曲率与曲率半径、曲率圆

§2.10 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.40 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

1.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）高阶导数隐函数与参数方程求导

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 曲率公式的推导：由 $tan α = y^{'}$ 与弧微分 $d s$ 导出★★ 必会

曲率

K = \frac{d α}{d s}

表示单位弧长上切线转角的大小。为把它化为便于计算的公式，需要用到两个关系式：切线倾角

α = arctan y^{'}

与弧微分

d s = 1 + y^{' 2} d x

。两式相除，分母中就出现了

3/2

次幂。

证明 / 推导

证. 由

tan α = y^{'}

得

α = arctan y^{'}

，故

d α = \frac{y ^{''}}{1 + y ^{' 2}} d x .

又

d s = 1 + y^{' 2} d x

。以上两式相除，得

K = \frac{d α}{d s} = \frac{\frac{y ^{''}}{1 + y ^{' 2}}}{1 + y ^{' 2}} = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{' 2} ) ^{3/2}} .

这里分母

(1 + y^{' 2})^{3/2} = d α 分母 (1 + y^{' 2}) \cdot d s (1 + y^{' 2})^{1/2}

。

■

2. 两个特例：直线 $K = 0$ 与圆 $K = 1/ R$ ，可用于记忆和检验★ 要懂

任何曲率公式都应当经得起两个特例的检验。直线处处不弯曲（

y^{''} = 0 \Rightarrow K = 0

，

ρ \to \infty

）；圆上各点弯曲程度相同，且半径越小弯曲得越厉害（

K = \frac{1}{R}

）。如果解题时算出的曲率与半径越小的圆弯曲得越厉害这一事实相矛盾，那么多半是计算有误。

证明 / 推导

验证圆 $K = 1/ R$ . 取参数式

x = R cos t, y = R sin t

，则

φ^{'} = - R sin t, φ^{''} = - R cos t, ψ^{'} = R cos t, ψ^{''} = - R sin t

。于是

K = \frac{∣ φ ^{'} ψ ^{''} - ψ ^{'} φ ^{''} ∣}{( φ ^{' 2} + ψ ^{' 2} ) ^{3/2}} = \frac{∣ R ^{2} sin ^{2} t + R ^{2} cos ^{2} t ∣}{( R ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{R ^{2}}{R ^{3}} = \frac{1}{R} .

所得结果与点在圆上的位置无关，即圆上各点的曲率处处相等，这与圆的对称性是一致的。

■

3. 曲率圆（密切圆）：三步求法及其物理意义★★ 必会

设

K \neq = 0

，称

ρ = \frac{1}{K}

为曲率半径。以

ρ

为半径，在曲线凹侧的法线上取与该点相距 $ρ$ 的点为圆心所作的圆，称为曲率圆，也称密切圆。它与曲线在该点相切，并且曲率相同，即二者在该点二阶密合。求曲率圆可分三步：①求出

K

，从而

ρ = 1/ K

；②确定圆心，即由该点沿凹侧法线方向移动

ρ

；③写出圆的方程。在物理上，

ρ

决定质点沿曲线运动时的法向加速度

a_{n} = \frac{v ^{2}}{ρ}

。

举例说明

例. 求

y = x^{2}

在原点的曲率圆。
解. 在原点处

y^{'} = 0, y^{''} = 2

，故

K = 2

，

ρ = \frac{1}{2}

。曲线开口向上，凹侧朝上，该点处的法线为

y

轴，因此圆心为

(0, \frac{1}{2})

。所求曲率圆为

x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} .

