不定积分的概念与性质

高等数学 · 一元函数积分学

这一条要先会：求导法则（四则、复合、反函数）、微分中值定理（罗尔、拉格朗日、柯西）

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 原函数与不定积分：求导的逆问题

若

F^{'} (x) = f (x)

，则称

F

是

f

的一个原函数。求原函数就是把求导反着做一遍。

原函数不唯一，而且恰好差一个常数. 若

F

是

f

的原函数，则

F + C

也是（常数求导为零）；反过来，由拉格朗日中值定理的推论（导数恒为零的函数是常数），

f

的任意两个原函数之差必为常数。

所以全体原函数构成一族曲线，彼此只差一个上下平移。这一族记作

\int f (x) d x = F (x) + C,

称为

f

的不定积分。

f

叫被积函数，

C

叫积分常数。

那个 $+ C$ 不是装饰. 漏掉它，答案就从「一族函数」变成了「一个函数」，意思完全不同——这也是不定积分题最常见的扣分点。

原函数存在定理. 连续函数必有原函数。所以考研里遇到的被积函数基本都有原函数，但「有原函数」不等于「原函数写得出初等表达式」——

e^{- x^{2}}

、

\frac{sin x}{x}

都有原函数，却写不成初等函数。

2. 基本积分表：把求导表反过来读

这张表不用单独背，它就是导数表倒着写。

\int x^{a} d x \int \frac{1}{x} d x \int e^{x} d x \int a^{x} d x \int sin x d x \int cos x d x = \frac{x ^{a + 1}}{a + 1} + C (a \neq = - 1), = ln ∣ x ∣ + C, = e^{x} + C, = \frac{a ^{x}}{l n a} + C, = - cos x + C, = sin x + C .

再几条与反三角、正切有关的：

\int \frac{d x}{1 + x ^{2}} \int \frac{d x}{1 - x ^{2}} \int sec^{2} x d x = arctan x + C, = arcsin x + C, = tan x + C .

两处最容易错：

① $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ ，绝对值不能丢——

x < 0

时

ln x

没有定义，而

\frac{1}{x}

在那里照样有原函数。

② $\int sin x d x = - cos x + C$ ，负号在积分这边. 求导时

(cos x)^{'} = - sin x

负号跟着

cos

，反过来就跑到了

sin

的积分上。

3. 两条性质与「先拆再积」

不定积分有两条线性性质：

\int k f (x) d x \int [f \pm g] d x = k \int f (x) d x (k \neq = 0), = \int f d x \pm \int g d x .

但没有乘积和商的法则. 这是积分与求导最大的不同：

\int f g d x \neq = (\int f) (\int g) .

求导有四则运算法则，样样都能机械地做；积分只有线性这一条，乘积要另想办法（分部积分，下一节）。

于是基础阶段的做法只有一个方向：想办法把被积函数拆成表里有的那几样之和。常用的拆法：

① 多项式除法. 分子次数不低于分母时先除，化成「多项式

+

真分式」。

② 三角恒等式.

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

这类降幂公式。

③ 分子拆项. 凑出分母的因子再约掉。

4. 检验：把答案求导回去

不定积分有一个求导没有的好处：答案可以自己验。

(\int f (x) d x)^{'} = f (x) .

把算出来的结果求导，得回被积函数就对，得不回就错。这个检验不花几秒钟，而且是确定性的——不像别的题只能重算一遍。

凡是换元、分部积分之后，都该顺手验一次，尤其是换元回代之后（回代写错变量是常见错误）。

与它成对的还有一条：

d (\int f (x) d x) \int F^{'} (x) d x = f (x) d x, = F (x) + C .

注意先积后导不带 $C$ ，先导后积带 $C$ ——求导把常数抹掉了，积分再也找不回它是哪一个。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求不定积分：拆成表里有的几样

第一步：把根号、分式写成

x^{a}

的形式。

第二步：分子次数不低于分母就先做多项式除法；三角的高次用降幂公式。

第三步：逐项套基本积分表。

第四步：合并成一个

+ C

，再求导验一次。

例例. 求

\int \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x} d x

。

第一步，化成幂的形式。分子展开

(x + 1)^{2} = x + 2 x + 1

，整个除以

x

：

\frac{x + 2 x + 1}{x} = 1 + 2 x^{- 1/2} + x^{- 1} .

第二步，已经是逐项都能查表的样子，不必做除法。

第三步，逐项套表：

\int 1 d x = x

，

\int 2 x^{- 1/2} d x = 4 x

，

\int x^{- 1} d x = ln ∣ x ∣

。

第四步，合成一个常数：

x + 4 x + ln ∣ x ∣ + C .

