆柱形易拉罐（有顶有底），半径

r

、高

h

，问何时表面积最小？
解. 由约束条件

V = π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{V}{π r ^{2}}

，于是表面积为

S (r) r = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r^{2} + \frac{2 V}{r} \in (0, + \infty) .

令

S^{'} (r) = 4 π r - \frac{2 V}{r ^{2}} = 0 \Rightarrow r^{3} = \frac{V}{2 π}

，得唯一的驻点

r_{0} = 3 \frac{V}{2 π}

。又

S^{''} (r) = 4 π + \frac{4 V}{r ^{3}} > 0

，故

r_{0}

是极小值点。由于它是

(0, + \infty)

内的唯一驻点，因此它就是最小值点。此时

h = \frac{V}{π r _{0}^{2}} = 2 r_{0}

，即高等于底面直径，这就是用料最省的形状。

■

2. 渐近线的求法：水平、铅直、斜三类，须逐个方向、逐个点检验★★ 必会

曲线

y = f (x)

的渐近线分三类，求法各不相同，必须逐一检验：

① 铅直渐近线 $x = x_{0}$ ：只在

f

的无定义点 / 间断点处出现。若

x \to x_{0}^{-} lim f

或

x \to x_{0}^{+} lim f = \infty

（单侧趋于 $\infty$ 即可），则

x = x_{0}

是铅直渐近线。候选点有：分母的零点、

ln

真数的零点，以及其它使

f

无定义的点。

② 水平渐近线 $y = b$ ：若

x \to + \infty lim f (x) = b

（有限），则

y = b

是

x \to + \infty

一侧的水平渐近线；对

x \to - \infty

必须另行考察，两侧的结果可以不同，也可以各有一条。

③ 斜渐近线 $y = k x + b$ ：只有当某一侧没有水平渐近线时才可能存在。

k b = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to \infty lim [f (x) - k x]

要求

k

有限且非零，

b

有限，两个极限都必须存在；若

k = 0

，则退化为水平渐近线。同样地，

x \to + \infty

与

x \to - \infty

要分别计算。

检验的次序：先检查全部无定义点，定出铅直渐近线；再对

+ \infty

、

- \infty

两个方向分别求

k, b

，同一方向上的水平渐近线与斜渐近线至多有一条。因此一条曲线最多有两条水平或斜渐近线（左、右各一条），此外还可能有若干条铅直渐近线。

证明 / 推导

斜渐近线公式的推导. 设

y = k x + b

是

x \to + \infty

时的斜渐近线，即

x \to + \infty lim [f (x) - (k x + b)] = 0

。两端同除以

x

，得

\frac{f ( x )}{x} - k - \frac{b}{x} ⟶ 0 ⟹ k = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} .

求得

k

后，再由

f (x) - k x - b \to 0

得

b = x \to + \infty lim [f (x) - k x]

。反之，只要这两个极限都存在（

k

有限，

b

有限），

f (x) - (k x + b) \to 0

就自动成立，因此这一判据是充分必要的。对

x \to - \infty

完全类似，但需单独计算。

举例说明

（2012·数一第 1 题，选择 4 分） 曲线

y = \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1}

的渐近线的条数为（　　）

(A)

0

.　(B)

1

.　(C)

2

.　(D)

3

.

解. 先作因式分解：

y = \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x}{x - 1} (x \neq = - 1) .

