不定积分的概念与性质

§3.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

0.53 分/卷近 11 年平均

2/11 年出现年份

5.6 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）导数与微分的概念求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁换元积分法与分部积分法有理函数及三角有理式积分微积分基本定理与变限积分一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 原函数与不定积分的定义： $F^{'} = f$ 、任两原函数只差常数、 $(\int f d x)^{'} = f$ ★★ 必会

① 原函数：设

f

在区间

I

上有定义，若存在

F

使得对一切

x \in I

有

F^{'} (x) = f (x)

，就称

F

为

f

在

I

上的一个原函数。

② 原函数族与不定积分：若

F

是

f

的原函数，则

F + C

（

C

为任意常数）都是；反之

f

的任意两个原函数之差必为常数。故全体原函数恰为一族

F (x) + C

，记

\int f (x) d x = F (x) + C,

称为

f

的不定积分（

f

为被积函数，

x

为积分变量，

C

为积分常数；结果中漏写

+ C

是不完整的）。

③ 线性性：

\int [α f (x) + β g (x)] d x = α \int f (x) d x + β \int g (x) d x

（

α, β

为常数，不同时为零）。

④ 与求导互逆：

(\int f (x) d x)^{'} = f (x)

，

d \int f (x) d x = f (x) d x

；反过来

\int F^{'} (x) d x = F (x) + C

，

\int d F (x) = F (x) + C

。可以概括为：先积分后求导恰好还原，先求导后积分则相差一个常数。

⑤ 存在性：连续函数必有原函数。如果

f

在区间

I

上连续，那么变上限积分

Φ (x) = \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t

（其中

x_{0} \in I

取定）就是它的一个原函数，这由微积分基本定理保证。必须注意，有原函数与可积是两个彼此独立的概念，不可混同，详见后面的条目。

证明 / 推导

证任两个原函数之差为常数. 设

F_{1}^{'} = F_{2}^{'} = f

在区间

I

上成立，令

φ = F_{1} - F_{2}

，则

φ^{'} (x) = 0 (\forall x \in I)

。任取

x_{1} < x_{2} \in I

，由拉格朗日中值定理得

φ (x_{2}) - φ (x_{1}) = φ^{'} (ξ) (x_{2} - x_{1}) = 0,

故

φ

在

I

上恒为常数，即

F_{1} = F_{2} + C

。

■

注意：上述证明依赖于

I

是区间，即定义域是连通的。如果定义域由两个互不相交的区间组成（例如

\frac{1}{x}

的定义域

x \neq = 0

），那么两支上的常数可以互不相同。分段函数与含绝对值的函数求原函数时，各段的常数须由连续性确定，原因即在于此，详见后面的条目。

举例说明

真题（1999 数一） 设

f

连续，

F

是

f

的原函数，则（A）

f

奇时

F

必偶；（B）

f

偶时

F

必奇；（C）

f

周期时

F

必周期；（D）

f

单调增时

F

必单调增。

解. 由②，任一原函数都可写成

F (x) = Φ (x) + C_{0}

，其中

Φ (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

。若

f

为奇函数：令

t = - u

，

t : 0 \to - x

对应

u : 0 \to x

，

Φ (- x) = \int_{0}^{- x} f (t) d t = \int_{0}^{x} f (- u) \cdot (- 1) d u = \int_{0}^{x} f (u) d u = Φ (x),

故

Φ

为偶函数。又偶函数加常数仍为偶函数，所以每个

F

都是偶函数，A 正确。

B、C、D 都可用相差常数这一点否定：

f = cos x

是偶函数，而它的原函数

sin x + 1

不是奇函数，因为奇函数必过原点，加上常数后即不再是奇函数；

f = 1 + cos x

是周期函数，而它的原函数

x + sin x + C

含有线性项，不是周期函数；

f (x) = x

单调增加，而它的原函数

\frac{x ^{2}}{2} + C

并不单调。故答案为 A。

2. 原函数存在性的反面：有第一类间断点的函数一定没有原函数★★ 必会

原函数存在定理指出，连续函数必有原函数；而考试中更常出现的，是反过来判断某个函数究竟有没有原函数。所依据的是下面这条定理：导函数具有介值性，即达布定理。若

F

在区间上处处可导，则

F^{'} (x)

能取到它任意两个函数值之间的一切中间值，即使

F^{'}

本身并不连续。由此可见，一个函数只要在某点有第一类间断点，即跳跃间断点或可去间断点，它就漏掉了一整段中间值，破坏了介值性，从而不可能是任何函数的导数，也就没有原函数；反之，某些具有第二类（振荡型）间断点的函数却可能有原函数，例如后面一条中的

F^{'}

。判断含间断点的函数是否存在原函数，依据的就是这一条。

证明 / 推导

达布定理及推论。 设

F

在

[a, b]

可导，记

p = F^{'} (a), q = F^{'} (b)

，不妨

p < c < q

。令

g (x) = F (x) - c x

，则

g

可导，

g^{'} (a) = p - c < 0, g^{'} (b) = q - c > 0

。由

g^{'} (a) < 0

可知，在

a

的右侧

g

还能继续减小，故

g

的最小值不在

a

处取得；由

g^{'} (b) > 0

可知，在

b

的左侧

g

的值更小，故最小值也不在

b

处取得。又

g

连续，故必在

[a, b]