求导验回去正好是被积函数。

分式型：加一项减一项凑出分母

第一步：看分母是什么（如

1 + x^{2}

）。

第二步：在分子上把那一块凑出来——加一项再减一项。

第三步：拆成两个分式，第一个约掉，第二个落回表里。

\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} = \frac{( 1 + x ^{2} ) - 1}{1 + x ^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}

。

例例. 求

\int \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x

。

第一步，分母是

1 + x^{2}

。

第二步，在分子上把它凑出来——加一个

1

再减一个

1

：

x^{2} = (1 + x^{2}) - 1

。

第三步，拆成两项，第一项约掉：

\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} = \frac{( 1 + x ^{2} ) - 1}{1 + x ^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + x ^{2}} .

第四步，逐项积分：

x - arctan x + C .

分子分母同次时，用多项式除法也到这一步——两条路一样。

验算：求导回去

第一步：把算出的原函数求导。

第二步：对照被积函数，一样就对。

第三步：不一样就回头查——换元后有没有回代、常数因子有没有算对。

这一步只花几秒，而且是确定性的，别省。

例例. 算出

\int x e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C

，验一次。

第一步，把答案求导：

(x e^{x} - e^{x})^{'} = e^{x} + x e^{x} - e^{x} = x e^{x} .

第二步，和被积函数一样，答案正确。

第三步，看看漏写时会怎样：若答案错写成

x e^{x} + C

，求导得

e^{x} + x e^{x}

——多出来的那个 $e^{x}$ 正好指出漏掉了哪一项。

验算不只是说「对不对」，它还告诉你错在哪儿。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

漏掉 $+ C$

不定积分求的是全体原函数，

+ C

是答案的一部分。

漏了它，答案从一族函数变成了一个函数。这是本节最常见的扣分点，写完最后一步先补上

C

再收笔。

$\int \frac{1}{x} d x$ 写成 $ln x$

正确的是

ln ∣ x ∣ + C

。

\frac{1}{x}

在

x < 0

时照样有原函数，而

ln x

在那里没有定义。

题目明说

x > 0

时可以去掉绝对值；没说的时候一律带着。

$\int sin x d x$ 的负号放错

\int sin x d x = - cos x + C

，

\int cos x d x = sin x + C

。

求导时负号跟着

cos

（

(cos x)^{'} = - sin x

），积分时就跑到了 $sin$ 这边。记混了就现推一次：把答案求导验回去。

对乘积分别积分

\int f g d x \neq = (\int f) (\int g)

。取

f = g = x

一验就知道。

积分只有线性性质，乘积要用分部积分，复合要用换元。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 表与 $+C$

练 1

\int 2 x d x =

________（含积分常数

C

）。

练 2

\int \frac{1}{x} d x =

（）。

A $ln x + C$
B $- \frac{1}{x ^{2}} + C$
C $ln ∣ x ∣ + C$
D $\frac{x ^{0}}{0} + C$

练 3

\int sin x d x =

________（含

C

）。

练 4

下列运算中正确的是（）。

A $\int f g d x = (\int f) (\int g)$
B $\int (f + g) d x = \int f d x + \int g d x$
C $\int \frac{f}{g} d x = \frac{\int f}{\int g}$
D $\int f^{2} d x = (\int f)^{2}$

第二组 · 先拆再积

练 5

\int (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) d x =

________（含

C

）。

练 6

\int \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x =

________（含

C

）。

练 7

\int x d x =

（）。

A $\frac{2}{3} x^{3/2} + C$
B $\frac{1}{2 x} + C$
C $\frac{3}{2} x^{3/2} + C$
D $2 x + C$

练 8

\int \frac{d x}{1 + x ^{2}} =

________（含

C

）。

第三组 · 概念与验算

练 9

设

F

、

G

都是

f

在区间

I

上的原函数，则在

I

上（）。

A $F = G$
B $F - G$ 为常数
C $F / G$ 为常数
D $F$ 与 $G$ 没有确定关系

练 10

下列等式中正确的是（）。

A $(\int f d x)^{'} = f (x) + C$
B $\int F^{'} (x) d x = F (x)$
C $\int F^{'} (x) d x = F (x) + C$
D $(\int f d x)^{'} = f (x) + 1$

练 11

已知

f^{'} (x) = 2 x

且

f (0) = 1

，则

f (x) = x^{2} +

________。

练 12

关于

e^{- x^{2}}

，下列说法正确的是（）。

A它没有原函数
B它的原函数是 $- 2 x e^{- x^{2}}$
C它有原函数，但写不成初等函数
D它的不定积分等于 $0$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

不定积分的概念与性质

先打基础

1. 原函数与不定积分：求导的逆问题

2. 基本积分表：把求导表反过来读

3. 两条性质与「先拆再积」

4. 检验：把答案求导回去

常用结构

求不定积分：拆成表里有的几样

分式型：加一项减一项凑出分母

验算：求导回去

基础易错

漏掉 +C

∫x1​dx 写成 lnx

∫sinxdx 的负号放错

对乘积分别积分

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

漏掉 $+ C$

$\int \frac{1}{x} d x$ 写成 $ln x$

$\int sin x d x$ 的负号放错