铅直：分母零点为

x = 1

与

x = - 1

。在

x = 1

处

lim y = \infty

，得铅直渐近线

x = 1

；但在

x = - 1

处分子与分母同时为零，约去公因子后极限有限（

\to \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2}

），故该点是可去间断点，而不是渐近线。这是最常见的错误。水平：

x \to \infty lim \frac{x}{x - 1} = 1

，得水平渐近线

y = 1

（左右两侧相同）。斜：该方向已有水平渐近线，故无斜渐近线。合计

x = 1

与

y = 1

共 $2$ 条，故选 C。必须注意：分母的零点只是铅直渐近线的候选点，还须验证分子在该点不为零，否则该点可能只是可去间断点。

3. 函数作图的完整步骤：定义域，单调与极值表，凹凸与拐点表，渐近线，描图

利用导数作函数的图形，是导数应用的综合运用，其标准步骤有五步：

① 定基：求出定义域，考察奇偶性与周期性（若有对称性，则只须画出一半），并标出间断点以及曲线与坐标轴的交点。

② 一阶表（单调与极值）：求

y^{'}

，解出

y^{'} = 0

的驻点与

y^{'}

不存在的点，用它们把定义域分成若干区间，逐段确定符号：

y^{'} > 0

记为

↗

，

y^{'} < 0

记为

↘

，再由两侧的变号定出极值。

③ 二阶表（凹凸与拐点）：求

y^{''}

，解出

y^{''} = 0

与

y^{''}

不存在的点，逐段定凹凸：

y^{''} > 0

记

\cup

、

y^{''} < 0

记

\cap

，据变号定拐点（见 §凹凸性与拐点）。实际作图时常把②③合并成一张总表：用全部分界点把定义域分段，各段标出

y^{'}

的符号、

y^{''}

的符号与相应的形态，即

↗ \cup, ↗ \cap, ↘ \cup, ↘ \cap

四种弧形之一。

④ 渐近线：按上一条所述的次序，先检查无定义点，定出铅直渐近线，再对

x \to + \infty

与

x \to - \infty

分别求水平渐近线与斜渐近线。

⑤ 描图：先用虚线画出各条渐近线作为参照，标出极值点、拐点、与坐标轴的交点等关键点的坐标，再按总表中的弧形逐段连成曲线；曲线从渐近线的哪一侧趋近，由差

f (x) - (渐近线)

的符号确定。

举例说明

小例：作 $y = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ 的图形。

① 定基：定义域为

x \neq = 1

；函数无奇偶性；作多项式除法，得恒等式

y = x + 1 + \frac{1}{x - 1}

；曲线与坐标轴只交于

(0, 0)

。

②③ 总表：

y^{'} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}

，驻点为

x = 0, 2

；又

y^{''} = \frac{2}{( x - 1 ) ^{3}}

，它没有零点，且仅在

x = 1

处不存在。分界点

0, 1, 2

把定义域分成四段：

(- \infty, 0) : y^{'} (0, 1) : y^{'} > 0, y^{''} < 0 \Rightarrow ↗ \cap; < 0, y^{''} < 0 \Rightarrow ↘ \cap;

(1, 2) : y^{'} (2, + \infty) : y^{'} < 0, y^{''} > 0 \Rightarrow ↘ \cup; > 0, y^{''} > 0 \Rightarrow ↗ \cup .

故在

x = 0

处取极大值

y (0) = 0

，在

x = 2

处取极小值

y (2) = 4

。本题无拐点：

y^{''}

虽在

x = 1

的两侧变号，但

x = 1

不在定义域内，凹凸的分界发生在铅直渐近线的两侧，并不构成拐点。这一点最易出错。

④ 渐近线：铅直：

x \to 1^{-}

时

y \to - \infty

、

x \to 1^{+}

时

y \to + \infty

，得

x = 1

；斜：由

y - (x + 1) = \frac{1}{x - 1} \to 0 (x \to \pm \infty)

立得

y = x + 1

（两侧同一条），且

x > 1

侧差值为正、曲线在渐近线上方，

x < 1

侧在下方。

⑤ 描图：先画出虚线

x = 1

与

y = x + 1

。左支自左下方沿

y = x + 1

的下侧上升到极大值点

(0, 0)

，随后下降，当

x \to 1^{-}

时趋于

- \infty

，形态由

↗ \cap

变为

↘ \cap

；右支当

x \to 1^{+}

时来自

+ \infty

，下降到极小值点

(2, 4)

，随后上升并从上方趋近

y = x + 1

，形态由

↘ \cup

变为

↗ \cup

。

■

考法提示：数一很少要求画出完整的图形，而是把上述步骤拆开来考，例如渐近线的条数（2012/q01、2007/q02）、极值与拐点，以及由

f^{'}, f^{''}

的符号选择图形的选择题。作图的五个步骤是这些小题共同的依据。

4. 根式函数的斜渐近线： $x \to + \infty$ 与 $x \to - \infty$ 的结果可能不同★ 要懂

求

a x^{2} + b x + c

型函数的斜渐近线时，把渐近线写成

y = k x + m

。这里

k

是斜率，

m

是截距，与根号内的系数

a, b, c

用的是不同的字母，不可混淆。最易出错之处在于两端的斜率反号。因为

x^{2} = ∣ x ∣

，而当

x \to - \infty

时

∣ x ∣ = - x

，所以左端的斜率

k_{-}

与右端的斜率

k_{+}

反号。两端的渐近线并不相同，必须分别计算。求截距

m = lim (y - k x)