■

4. 曲率最大点的求法：求 $K (x)$ 的极值

求曲线上曲率最大或最小的点，就是求函数

K (x)

的极值。为此先写出

K (x)

，再令

K^{'} (x) = 0

求驻点。值得注意的是，

K

的大小不只取决于

∣ y^{''} ∣

。由分母

(1 + y^{' 2})^{3/2}

可见，曲线越陡（ $∣ y^{'} ∣$ 越大），曲率反而越小，因此抛物线在顶点（

y^{'} = 0

）处最弯曲。

举例说明

例. 求曲线

y = ln x (x > 0)

上曲率最大的点。
解. 由

y^{'} = \frac{1}{x}, y^{''} = - \frac{1}{x ^{2}}

得

K (x) = \frac{1/ x ^{2}}{( 1 + 1/ x ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{3/2}} .

求导得

K^{'} (x) = \frac{1 - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{5/2}}

，令

1 - 2 x^{2} = 0

，解得

x = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

。因

K^{'}

在该点左侧为正、右侧为负，故曲率在此取得极大值。所以曲率最大的点的横坐标为

\frac{2}{2}

。

■

💡 小知识

铁路和高速公路的设计师从不让直线直接接上圆弧，中间总要插入一段缓和曲线，也叫回旋线或羊角螺线。它的曲率随弧长线性增长，司机于是可以匀速转动方向盘，从不弯的直线（

K = 0

）平顺过渡到曲率固定的圆弯。坐车时不至于被甩得东倒西歪，靠的就是这一点关于曲率的讲究。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求抛物线

y = x^{2}

在点

(1, 1)

处的曲率。难度 1

y^{'} = 2 x, y^{''} = 2

。在

x = 1

处

y^{'} = 2

，代入显函数曲率公式：

K = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{' 2} ) ^{3/2}} = \frac{2}{( 1 + 4 ) ^{3/2}} = \frac{2}{5 ^{3/2}} = \frac{2}{5 5} = \frac{2 5}{25} .

例 2 求曲线

y = sin x

在点

x = \frac{π}{2}

处的曲率与曲率半径。难度 1

y^{'} = cos x, y^{''} = - sin x

。在

x = \frac{π}{2}

处

y^{'} = 0, y^{''} = - 1

：

K = \frac{∣ - 1∣}{( 1 + 0 ) ^{3/2}} = 1, ρ = \frac{1}{K} = 1.

（正弦曲线在波峰处最弯，曲率恰为

1

。）

例 3 求椭圆

{x = 2 cos t, y = sin t,

在

t = 0

（即点

(2, 0)

，长轴端点）处的曲率。难度 2

用参数式曲率公式

K = \frac{∣ φ ^{'} ψ ^{''} - ψ ^{'} φ ^{''} ∣}{( φ ^{' 2} + ψ ^{' 2} ) ^{3/2}}

。

φ^{'} = - 2 sin t, φ^{''} = - 2 cos t, ψ^{'} = cos t, ψ^{''} = - sin t .

在

t = 0

：

φ^{'} = 0, φ^{''} = - 2, ψ^{'} = 1, ψ^{''} = 0

。故

K = \frac{∣0 \cdot 0 - 1 \cdot ( - 2 ) ∣}{( 0 ^{2} + 1 ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{2}{1} = 2.

（长轴端点是椭圆最弯处，

ρ = \frac{1}{2}

。）

例 4 求抛物线

y = \frac{1}{2} x^{2}

在原点处的曲率、曲率半径与曲率圆方程。难度 2

y^{'} = x, y^{''} = 1

。在原点

x = 0

处

y^{'} = 0

：

K = \frac{∣1∣}{( 1 + 0 ) ^{3/2}} = 1, ρ = \frac{1}{K} = 1.

曲线在原点开口向上（凹侧朝上），曲率中心在

y

轴上、距原点

ρ = 1

处，即

(0, 1)

。故曲率圆为

x^{2} + (y - 1)^{2} = 1.

