导数应用：最值、渐近线、作图

§2.10 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.59 分/卷近 11 年平均

9/11 年出现年份

1.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）函数的单调性与极值曲线的凹凸性与拐点

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 最值与极值的区别：闭区间上还必须比较端点处的值★ 要懂

极值是局部的概念，最值是整体的概念，二者不能混为一谈。在闭区间

[a, b]

上，连续函数的最值一定存在，其候选点为驻点 $\cup$ 不可导点 $\cup$ 端点；除极值点以外，端点也常常是最大值或最小值所在之处。有一种较快的做法：如果函数在区间内部可导，并且只有唯一的驻点，同时能判定它是极大值点，那么最大值就在这个驻点处取得。能判定它是极小值点时，最小值也在这里取得。极值性质可以用二阶导数来判定，也可以用问题本身的性质来判定。这时不必再与端点比较。必须注意：内部可导与驻点唯一这两个条件都不能省去。如果区间内部还有不可导点，那么即使驻点唯一，最值也可能在端点取得。

证明 / 推导

候选点为什么只有这三类. 先证费马引理，整张候选点表都以它为依据。
费马引理. 设

x_{0}

是区间的内点，

f

在

x_{0}

处可导，并且

x_{0}

是

f

的极值点，那么

f^{'} (x_{0}) = 0

。
证不妨设

x_{0}

是极大值点。由极大值的定义，存在

δ > 0

，使当

∣Δ x ∣ < δ

时有

f (x_{0} + Δ x) \leq f (x_{0})

，即

f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) \leq 0

。当

0 < Δ x < δ

时分母为正，故

\frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} \leq 0.

令

Δ x \to 0^{+}

，由极限的保号性得右导数

f_{+}^{'} (x_{0}) \leq 0

。当

- δ < Δ x < 0

时分母为负而分子仍不超过零，故上面的商大于或等于零；令

Δ x \to 0^{-}

，得左导数

f_{-}^{'} (x_{0}) \geq 0

。因

f

在

x_{0}

可导，左右导数相等，于是

0 \leq f_{-}^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) = f_{+}^{'} (x_{0}) \leq 0,

故

f^{'} (x_{0}) = 0

。极小值的情形同理可证。
候选点表的完备性. 设

f

在

[a, b]

上连续。由最值定理，

f

在

[a, b]

上取到最大值，设它在

x_{0}

处取得。如果

x_{0} = a

或

x_{0} = b

，那么

x_{0}

是端点。如果

x_{0} \in (a, b)

，那么

f (x_{0})

同时也是极大值。此时若

f

在

x_{0}

可导，由费马引理得

f^{'} (x_{0}) = 0

，即

x_{0}

是驻点。若

f

在

x_{0}

不可导，则

x_{0}

是不可导点。这三类之外再无别的可能。最小值同理。这就证明了只需在驻点、不可导点与端点处比较函数值。
条件不能减弱. 上面用到了闭区间与连续这两个条件。如果区间不是闭的，最值可能根本不存在，例如

f (x) = x

在

(0, 1)

上既无最大值也无最小值。在

(- \infty, + \infty)

上也是如此，那里往往只有极值可言，而没有最值。因此比较端点处的函数值这一步，以区间为闭区间、函数为连续函数作前提。

■

举例说明

例（数三 2019）. 已知方程

x^{5} - 5 x + k = 0

有

3

个不同的实根，求

k

的取值范围。
解. 令

f (x) = x^{5} - 5 x + k

，则

f^{'} (x) = 5 x^{4} - 5 = 5 (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

，驻点为

x = \pm 1

。

f

在

x = - 1

处取极大值

f (- 1) = 4 + k

，在

x = 1

处取极小值

f (1) = k - 4

；又当

x \to - \infty

时

f \to - \infty

，当

x \to + \infty

时

f \to + \infty

。
因此，连续函数恰有

3

个不同实根

⟺

极大值

> 0

且极小值

< 0

，即

4 + k > 0

且

k - 4 < 0

，由此得

- 4 < k < 4

。

■

讨论实根个数的一般方法是：先用

f^{'}

定出极值，再由极大值与极小值的符号确定参数的范围。

2. 斜渐近线公式的由来：先求斜率 $a$ ，再求截距 $b$ ★★ 必会

曲线有斜渐近线

y = a x + b

，其中

a \neq = 0

，是指当

x \to \infty

时

f (x) - (a x + b) \to 0

。由此可以依次求出

a, b

：先求

a = lim \frac{f ( x )}{x}

，再求

b = lim [f (x) - a x]