时属于

\infty - \infty

型，通常用有理化（乘以共轭式） 化开。此类题目所考查的，就是两端必须分别讨论这一点。

证明 / 推导

一般结论的推导. 设

a > 0

，

f (x) = a x^{2} + b x + c

。因

a > 0

，当

∣ x ∣

充分大时根号内为正，

f

在两端都有定义。（若

a < 0

，则

∣ x ∣

充分大时根号内为负，定义域有界，不存在斜渐近线。）把渐近线写成

y = k x + m

，两端的斜率与截距分别记为

k_{+}, m_{+}

与

k_{-}, m_{-}

，以免与根号内的系数

a, b, c

相混。

$x \to + \infty$ 的一端. 此时

x > 0

，故

a x^{2} = x a

，从而

f (x) k_{+} = x a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x ^{2}} = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a .

再求截距。

f (x) - a x

是

\infty - \infty

型，乘以共轭式化开：

f (x) - a x = \frac{( a x ^{2} + b x + c ) - a x ^{2}}{a x ^{2} + b x + c + a x} = \frac{b x + c}{a x ^{2} + b x + c + a x} .

分子分母同除以

x

。因

x > 0

，有

\frac{a x ^{2} + b x + c}{x} \to a

，故分母趋于

2 a

，分子趋于

b

。于是

m_{+} = \frac{b}{2 a}

，右端的斜渐近线为

y = a x + \frac{b}{2 a}

。

$x \to - \infty$ 的一端. 此时

x < 0

，

a x^{2} = ∣ x ∣ a = - x a

，故

f (x) k_{-} = - x a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x ^{2}} = x \to - \infty lim \frac{f ( x )}{x} = - a .

同样有理化，得

f (x) + a x = \frac{b x + c}{a x ^{2} + b x + c - a x} .

分子分母同除以

x

。因

x < 0

，此时

\frac{a x ^{2} + b x + c}{x} \to - a

，故分母趋于

- 2 a

，分子仍趋于

b

，得

m_{-} = - \frac{b}{2 a}

。左端的斜渐近线为

y = - a x - \frac{b}{2 a}

。

两条渐近线的来历. 上面两式可以合写成

y = \pm a (x + \frac{b}{2 a})

。这并非偶然。对根号内配方，得

a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + (c - \frac{b ^{2}}{4 a}),

故曲线满足

y^{2} - a (x + \frac{b}{2 a})^{2} = c - \frac{b ^{2}}{4 a}

。当右端不为零时，这是一条双曲线在上半平面的部分，它以直线

x = - \frac{b}{2 a}

为对称轴。该双曲线的两条渐近线就是

y = \pm a (x + \frac{b}{2 a})

。当右端为零时曲线退化为两条射线，渐近线与曲线重合。两端的斜率反号，根源在于双曲线本来就有两条彼此对称的渐近线。这就证明了根式函数在两端的渐近线一般不同，必须分别计算。

举例说明

例. 求

y = x^{2} + x

的渐近线（定义域

x \leq - 1

或

x \geq 0

）。
$x \to + \infty$ ：

k_{+} = lim \frac{x ^{2} + x}{x} = lim 1 + \frac{1}{x} = 1

；

m_{+} = x \to + \infty lim (x^{2} + x - x) = lim \frac{( x ^{2} + x ) - x ^{2}}{x ^{2} + x + x} = lim \frac{x}{x ^{2} + x + x} = \frac{1}{2},

得

y = x + \frac{1}{2}

。
$x \to - \infty$ ：

x^{2} + x = - x 1 + \frac{1}{x}

，

k_{-} = lim \frac{- x 1 + 1/ x}{x} = - 1

；

m_{-} = x \to - \infty lim (x^{2} + x + x) = lim \frac{x}{x ^{2} + x - x} = - \frac{1}{2},

得

y = - x - \frac{1}{2}

。结论：共有两条斜渐近线，即

y = x + \frac{1}{2}

（右侧）与

y = - x - \frac{1}{2}

（左侧），既无铅直渐近线，也无水平渐近线。

■

5. 最大视角问题：把视角表示为两个 arctan 之差，再对距离求导

站在多远处观看一幅画或一座塔时视角最大，是最值问题的一个典型例子。建模：把视角

θ

表示成上、下边缘两个仰角的 arctan 之差，再对距离

x

求导以求极大值。简化的办法：由于

tan

在

(0, \frac{π}{2})