的某个内点

ξ

处取得最小值，由费马定理得

g^{'} (ξ) = 0

，即

F^{'} (ξ) = c

。这就证明了

F^{'}

能取到中间值

c

，即导函数具有介值性。
推论： 如果

f

在

x_{0}

处有跳跃间断点（左极限

A \neq =

右极限

B

），那么

f

在

x_{0}

附近的取值漏掉了

(A, B)

之间的值，违背介值性，因此

f

没有原函数。

■

3. 有原函数与可积是两个彼此独立的概念，不可混同★ 要懂

原函数存在（

\exists F, F^{'} = f

）与定积分存在（

f

在

[a, b]

上黎曼可积）是两回事，各有各的判据，彼此并不蕴含。连续函数同时具备这两条性质，但在一般情形下必须分清：原函数所关心的是逐点的导数关系，可积所关心的是黎曼和整体的收敛，二者的出发点不同。因此会出现有原函数却不可积，以及可积却没有原函数这两种情形。

举例说明

反例一（有原函数而不可积）。 取

F (x) = x^{2} sin \frac{1}{x ^{2}} (x \neq = 0), F (0) = 0

，它处处可导，故

f = F^{'}

有原函数

F

。但

F^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x ^{2}} - \frac{2}{x} cos \frac{1}{x ^{2}} (x \neq = 0)

在

x = 0

附近无界，而无界函数不是黎曼可积的，因此

f

在

[- 1, 1]

上有原函数却不可积。
反例二（可积而无原函数）。 符号函数

f (x) = sgn x

在

[- 1, 1]

上有界，且只有一个跳跃间断点，故可积（

\int_{- 1}^{1} sgn x d x = 0

）；但它在

0

处跳跃，破坏了介值性，因而没有原函数。这两个例子说明，二者互不包含。

4. 初等函数的原函数未必是初等函数：几个积不出的积分

求导运算对初等函数是封闭的，即初等函数的导数仍是初等函数；积分则不然：许多形式很简单的初等函数，其原函数不能用初等函数表示，这一点有刘维尔的严格理论作依据，此处了解即可。因此应当能够识别这些积不出的积分，转而采用别的办法，例如用变限积分的记号作答、展开成幂级数，或者认清题目所考查的本来就是别的内容。常见的有：

\int e^{- x^{2}} d x, \int \frac{sin x}{x} d x, \int \frac{cos x}{x} d x, \int \frac{e ^{x}}{x} d x, \int \frac{d x}{ln x}, \int sin x^{2} d x, \int 1 + x^{4} d x .

它们并非难于计算，而是在初等函数的范围内根本没有与之对应的原函数。

举例说明

如果一道极限题的分子是积不出的变限积分，那么不必去求它，而应对变限积分求导，即用洛必达法则。例如

x \to 0 lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t \frac{0}{0} x \to 0 lim \frac{e ^{- x^{2}}}{1} = 1.

这里

\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

没有初等表达式，但题目并不需要它。由此可见，积不出的积分同样可以参与运算。

5. 分段函数与含绝对值函数求原函数：各段的常数必须由连续性确定★★ 必会

对分段定义的或含

∣ \cdot ∣

的连续函数求不定积分时，不能在每一段上各写一个互不相干的 $+ C$ 。这是因为原函数必须在整个区间上连续（可导必连续），各段的常数之间要满足在分界点处左、右极限相等的衔接条件，最终在整个区间上仍只剩一个任意常数

C

。具体做法是：先分段积分，得到各段的原函数，各带一个待定常数；再由分界点处的连续性解出这些常数之间的关系，写成一个统一的表达式，最后再

+ C

。

举例说明

求

\int ∣ x ∣ d x

。
-

x \geq 0

：

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2} + C_{1}

；
-

x < 0

：

\int (- x) d x = - \frac{x ^{2}}{2} + C_{2}

。
要使它们构成同一个原函数

F

，须在

x = 0

处连续，即

F (0^{+}) = C_{1} = F (0^{-}) = C_{2}

，故

C_{1} = C_{2} = C

。于是

\int ∣ x ∣ d x = \frac{1}{2} x ∣ x ∣ + C,

事实上，当

x \geq 0

时

\frac{1}{2} x ∣ x ∣ = \frac{x ^{2}}{2}

，当

x < 0

时

= - \frac{x ^{2}}{2}

，且它在

0

处可导，导数为

0 = ∣0∣

，容易验证结果无误。如果错写成两段互不相干的常数，所得的就不再是同一个原函数。

💡 小知识

牛顿与莱布尼茨几乎同时独立创立微积分，却为发明权的先后争执了一生。今天通用的积分号

\int

和微分号

d x

都沿用莱布尼茨的记号，牛顿的流数一词则早已弃用。可见一套好的符号本身就是能够流传下来的思想。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求不定积分

\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x

。难度 1

利用不定积分的线性性质，逐项积分，再对每个幂函数套公式

\int x^{μ} d x = \frac{x ^{μ + 1}}{μ + 1} + C

：

\int (3 x^{2} - 2 x + 1) d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + x + C = x^{3} - x^{2} + x + C .