。只有这两个极限都存在，斜渐近线才存在；如果只求出

a

而不求

b

，答案就不完整。对于分式函数，用多项式除法往往比直接求极限更快。

证明 / 推导

公式的推导. 设

y = a x + b

是曲线当

x \to + \infty

时的渐近线，则

f (x) - (a x + b) \to 0

。两边同除以

x

，得

\frac{f ( x )}{x} - a - \frac{b}{x} \to 0 ⟹ a = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} .

求出

a

以后，再由

f (x) - a x \to b

得

b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x]

。

■

举例说明

例. 求

y = \frac{2 x ^{2} + 3 x - 1}{x + 1}

的斜渐近线。
解（用多项式除法）. 由

2 x^{2} + 3 x - 1 = (x + 1) (2 x + 1) - 2

，故

y = 2 x + 1 - \frac{2}{x + 1}

。当

x \to \infty

时余项

\to 0

，所以斜渐近线为

y = 2 x + 1

。
再用公式核对：

a = lim \frac{2 x ^{2} + 3 x - 1}{x ( x + 1 )} = 2

，

b = lim [y - 2 x] = lim \frac{x - 1}{x + 1} = 1

，结果相同。

■

3. 三类渐近线都要检查，两端分别讨论：同一侧的水平渐近线与斜渐近线不能并存★★ 必会

求渐近线时三种都要检查：铅直渐近线，出现在函数趋于无穷之处，多在分母为零或对数的真数为零的点；水平渐近线，即当

x \to \pm \infty

时

f \to A

；斜渐近线，即

a, b

这两个极限都存在。这里有两点必须注意：①

x \to + \infty

与

x \to - \infty

必须分别讨论，两侧的渐近线可能不同；② 同一侧只要有水平渐近线，就不会再有斜渐近线，因为有水平渐近线时

lim f / x = 0

，从而

a = 0

。

证明 / 推导

证. 先证结论 ②。设当

x \to + \infty

时曲线有水平渐近线

y = A

，即

lim_{x \to + \infty} f (x) = A

，其中

A

为有限数。因为

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0

，由乘积的极限法则得

x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = x \to + \infty lim f (x) \cdot x \to + \infty lim \frac{1}{x} = A \cdot 0 = 0,

即斜率

a = 0

。而斜渐近线

y = a x + b

按定义要求

a \neq = 0

，否则它就是一条水平直线。因此同一侧不可能既有水平渐近线又有斜渐近线。

x \to - \infty

的一侧同理。

■

反过来的说法并不成立：由

a = 0

推不出有水平渐近线。事实上，取

f (x) = ln x

，则

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0,

故

a = 0

；但

lim_{x \to + \infty} (ln x - 0 \cdot x) = + \infty

，截距

b

不存在。可见这条曲线在右端既无水平渐近线，也无斜渐近线。所以算出

a = 0

以后，还须再看

f

本身有没有有限的极限。

最后说明结论 ① 的理由。水平渐近线与斜渐近线都由

x \to + \infty

或

x \to - \infty

时的极限来定义，而这两个极限彼此独立。它们可以一个存在而另一个不存在，也可以都存在而不相等。例如

f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}

，当

x \to + \infty

时它趋于

1

，当

x \to - \infty

时它趋于

- 1

，两端的水平渐近线分别为

y = 1

与

y = - 1

，共两条。如果只算一端就下结论，便会漏掉另一条。

举例说明

例（数三 2012）. 求曲线

y = \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1}

的渐近线的条数。
解. 三类逐一检查。
水平渐近线：由

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = 1

，得

y = 1

。
铅直渐近线：分母的零点为

x = \pm 1

。在

x = 1

处

lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} + x}{x ^{2} - 1} = \infty

，故它是铅直渐近线；在

x = - 1

处

\frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x}{x - 1} \to \frac{1}{2}