内单调增加，

θ

最大

\Leftrightarrow tan θ

最大，因此可以改求

tan θ

的极值，从而避免对 arctan 求导。所得的结论常常具有简洁的形式（几何平均），值得注意。

举例说明

例. 一幅画上、下边缘离眼睛水平线的高度分别为

a > b > 0

。人站在离墙

x

处，问

x

多大时画的视角

θ

最大？
解. 由题设

θ (x) = arctan \frac{a}{x} - arctan \frac{b}{x}

。求导，得

θ^{'} (x) = \frac{- a / x ^{2}}{1 + a ^{2} / x ^{2}} - \frac{- b / x ^{2}}{1 + b ^{2} / x ^{2}} = \frac{b}{x ^{2} + b ^{2}} - \frac{a}{x ^{2} + a ^{2}} .

令

θ^{'} = 0

，得

b (x^{2} + a^{2}) = a (x^{2} + b^{2}) \Rightarrow (b - a) x^{2} = ab (b - a) \Rightarrow x^{2} = ab

，即

x = ab

。当

x < ab

时

θ^{'} > 0

，当

x > ab

时

θ^{'} < 0

，故在

x = ab

处视角最大。最佳距离是上、下两高度的几何平均 $ab$ 。

■

6. 求全部渐近线的综合例子： $y = x e^{1/ x}$ 的单侧铅直渐近线与斜渐近线

求全部渐近线时应逐项进行：①铅直渐近线，在定义域的缺口处（分母的零点、

ln

真数的零点、

e^{1/ x}

在

x = 0

处等）分别考察左、右极限，注意可能只有一侧趋于无穷；②水平渐近线，对

x \to + \infty, x \to - \infty

分别考察；③斜渐近线，只在没有水平渐近线的那一侧考察

a = lim \frac{y}{x}, b = lim (y - a x)

。当函数是超越函数时，求

b

常需借助泰勒公式或等价无穷小。

举例说明

例. 求

y = x e^{1/ x}

的渐近线（定义域

x \neq = 0

）。
铅直：

x \to 0^{+}

，令

t = \frac{1}{x} \to + \infty

，

y = \frac{e ^{t}}{t} \to + \infty

；

x \to 0^{-}

，

e^{1/ x} \to 0

，

y \to 0

（有限）。故

x = 0

是铅直渐近线，但只在右侧，因为在左侧曲线趋于点

(0, 0)

。
斜：

a = lim_{x \to \infty} \frac{x e ^{1/ x}}{x} = lim e^{1/ x} = e^{0} = 1

；

b = x \to \infty lim (x e^{1/ x} - x) = x \to \infty lim x (e^{1/ x} - 1) = t \to 0 lim \frac{e ^{t} - 1}{t} = 1 (t = \frac{1}{x}) .

故斜渐近线为

y = x + 1

，两端相同；本题没有水平渐近线。

■

本题同时用到了单侧的铅直渐近线，以及用等价无穷小求斜渐近线截距这两点。

💡 小知识

经典的省铁皮易拉罐问题里，数学上的最优解是高等于底面直径，也就是一个方方正正的胖罐子。可现实中的可乐罐明显更高更瘦：上下盖的封边更费料也更贵，还要考虑握在手里是否顺手。数学意义上的最优与工程意义上的最优，在这里分道扬镳。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

在闭区间

[0, 3]

上的最大值与最小值。难度 1

f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \in [0, 3]

（驻点）。比较驻点与端点的函数值：

f (0) = 3, f (2) = 4 - 8 + 3 = - 1, f (3) = 9 - 12 + 3 = 0.

故最大值为

f (0) = 3

，最小值为

f (2) = - 1

。

例 2 求曲线

y = \frac{1}{x}

的水平渐近线与铅直渐近线。难度 1

铅直：

x \to 0 lim \frac{1}{x} = \infty

，故

x = 0

是铅直渐近线。
水平：

x \to \pm \infty lim \frac{1}{x} = 0

，故

y = 0

是水平渐近线。

例 3 求曲线

y = \frac{x ^{2} + 1}{x}

的所有渐近线。难度 2

定义域

x \neq = 0

。把函数分离：

y = \frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}

。
铅直：

x \to 0 lim (x + \frac{1}{x}) = \infty

，故

x = 0

是铅直渐近线。
斜渐近线：当

x \to \pm \infty

时

\frac{1}{x} \to 0

，故

y = x

是斜渐近线。因

y \to \infty

，无水平渐近线。

例 4 周长为

20

的矩形，问长、宽各为多少时面积最大，最大面积是多少？难度 2

设矩形一边长为

x

，则另一边为

10 - x

（

0 < x < 10

）。面积

A (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2} .

