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导数应用：最值、渐近线、作图

高等数学 · 一元函数微分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 应用题：先把目标写成一个变量的函数

最大利润、最省材料、最短距离这类题，难点从来不在求导，而在列式。固定的四步：

① 设变量. 把题目里那个「可以自己调」的量设为

x

。

② 写目标. 把要最大（小）的那个量写成

x

的函数

f (x)

。中间若冒出第二个未知量，用题目给的约束条件把它消掉。

③ 定范围. 写出

x

的实际取值范围——长度要为正、数量要是整数、总材料有限，这些都来自题意。这一步最常被跳过，而它决定了端点要不要算。

④ 求最值. 按上一节的办法做，最后答回题目问的那个量。

绝大多数应用题在区间内只有一个驻点，那它就是最值点，可以直接下结论——但卷面上要写出「区间内唯一」这四个字，它是理由。

2. 渐近线：三种，各有各的算法

① 铅直渐近线. 若

x \to x_{0}^{\pm} lim f (x) = \infty

，则

x = x_{0}

是铅直渐近线。

到哪儿找 $x_{0}$ ：分母的零点、

ln

的零点、以及定义域的边界点。找到之后必须真的算一次单侧极限——分母为零不一定就是无穷（

\frac{sin x}{x}

在

0

处极限是

1

）。

② 水平渐近线. 若

x \to + \infty lim f (x) = A

，则

y = A

是一条。

x \to - \infty

要单独算一次，两侧可以不同（

arctan x

就有两条）。

③ 斜渐近线 $y = k x + b$ . 先后算两个极限：

k b = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}, = x \to \infty lim [f (x) - k x] .

次序不能反，而且两个极限都存在、

k \neq = 0

时才有斜渐近线。

水平与斜渐近线在同一侧只能有一条：

k = 0

时它就是水平的那条。所以算的时候先试

k

，

k = 0

就去算水平的，别重复数。

三种画在一起，位置关系一眼能看清——铅直的是一条竖线，水平与斜的是曲线跑远之后贴上去的那条直线：

3. 作图：按固定次序走一遍

描绘函数图形的步骤是死的，照做即可：

① 定义域，顺便看奇偶性与周期性（能对称就少画一半）。

② 求 $f^{'}$ ，找驻点与 $f^{'}$ 不存在的点。

③ 求 $f^{''}$ ，找 $f^{''} = 0$ 的点与 $f^{''}$ 不存在的点。

④ 两套分点合到一条数轴上，列表：一行

f^{'}

的符号、一行

f^{''}

的符号。

⑤ 求渐近线（三种都查一遍）。

⑥ 算几个关键点的坐标：极值点、拐点、与坐标轴的交点。

⑦ 连线. 按表里每一段的形状画，向着渐近线靠过去。

漏得最多的是第⑤步：没有渐近线，曲线在远处该往哪儿去就无从判断，图的整体形状就错了。

4. 方程根的个数：单调性 $+$ 端点值

判断

f (x) = 0

有几个根，是导数应用里最常考的一类。做法把前面几节串了起来：

① 求 $f^{'}$ ，定出单调区间. 每个单调区间上至多一个根。

② 在每个单调区间上查两端的值（或极限）. 两端异号则其中恰有一个根（零点定理给存在，单调性给唯一）；同号则没有根。

③ 把各区间的结论加起来。

这就是上一章「证恰有一根」那套办法的推广：那里是一个区间，这里是几个区间。

端点是无穷时，算的是极限：

x \to + \infty lim f (x)

为

+ \infty

就当作正。

含参数的题（「

a

取何值时有两个根」）做法一样，只是把极值写成

a

的式子，再按极值的正负分类讨论。

把

k

当成一条水平线上下平移，它与曲线交几次，方程就有几个根——极大值与极小值正是那两个分界高度：

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

应用题：设、写、范围、求

第一步：设出那个能自己调的量为

x

。

第二步：把目标写成

f (x)

，用约束条件消掉多余的未知量。

第三步：写出

x

的实际范围——它决定端点算不算、哪些根要舍。

第四步：求最值，写明「区间内唯一驻点」，最后答回题目问的那个量。

例用长

20

的篱笆围一个矩形，问长宽各取多少时面积最大。

第一步（设），设一边长为

x

，周长固定给出另一边

\frac{20 - 2 x}{2} = 10 - x

。

第二步（写），面积

S (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2} .

第三步（范围），两边长都要为正：

x > 0

且

10 - x > 0

，故

0 < x < 10

。这一步漏了要扣分，而且没有范围就没法说明最值取到。

第四步（求），

S^{'} (x) = 10 - 2 x = 0

得

x = 5

；

S^{''} = - 2 < 0

，是极大值点。区间内只有这一个嫌疑点，所以它就是最大值点。

结论：长宽都取

5

（即正方形）时面积最大，最大面积

25

。

求渐近线：三种都查一遍

铅直：在分母零点、

ln

零点、定义域边界处算单侧极限，是无穷才算。

斜：先

k = lim \frac{f ( x )}{x}

，再

b = lim [f (x) - k x]

，次序不能反。

水平：

k = 0

时就是它；

x \to + \infty

与

x \to - \infty

各算一次。

同一侧水平与斜只能有一条，别重复计数。

例求

y = \frac{x ^{2}}{x - 1}

的全部渐近线。

第一步（铅直），分母零点是

x = 1

。真的算一次极限：分子趋于

1

、分母趋于

0

，故

x \to 1 lim \frac{x ^{2}}{x - 1} = \infty,

所以

x = 1

是铅直渐近线。

第二步（斜，先求 $k$ ）：

k = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to \infty lim \frac{x ^{2}}{x ( x - 1 )} = 1.

