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边际与弹性（导数的经济意义）
高等数学 · 一元函数微分学
这一条要先会：导数与微分的概念
先打基础
一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。
1. 边际：多生产一个单位，总量变化多少
经济学里的「边际某某」就是那个量的导数。
设总成本函数为 C(Q)（Q 是产量），则边际成本为
MC=C′(Q).
同样有边际收益 MR=R′(Q)、边际利润 ML=L′(Q)，其中利润 L(Q)=R(Q)−C(Q)。
边际的经济含义：产量从 Q 再增加一个单位时，总量大约变化 C′(Q)。「大约」来自微分近似
C(Q+1)−C(Q)≈C′(Q)⋅1,
这正是导数概念那一节的 Δy≈f′(x)Δx，取 Δx=1。
所以边际不是什么新东西，只是导数换了个说法，附带一个「每增加一单位」的解释。
另外两个常混的词：平均成本 C=QC(Q) 是除以 Q，边际成本是对 Q 求导。一个是商，一个是导数，完全不同。2. 弹性：相对变化率之比
边际是绝对量的变化，但「成本增加 4 元」这件事的轻重取决于基数。弹性比较的是相对变化（百分比）：
EXEY=Δx→0limΔx/xΔy/y=y′⋅yx.
记法：弹性 = 导数 ×yx。 那个 yx 就是把绝对量换成相对量的换算因子。
最常考的是需求弹性。设需求量 Q 是价格 P 的函数 Q=Q(P)，则
η=EPEQ=Q′(P)⋅QP.
因为价格涨需求通常跌，Q′<0，所以 η 一般为负。许多教材为了方便，把需求弹性定义成它的绝对值 ∣η∣ 再讨论——做题时先看清题目用的是哪个口径，这是这一节最容易出岔子的地方。
弹性的含义：价格上涨 1% 时，需求量大约变化 η%。3. 弹性的三档与它对收益的意义
按 ∣η∣ 与 1 的大小分三档：
∣η∣>1∣η∣=1∣η∣<1高弹性单位弹性低弹性降价总收益增加总收益取最大涨价总收益增加
右边那一栏是这张表的全部用处，道理也不难推。总收益 R=PQ，对 P 求导：
dPdR=Q+PQ′=Q(1+Q′QP)=Q(1+η).
因 Q>0，dPdR 的符号由 1+η 决定：
∣η∣<1 时 1+η>0，涨价则收益增；∣η∣>1 时 1+η<0，涨价则收益减（所以要降价）；∣η∣=1 时导数为零，收益取极值。
这是整节唯一需要推一遍的式子，推过一次，那张表就不用背了。常用结构
这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。
求边际：求导，代值，写含义
第一步：认清题目给的是哪个总量函数（成本、收益、利润）。
第二步：对产量 Q 求导，得到边际函数。
第三步：代入指定的 Q 算出数值。
第四步：写出经济含义那一句——「产量为 ⋯ 时，再多生产一个单位，总 ⋯ 大约增加 ⋯」。只给数字不完整。例设成本函数 C(q)=q2+10q（单位：元），求 q=5 时的边际成本并说明它的含义。
第一步，求导：C′(q)=2q+10。
第二步，代值：C′(5)=2×5+10=20。
第三步，写含义：产量在 5 的基础上再增加一个单位时，总成本大约增加 20 元。
「大约」不能省——边际是导数，它是增量的线性近似；真实增量是 C(6)−C(5)=96−75=21，与 20 很接近但不相等。
求弹性：导数乘以 yx
第一步：写出函数关系，求导（需求弹性是对价格 P 求导）。
第二步：代入指定的 P，算出对应的 Q。
第三步：代入 η=Q′⋅QP。
第四步：看题目用的是 η 还是 ∣η∣，再写含义（「价格上涨 1%，需求下降 ⋯%」）。例设需求函数 Q=100−2P，求 P=20 处的需求价格弹性，并判断弹性大小。
第一步，求导：dPdQ=−2。
第二步，算该点处的 Q：Q=100−2×20=60。
第三步，代公式（导数乘以 QP，别把分子分母写反）：
E=dPdQ⋅QP=−2×6020=−31.