A^{'} (x) = 10 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 5

，

A^{''} (x) = - 2 < 0

，故

x = 5

为极大即最大值点。此时另一边也为

5

，最大面积

A (5) = 25

。即边长均为

5

（正方形）时面积最大，为

25

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

曲线

y = x ln (e + \frac{1}{x - 1})

的斜渐近线方程为（　　）

A $y = x + e$ .
B $y = x + \frac{1}{e}$ .
C $y = x$ .
D $y = x - \frac{1}{e}$ .

2023 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设曲线

y = y (x) (x > 0)

经过点

(1, 2)

，该曲线上任一点

P (x, y)

到

y

轴的距离等于该点处的切线在

y

轴上的截距。

（Ⅰ）求

y (x)

；

（Ⅱ）求函数

f (x) = \int_{1}^{x} y (t) d t

在

(0, + \infty)

上的最大值。

2022 年 · 数一 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} + \frac{1}{2 x} y = 2 + x

满足条件

y (1) = 3

的解，求曲线

y = y (x)

的渐近线。

2017 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f (x)

可导，且

f (x) f^{'} (x) > 0

，则（　　）

A $f (1) > f (- 1)$ .
B $f (1) < f (- 1)$ .
C $∣ f (1) ∣ > ∣ f (- 1) ∣$ .
D $∣ f (1) ∣ < ∣ f (- 1) ∣$ .

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

f (x) = x^{2}

在

[- 1, 2]

上的最大值为（　）

A $1$
B $0$
C $4$
D $2$

练习 2 · 填空题

曲线

y = \frac{1}{x - 2}

的铅直渐近线为

x =

____。

练习 3 · 选择题

曲线

y = \frac{1}{x}

的水平渐近线为（　）

A $y = 0$
B $y = 1$
C $x = 0$
D无水平渐近线

练习 4 · 填空题

曲线

y = \frac{x ^{2} + 1}{x}

的斜渐近线为

y =

____。

练习 5 · 填空题

周长为

20

的矩形中，面积最大时的边长为 ____。

练习 6 · 选择题

设

f (x)

在

x = 0

的某邻域内连续，且

x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{1 - cos x} = - 2

，则（　）。

A $x = 0$ 不是 $f (x)$ 的极值点
B $f (0)$ 是 $f (x)$ 的极小值
C $f (0)$ 是 $f (x)$ 的极大值
D条件不足，无法判断

练习 7 · 填空题

抛物线

y = x^{2}

上的点到直线

x - y - 2 = 0

的最短距离为 ____。

练习 8 · 解答题

设

f (x) = \frac{x ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}}

。

(1)

求

f (x)

的单调区间与极值；

(2)

求曲线

y = f (x)

的所有渐近线。

2014 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

下列曲线中有渐近线的是（　　）

A $y = x + sin x$
B $y = x^{2} + sin x$
C $y = x + sin \frac{1}{x}$
D $y = x^{2} + sin \frac{1}{x}$

2012 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

曲线

y = \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1}

的渐近线的条数为（　　）

A $0$ .
B $1$ .
C $2$ .
D $3$ .

导数应用：最值、渐近线、作图

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 实际最值问题的解法：建模、定义域、唯一驻点即最值，以及用料最省的圆柱★★ 必会

2. 渐近线的求法：水平、铅直、斜三类，须逐个方向、逐个点检验★★ 必会

3. 函数作图的完整步骤：定义域，单调与极值表，凹凸与拐点表，渐近线，描图

4. 根式函数的斜渐近线：x→+∞ 与 x→−∞ 的结果可能不同★ 要懂

5. 最大视角问题：把视角表示为两个 arctan 之差，再对距离求导

6. 求全部渐近线的综合例子：y=xe1/x 的单侧铅直渐近线与斜渐近线

基础例题

真题精选

随堂练习

4. 根式函数的斜渐近线： $x \to + \infty$ 与 $x \to - \infty$ 的结果可能不同★ 要懂

6. 求全部渐近线的综合例子： $y = x e^{1/ x}$ 的单侧铅直渐近线与斜渐近线