曲率与曲率半径

高等数学 · 一元函数微分学

这一条要先会：高阶导数

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 曲率：弯得有多厉害

二阶导的符号告诉我们曲线往哪边弯，曲率回答的是弯得有多厉害。

直观的定义：沿曲线走过一段弧长

Δ s

，切线方向转过的角度为

Δ α

，则平均曲率为

\frac{Δ α}{Δ s}

；令

Δ s \to 0

得该点的曲率

K = \frac{d α}{d s} .

「同样走一小段，方向转得越多，弯得越厉害」——这就是曲率的全部含义。

对

y = f (x)

，算出来的公式是

K = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{' 2} ) ^{3/2}} .

三件事要注意：

① 分子带绝对值，曲率是非负的；往哪边弯由

y^{''}

的符号另行说明。

② 分母的指数是 $\frac{3}{2}$ ，不是

2

也不是

\frac{1}{2}

。

③ 分母里是 $y^{'}$ 的平方，一撇不是两撇。

这三处正是公式抄错的全部去处。

2. 曲率半径与曲率圆

曲率的倒数称为曲率半径：

ρ = \frac{1}{K} = \frac{( 1 + y ^{' 2} ) ^{3/2}}{∣ y ^{''} ∣} .

在该点的凹侧法线上取一点，使它到该点的距离恰为

ρ

，这个点叫曲率中心；以它为圆心、

ρ

为半径的圆叫曲率圆（或密切圆）。

曲率圆与曲线在该点有三件事相同：过同一点、切线相同、曲率相同。所以它是在那一点「贴得最紧」的圆——比切线还多贴了一阶。

由上一条，半径为

R

的圆处处曲率为

\frac{1}{R}

，所以曲率半径就是「在这一点上，曲线弯得像半径多大的圆」。

曲率中心要落在凹的那一侧，这是判断圆心位置时唯一要想的事；写错了方向，圆会跑到曲线外面去。

图上那个圆就是密切圆：圆心落在凹的那一侧的法线上，半径是曲率的倒数：

3. 参数方程与几处要留神的地方

曲线由参数方程

{x = φ (t) y = ψ (t)

给出时

K = \frac{∣ φ ^{'} ψ ^{''} - φ ^{''} ψ ^{'} ∣}{( φ ^{' 2} + ψ ^{' 2} ) ^{3/2}} .

形状和直角坐标那个一致：分子是二阶的信息，分母是弧长的

\frac{3}{2}

次方。

基础阶段真正要记住的是三条实用结论：

① 直线的曲率恒为 $0$ （

y^{''} = 0

）。

② 半径 $R$ 的圆曲率恒为 $\frac{1}{R}$ 。

③ 曲率最大处弯得最厉害，曲率半径最小。 求「曲率最大的点」这类题，就是把

K

写成

x

的函数再求最值——回到上一节的套路。

另外要分清三个词：曲率

K

、曲率半径

ρ = \frac{1}{K}

、曲率圆。题目问哪个就答哪个，问曲率半径却答曲率，是最常见的答非所问。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求曲率：算两阶导，代公式

第一步：求

y^{'}

与

y^{''}

，在指定点处代出具体数值。

第二步：代入

K = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{' 2} ) ^{3/2}}

——分子带绝对值、分母是

y^{'}

的平方、指数

\frac{3}{2}

。

第三步：题目问曲率半径就再取倒数。

第四步：核对问的是哪一个词（曲率 / 曲率半径 / 曲率圆）。

例求

y = x^{2}

在原点处的曲率。

第一步，求两阶导：

y^{'} = 2 x

，

y^{''} = 2

。

第二步，代入

x = 0

：

y^{'} (0) = 0

，

y^{''} (0) = 2

。

第三步，代公式：

K = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{' 2} ) ^{3/2}} = \frac{2}{( 1 + 0 ) ^{3/2}} = 2.

分母那个

3/2

次方最容易写掉，它来自弧长微元，不是凑的。

求曲率圆：圆心在凹侧的法线上

第一步：算出该点的

K

与

ρ = \frac{1}{K}

。

第二步：写出该点的法线方向（斜率

- \frac{1}{y ^{'}}

）。

第三步：沿法线往凹的一侧量出

ρ

，得曲率中心。

y^{''} > 0

往上，

y^{''} < 0

往下。

第四步：写出圆的方程，画草图核一下方向。

例承上，求

y = x^{2}

在原点处的曲率圆。

第一步，曲率半径是曲率的倒数：

ρ = \frac{1}{K} = \frac{1}{2}

。

第二步，定法线方向。原点处切线斜率为

0

（就是

x

轴），所以法线是

y

轴。

第三步，定在哪一侧。

y^{''} > 0

，曲线是凹的（开口朝上），圆心必须落在凹的那一侧，即原点正上方。

第四步，沿

y

轴向上走

ρ = \frac{1}{2}

，得圆心

(0, \frac{1}{2})

，曲率圆为

x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} .

若把圆心放到下方（凸侧），圆会穿到曲线另一边去——画一下就知道不对。

求曲率最大的点：把 $K$ 当函数求最值

第一步：把

K

写成

x

的函数。

第二步：先看能不能直接判断——分子为常数时，只需让分母最小。

第三步：不行就求导找驻点，按上一节的办法求最值。

第四步：答出点的坐标与最大曲率值。

例求抛物线

y = x^{2}

上曲率最大的点。

第一步，把

K

写成

x

的函数：

K (x) = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{' 2} ) ^{3/2}} = \frac{2}{( 1 + 4 x ^{2} ) ^{3/2}} .

第二步，分子是常数，所以

K

最大等价于分母最小——不必急着求导。

第三步，分母

(1 + 4 x^{2})^{3/2}

随

x^{2}

单调增，在

x = 0

处取最小值

1

。

第四步，故曲率最大的点是顶点

(0, 0)

，最大曲率

K = 2

。

几何上也讲得通：抛物线在顶点处弯得最厉害，往两边越来越直。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

公式抄错三处

K = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{' 2} ) ^{3/2}}

：分子带绝对值、分母里是 $y^{'}$ 的平方、指数是 $\frac{3}{2}$ 。

记法：分子管「转多少」用二阶导，分母管「走多长」用一阶导。