第四步，判断：∣E∣=31<1，属于缺乏弹性——价格每变动 1%，需求只反向变动约 0.33%。
负号表示价格与需求反向变动，判断大小时看的是 ∣E∣。
收益最大：直接求最值最稳
第一步：写出 R=PQ，用需求函数把它化成一个变量的函数。
第二步：求导找驻点。
第三步：用二阶导或唯一性断定是最大值。
第四步：答回题目问的量（价格？产量？最大收益？）。
题目若直接给出弹性，用 ∣η∣=1 更快。例承上（Q=100−2P），求收益最大时的价格。
第一步，把收益写成一个变量的函数：
R=PQ=P(100−2P)=100P−2P2.
第二步，定范围：要 Q>0，故 0<P<50。
第三步，求最值：R′=100−4P=0 得 P=25；R′′=−4<0 是极大值点，区间内唯一，所以就是最大值点。
第四步，算出来：此时 Q=50，最大收益 R=25×50=1250。
也可以用「∣E∣=1 时收益最大」那条结论回验：E=−2×5025=−1，对上了。
基础易错
基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。
把边际成本算成平均成本
边际是求导 C′(Q)，平均是除以 Q 即 QC(Q)。
两者数值常常差得很远。看到「平均」想除法，看到「边际」想求导。例例. C(Q)=Q2+10Q+100。
边际成本是求导：C′(Q)=2Q+10，故 C′(10)=30——再多生产一个单位，成本约增 30。
平均成本是除以 Q：10C(10)=10100+100+100=30。
这个点上两者碰巧都是 30，看不出区别。换个点就分开了：Q=20 时
C′(20)=50,20C(20)=20400+200+100=35.
看到「平均」想除法，看到「边际」想求导。
弹性忘了乘 yx
弹性 = 导数 ×yx，只写导数算的是边际不是弹性。
那个因子正是把绝对变化换成百分比变化的换算，漏了它单位就不对。例例. Q=100−2P，在 P=20 处（此时 Q=60）。
只写导数：dPdQ=−2。这是边际，含义是「价格每涨 1 元，需求减少 2 件」。
弹性要再乘 QP：
E=−2×6020=−31,
含义是「价格每涨 1%，需求约减少 0.33%」。
那个因子干的事就是把「涨 1 元」换成「涨 1%」。漏掉它，单位从百分比变回了件／元，后面「弹性大于 1 吗」这类判断全错。
需求弹性的正负口径混用
η=Q′⋅QP 一般为负；有的教材用 ∣η∣ 讨论。
先看清题目的定义，否则「弹性大于 1」这句话的意思会反过来。只算出数值不写经济含义
这类题问的是「并说明其经济意义」。只给一个数拿不到全分。
边际写「再多一个单位，总量大约变化多少」；弹性写「价格涨 1%，需求大约变化百分之多少」。自己试一试
这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。
第一组 · 边际是导数
练 1
设总成本为 C(Q)，则边际成本为（ ）。- AQC(Q)
- BC(Q)⋅Q
- CC′(Q)
- DC(Q+1)
练 2
设 C(Q)=100+2Q+0.1Q2，则边际成本 C′(Q)=2+ ________ Q。练 3
承上题，Q=10 时的边际成本为 ________。练 4
弹性的计算公式是（ ）。第二组 · 算弹性
练 5
设需求 Q=100−2P，则 Q′(P)= ________。练 6
承上题，P=20 时 Q= ________。练 7
承上题，P=20 时的需求弹性 η=（ ）。练 8
∣η∣<1 时，需求（ ）。- A对价格不敏感，涨价可使总收益增加
- B对价格敏感，涨价可使总收益增加
- C对价格不敏感，降价可使总收益增加
- D与价格无关
第三组 · 收益最大
练 9
设需求 Q=100−2P，总收益 R=PQ=100P− ________ P2。练 10
承上题，总收益最大时价格 P=（ ）。练 11
承上题，最大总收益为 ________。练 12
下列说法正确的是（ ）。- A边际成本就是平均成本
- B弹性是导数乘以 xy
- C需求弹性一般为正
- D∣η∣=1 时总收益取最大值