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数二 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

曲线

x^{2} + 23 x y + y^{2} = 1

在点

(0, 1)

处的曲率半径为 ___。

2024 年 · 数二 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

曲线

y^{2} = x

在点

(0, 0)

处的曲率圆方程为 ___。

2019 年 · 数二 · 第 6 题 · 选择题 · 4 分

已知

f (x), g (x)

二阶可导且二阶导函数在

x = a

处连续，则

x \to a lim \frac{f ( x ) - g ( x )}{( x - a ) ^{2}} = 0

是「曲线

y = f (x)

和

y = g (x)

在

x = a

对应的点处相切且曲率相等」的（　　）

A充分非必要条件
B充分必要条件
C必要非充分条件
D既非充分又非必要条件

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

半径为

3

的圆的曲率

K =

（　）

A $3$
B $\frac{1}{3}$
C $\frac{1}{9}$
D $9$

练习 2 · 选择题

直线

y = 2 x + 1

的曲率

K =

（　）

A $0$
B $2$
C $1$
D $+ \infty$

练习 3 · 填空题

曲线

y = cos x

在

x = 0

处的曲率

K =

____。

练习 4 · 填空题

抛物线

y = x^{2}

在原点处的曲率半径

ρ =

____。

练习 5 · 填空题

曲线

y = e^{x}

在点

(0, 1)

处的曲率

K =

____。

练习 6 · 选择题

曲线

y = ln x (x > 0)

上曲率最大的点处，曲率

K

的值为（　）。

A $\frac{1}{2}$
B $\frac{3}{9}$
C $\frac{2}{3}$
D $\frac{2 3}{9}$

练习 7 · 填空题

曲线

x^{2} + x y + y^{2} = 3

在点

(1, 1)

处的曲率

K =

____。

练习 8 · 解答题

设曲线

C

的参数方程为

{x = e^{t} cos t, y = e^{t} sin t, - \infty < t < + \infty.

(1) 求

C

在参数为

t

的点处的曲率

K (t)

与曲率半径

ρ (t)

；

(2) 求

C

在

t = 0

对应点处的曲率圆方程；

(3) 记

r (t)

为

C

上参数为

t

的点到原点的距离，证明

ρ (t) = 2 r (t)

。

2018 年 · 数二 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

曲线

{x = cos^{3} t, y = sin^{3} t

在

t = \frac{π}{4}

对应点处的曲率为 ___。

2016 年 · 数二 · 第 5 题 · 选择题 · 4 分

设函数

f_{i} (x)

（

i = 1, 2

）具有二阶连续导数，且

f_{i}^{''} (x_{0}) < 0

（

i = 1, 2

）．若两条曲线

y = f_{i} (x)

（

i = 1, 2

）在点

(x_{0}, y_{0})

处具有公切线

y = g (x)

，且在该点处曲线

y = f_{1} (x)

的曲率大于曲线

y = f_{2} (x)

的曲率，则在

x_{0}

的某个邻域内，有（　　）

A $f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq g (x)$
B $f_{2} (x) \leq f_{1} (x) \leq g (x)$
C $f_{1} (x) \leq g (x) \leq f_{2} (x)$
D $f_{2} (x) \leq g (x) \leq f_{1} (x)$

2014 年 · 数二 · 第 4 题 · 选择题 · 4 分

曲线

{x = t^{2} + 7, y = t^{2} + 4 t + 1

上对应于

t = 1

的点处的曲率半径是（　　）

A $\frac{10}{50}$ .
B $\frac{10}{100}$ .
C $1010$ .
D $510$ .

曲率与曲率半径、曲率圆

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 曲率公式的推导：由 tanα=y′ 与弧微分 ds 导出★★ 必会

2. 两个特例：直线 K=0 与圆 K=1/R，可用于记忆和检验★ 要懂

3. 曲率圆（密切圆）：三步求法及其物理意义★★ 必会

4. 曲率最大点的求法：求 K(x) 的极值

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 曲率公式的推导：由 $tan α = y^{'}$ 与弧微分 $d s$ 导出★★ 必会

2. 两个特例：直线 $K = 0$ 与圆 $K = 1/ R$ ，可用于记忆和检验★ 要懂

4. 曲率最大点的求法：求 $K (x)$ 的极值