，这是可去间断点，不是渐近线。
斜渐近线：已经有水平渐近线，两端都有

f / x \to 0

，即

a = 0

，所以没有斜渐近线。合计

2

条。

■

必须注意：

x = - 1

处分子分母同时为零而被约去，不要误认为是铅直渐近线。

4. 实际最值问题：建立目标函数、写清定义域、验证所得为最值★ 要懂

解应用最值问题的规范步骤是：①设出变量，由约束条件建立目标函数，并且必须写清定义域，例如长度、半径应满足

> 0

；②求驻点；③验证所求的确是最值，当区间内只有唯一驻点时，可用二阶导数或问题本身的性质说明它是极大值或极小值，从而就是最值。定义域没有写清，或者没有验证是最值，都要扣分。

举例说明

例（数三 1998，经济最值）. 一批新酒现在（

t = 0

）售出，总收入为

R_{0}

；若窖藏

t

年后按陈酒的价格出售，则第

t

年末的收入为

R = R_{0} e^{\frac{2}{5} t}

。设银行年利率为

r

，并按连续复利计算，问窖藏多少年后售出可使现值最大？并求当

r = 0.06

时的

t

。
解. ①建立目标函数：按连续复利计算，第

t

年末的收入

R

的现值为

A (t) = R e^{- r t} = R_{0} e^{\frac{2}{5} t - r t} (t > 0)

。
②求驻点：

A^{'} (t) = A (t) (\frac{1}{5 t} - r)

，令它

= 0

，得

\frac{1}{5 t} = r

，即

t = \frac{1}{25 r ^{2}}

。
③验证是最大值：当

t < \frac{1}{25 r ^{2}}

时

A^{'} > 0

，其后

A^{'} < 0

，故在该驻点处取得最大值。当

r = 0.06

时，

t = \frac{1}{25 \times 0.0 6 ^{2}} = \frac{100}{9} \approx 11

（年）。

■

这三步就是数三经济类最值题的标准解法：建立目标函数并写清定义域

t > 0

，求驻点，验证最值。

💡 小知识

省铁皮的易拉罐问题是道经典题，数学上的最优解是高等于底面直径，也就是一个方方正正的胖罐子；可现实中的可乐罐明显更高更瘦。原因在于上下盖的封边更费料也更贵，还要照顾握持的手感。数学上的最优和工程上的最优，在这里就分道扬镳了。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

f (x) = x^{3} - 3 x

在闭区间

[0, 2]

上的最大值与最小值。难度 1

候选点：驻点由

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0

得

x = \pm 1

，落在

[0, 2]

内的只有

x = 1

；无不可导点；端点

x = 0, 2

。比较函数值：

f (0) = 0, f (1) = 1 - 3 = - 2, f (2) = 8 - 6 = 2.

故最大值为

f (2) = 2

，最小值为

f (1) = - 2

。

例 2 求曲线

y = x + \frac{1}{x}

的渐近线。难度 1

定义域

x \neq = 0

。
铅直：

x \to 0 lim (x + \frac{1}{x}) = \infty

，故

x = 0

是铅直渐近线。
斜渐近线：

a = x \to \infty lim \frac{y}{x} = lim (1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 1

，

b = x \to \infty lim (y - x) = lim \frac{1}{x} = 0

，故

y = x

。
因

y \to \infty

，无水平渐近线。综上：铅直

x = 0

，斜渐近线

y = x

。

例 3 做一个容积为

32 m^{3}

、底面为正方形的无盖长方体水箱。问底边长

x

、高

h

为多少时，用料（表面积）最省？难度 2

建立目标函数并写定义域. 设底边

x > 0

、高

h

，容积

x^{2} h = 32

，故

h = \frac{32}{x ^{2}}

。无盖表面积（底 + 四侧）：

S (x) = x^{2} + 4 x h = x^{2} + 4 x \cdot \frac{32}{x ^{2}} = x^{2} + \frac{128}{x}, x > 0.

求最小.