第三步（再求 $b$ ，要把 $k x$ 减掉）：

b = x \to \infty lim (\frac{x ^{2}}{x - 1} - x) = x \to \infty lim \frac{x ^{2} - x ( x - 1 )}{x - 1} = x \to \infty lim \frac{x}{x - 1} = 1.

所以斜渐近线是

y = x + 1

。

第四步（水平），

k = 1 \neq = 0

，同一侧只能有一条，水平渐近线就不必再找了。

共两条。

判根的个数：分区间，查两端

第一步：求

f^{'}

，定出各单调区间。

第二步：每个区间查两端的值或极限。

第三步：两端异号记一个根，同号记零个。

第四步：加起来。含参数时按极值的正负分类讨论。

例讨论方程

x^{3} - 3 x = k

的实根个数。

第一步，令

f (x) = x^{3} - 3 x

，问题就变成「水平线

y = k

与这条曲线交几次」。

第二步，由前面两条：

f

在

(- \infty, - 1)

上增、

(- 1, 1)

上减、

(1, + \infty)

上增；极大值

f (- 1) = 2

，极小值

f (1) = - 2

。

第三步，查每段两端的走向：第一段从

- \infty

升到

2

，第二段从

2

降到

- 2

，第三段从

- 2

升到

+ \infty

。每段都单调，所以每段最多一个根。

第四步，按

k

落在哪里分情况：

k 的范围 ∣ k ∣ > 2 ∣ k ∣ = 2 ∣ k ∣ < 2 根的个数 123

∣ k ∣ = 2

时水平线正好穿过极值点，那里是两个根（有一个是「擦过去」的二重根）。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

应用题不写取值范围

范围决定三件事：端点算不算、哪些根要舍、「唯一驻点」在哪个区间上唯一。

跳过这一行，后面每一步的依据都是悬空的。

例例. 周长

20

的矩形，面积最大时长宽各取多少？

设一边

x

，

S = x (10 - x)

，

S^{'} = 10 - 2 x = 0

得

x = 5

。

不写范围的话，这个 $5$ 说明不了什么：万一题目还限定

x \geq 6

呢？那

x = 5

根本不在考虑范围里，最大值要在端点

x = 6

处取。

写了范围

0 < x < 10

（两条边都得为正）之后才站得住：区间内只有这一个驻点，且

S^{''} = - 2 < 0

，所以它就是最大值点，面积

25

。

这一行决定三件事——端点算不算、哪些根要舍、「唯一驻点」是在哪个区间上唯一。

把分母的零点直接当铅直渐近线

\frac{sin x}{x}

在

0

处分母为零，极限却是

1

，不是渐近线。

判据是单侧极限是不是无穷，必须真的算一次。

算斜渐近线的 $b$ 时忘了减 $k x$

b = lim [f (x) - k x]

，不是

lim f (x)

（后者通常是无穷）。

次序也不能反：先求

k

，再把

k x

减掉求

b

。

例例.

y = \frac{x ^{2}}{x - 1}

，已求得

k = 1

，继续求

b

。

错：

b = x \to \infty lim \frac{x ^{2}}{x - 1} = \infty

——得不到一个数，于是以为没有斜渐近线。

对：

b

的定义里要先把

k x

减掉：

b = x \to \infty lim (\frac{x ^{2}}{x - 1} - x) = x \to \infty lim \frac{x ^{2} - x ( x - 1 )}{x - 1} = x \to \infty lim \frac{x}{x - 1} = 1.

减掉

k x

正是为了把那个发散的主部消掉，剩下的才是截距。所以斜渐近线是

y = x + 1

。

$x \to + \infty$ 与 $x \to - \infty$ 只算一边

arctan x

有两条水平渐近线，

y = \pm \frac{π}{2}

。

两侧要各算一次。这与第一章「

x \to \infty

要分两侧」是同一条规矩。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 渐近线

练 1

曲线

y = \frac{1}{x - 2}

的铅直渐近线是（）。

A $x = 2$
B $y = 2$
C $x = 0$
D $y = 0$

练 2

曲线

y = \frac{1}{x}

的水平渐近线是

y =

________。

练 3

y = arctan x

的水平渐近线共有（）条。

A $0$
B $1$
C $2$
D $3$

练 4

求斜渐近线时，

k = x \to \infty lim f ( x )

，横线上填 ________。

第二组 · 应用题

练 5

用长为

20

的篱笆围矩形，面积最大时一边长为 ________。

练 6

曲线

y = \frac{x ^{2}}{x - 1}

的斜渐近线是（）。

A $y = x$
B $y = x + 1$
C $y = x - 1$
D没有斜渐近线

练 7

f (x) = x^{3} - 3 x

在

(- \infty, - 1)

上是单调 ________ 的（填「增加」或「减少」）。

练 8

作函数图形时，下列哪一步最容易被漏掉（）。

A求渐近线
B求定义域
C求一阶导
D求二阶导

第三组 · 根的个数

练 9

方程

x^{3} - 3 x = 1

的实根个数是（）。

A $1$
B $2$
C $3$
D $0$

练 10

方程

x^{3} - 3 x = a

恰有两个实根时，

a =

（）。

A $0$
B $\pm 1$
C $\pm 3$
D $\pm 2$

练 11

曲线

y = \frac{x ^{2}}{x - 1}

的铅直渐近线是

x =