检验：把结果求导得

3 x^{2} - 2 x + 1

，正是被积函数，故正确。注意最后只写一个任意常数

C

。

例 2 求不定积分

\int (x + \frac{1}{x}) d x

。难度 1

先把根式写成分数指数幂：

x = x^{1/2}

，

\frac{1}{x} = x^{- 1/2}

，再逐项套幂函数公式：

\int x^{1/2} d x = \frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}, \int x^{- 1/2} d x = \frac{x ^{1/2}}{1/2} = 2 x^{1/2} .

所以

\int (x + \frac{1}{x}) d x = \frac{2}{3} x^{3/2} + 2 x + C .

方法总结：遇到根式先化成幂

x^{μ}

再积分，是最常用的第一步。

例 3 求不定积分

\int \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x

。难度 1

被积函数不在基本积分表里，需要恒等变形。把分子拆成「分母

+

余项」：

\frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} = \frac{( 1 + x ^{2} ) - 1}{1 + x ^{2}} = 1 - \frac{1}{1 + x ^{2}} .

于是逐项积分：

\int \frac{x ^{2}}{1 + x ^{2}} d x = \int 1 d x - \int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = x - arctan x + C .

方法总结：分子次数不低于分母时，先「凑分母」降次，化成表内形式。

例 4 已知曲线

y = f (x)

上任一点处切线的斜率为

3 x^{2}

，且曲线过点

(1, 2)

，求

f (x)

。难度 2

「切线斜率为

3 x^{2}

」即

f^{'} (x) = 3 x^{2}

，所以

f (x)

是

3 x^{2}

的一个原函数：

f (x) = \int 3 x^{2} d x = x^{3} + C .

这是一族只差常数的曲线。再用过点 $(1, 2)$ 这个条件定出

C

：

f (1) = 1 + C = 2

，得

C = 1

。故

f (x) = x^{3} + 1.

方法总结：「已知导数

+

一个点」求原函数，先积分得含

C

的通式，再代入条件确定

C

——这正是不定积分中那个自由常数的作用。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2018 年 · 数一 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

求不定积分

\int e^{2 x} arctan e^{x} - 1 d x

2016 年 · 数一 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

已知函数

f (x) = {2 (x - 1), ln x, x < 1, x \geq 1,

则

f (x)

的一个原函数是（　　）

A $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x - 1), x < 1, x \geq 1.$
B $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x + 1) - 1, x < 1, x \geq 1.$
C $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x + 1) + 1, x < 1, x \geq 1.$
D $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x - 1) + 1, x < 1, x \geq 1.$

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 选择题

\int 2^{x} d x =

（　　）

A $2^{x} + C$
B $\frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$
C $2^{x} ln 2 + C$
D $x \cdot 2^{x - 1} + C$

练习 2 · 填空题

\int \frac{1}{x ^{2}} d x =

______

练习 3 · 选择题

设

F (x)

是

f (x)

的一个原函数，则

\int f (x) d x =

（　　）

A $F (x)$
B $F (x) + C$
C $f (x) + C$
D $F^{'} (x) + C$

练习 4 · 填空题

\int (e^{x} + cos x) d x =

______

练习 5 · 选择题

\int \frac{1}{x} d x =

（　　）

A $ln x + C$
B $ln ∣ x ∣ + C$
C $- \frac{1}{x ^{2}} + C$
D $\frac{1}{2} x^{- 2} + C$

2014 年 · 数一 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设

f (x)

是周期为

4

的可导奇函数，且

f^{'} (x) = 2 (x - 1)

，

x \in [0, 2]

，则

f (7) =

______。

2004 年 · 数一 · 第 2 题 · 填空题 · 4 分

已知

f^{'} (e^{x}) = x e^{- x}

，且

f (1) = 0

，则

f (x) =

___。

1999 年 · 数一 · 第 6 题 · 选择题 · 3 分

设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则（　　）

A当 $f (x)$ 是奇函数时， $F (x)$ 必是偶函数.
B当 $f (x)$ 是偶函数时， $F (x)$ 必是奇函数.
C当 $f (x)$ 是周期函数时， $F (x)$ 必是周期函数.
D当 $f (x)$ 是单调增函数时， $F (x)$ 必是单调增函数.

不定积分的概念与性质

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 原函数与不定积分的定义：F′=f、任两原函数只差常数、(∫fdx)′=f★★ 必会

2. 原函数存在性的反面：有第一类间断点的函数一定没有原函数★★ 必会

3. 有原函数与可积是两个彼此独立的概念，不可混同★ 要懂

4. 初等函数的原函数未必是初等函数：几个积不出的积分

5. 分段函数与含绝对值函数求原函数：各段的常数必须由连续性确定★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 原函数与不定积分的定义： $F^{'} = f$ 、任两原函数只差常数、 $(\int f d x)^{'} = f$ ★★ 必会