S^{'} (x) = 2 x - \frac{128}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{3} = 64 \Rightarrow x = 4

（唯一驻点）。又

S^{''} (x) = 2 + \frac{256}{x ^{3}} > 0

，故

x = 4

为极小、亦即最小。
此时

h = \frac{32}{16} = 2

，最小表面积

S = 16 + \frac{128}{4} = 48 m^{2}

。

例 4 求曲线

y = x e^{1/ x}

的渐近线。难度 2

定义域

x \neq = 0

。
铅直：

x \to 0^{+}

时

e^{1/ x} \to + \infty

，

y \to + \infty

，故

x = 0

是铅直渐近线（

x \to 0^{-}

时

y \to 0

，不影响结论）。
斜渐近线：

a = x \to \infty lim \frac{y}{x} = x \to \infty lim e^{1/ x} = 1, b = x \to \infty lim (x e^{1/ x} - x) = x \to \infty lim \frac{e ^{1/ x} - 1}{1/ x} = 1

（末式令

u = \frac{1}{x} \to 0

，

\frac{e ^{u} - 1}{u} \to 1

）。故斜渐近线

y = x + 1

，两端相同。无水平渐近线。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

曲线

y = x e^{\frac{1}{x}}

（　　）。

A无水平渐近线，无铅直渐近线
B有水平渐近线，有铅直渐近线
C无水平渐近线，有铅直渐近线
D有水平渐近线，无铅直渐近线

2025 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

设

g (x)

是函数

f (x) = \frac{1}{2} ln \frac{3 + x}{3 - x}

的反函数，则曲线

y = g (x)

的渐近线方程为______。

2022 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

设函数

y (x)

是微分方程

y^{'} + \frac{1}{2 x} y = 2 + x

满足条件

y (1) = 3

的解，求曲线

y = y (x)

的渐近线.

2021 年 · 数三 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x) = a x - b ln x (a > 0)

有

2

个零点，则

\frac{b}{a}

的取值范围是（　　）。

A $(e, + \infty)$ 。
B $(0, e)$ 。
C $(0, \frac{1}{e})$ 。
D $(\frac{1}{e}, + \infty)$ 。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

f (x) = x^{3} - 3 x

在

[0, 2]

上的最大值为（　）

A $2$
B $0$
C $- 2$
D $8$

练习 2 · 选择题

曲线

y = \frac{1}{x - 1}

的铅直渐近线为（　）

A $x = 1$
B $y = 1$
C $x = 0$
D $y = 0$

练习 3 · 填空题

曲线

y = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}

的水平渐近线为 ____。

练习 4 · 填空题

曲线

y = x + \frac{1}{x}

的斜渐近线为 ____。

练习 5 · 填空题

函数

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

在

[0, 3]

上的最小值为 ____。

练习 6 · 选择题

曲线

y = x^{2} + 2 x

的渐近线共有（　）条。

A $0$
B $1$
C $2$
D $3$

练习 7 · 填空题

某商店每年销售某种商品

10000

件，分批进货；每次进货的固定费用为

50

元。商品均匀售出，平均库存量为每批进货量的一半，每件商品每年的库存费为

4

元。要使一年的进货费与库存费之和最小，每批应进货 ____ 件。

练习 8 · 解答题

设

f (x) = \frac{( x - 1 ) ^{3}}{( x + 1 ) ^{2}}

。

(1) 求

f (x)

的单调区间与极值；

(2) 说明

x = 1

是

f (x)

的驻点但不是极值点；

(3) 求曲线

y = f (x)

的全部渐近线。

2020 年 · 数三 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

曲线

x + y + e^{2 x y} = 0

在点

(0, - 1)

处的切线方程为 ______.

2019 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

已知方程

x^{5} - 5 x + k = 0

有

3

个不同的实根，则

k

的取值范围是（　　）

A $(- \infty, - 4)$
B $(4, + \infty)$
C ${- 4, 4}$
D $(- 4, 4)$

导数应用：最值、渐近线、作图

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 最值与极值的区别：闭区间上还必须比较端点处的值★ 要懂

2. 斜渐近线公式的由来：先求斜率 a，再求截距 b★★ 必会

3. 三类渐近线都要检查，两端分别讨论：同一侧的水平渐近线与斜渐近线不能并存★★ 必会

4. 实际最值问题：建立目标函数、写清定义域、验证所得为最值★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

2. 斜渐近线公式的由来：先求斜率 $a$ ，再求截距 $b$ ★★ 必会