微积分基本定理与变限积分

§3.5 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

1.22 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

4.2 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）定积分的概念与性质不定积分的概念与性质③ 掌握后可解锁定积分的计算反常（广义）积分微分方程的综合与应用

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 微积分基本定理： $Φ^{'} (x) = f (x)$ 、牛顿–莱布尼茨公式、变限求导 $(\int_{u}^{v} f d t)^{'} = f (v) v^{'} - f (u) u^{'}$ ★★ 必会

① 第一基本定理（变上限积分求导）：设

f

在

[a, b]

上连续，则

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

在

[a, b]

上可导，且

Φ^{'} (x) x = f (x) \in [a, b] .

由它可以立即得到两个结论：连续函数必有原函数（

Φ

就是其中之一），并且先积分再求导恰好还原。（如果

f

只可积而不连续，那么

Φ

仍然连续，但未必可导，详见后面的条目。）

② 第二基本定理（牛顿–莱布尼茨公式）：设

f

在

[a, b]

上连续，

F

是

f

在

[a, b]

上的任一原函数，则

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b} .

它把定积分的计算由求黎曼和的极限化为求原函数并代入两端的值，是定积分计算的基本依据。

③ 一般变限求导公式：

f

连续，

u (x), v (x)

可导，则

\frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x) .

特别地

(\int_{a}^{v (x)} f d t)^{'} = f (v (x)) v^{'} (x)

。必须注意：该公式要求被积函数只含 $t$ 而不含 $x$ ；如果积分号内也含有

x

（例如

\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

、

\int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t

），那么必须先拆项或换元，把

x

移出积分号，然后再求导，详见后面的条目。

证明 / 推导

① 对

h \neq = 0

，有

\frac{Φ ( x + h ) - Φ ( x )}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t = f (ξ) (积分中值定理， ξ 介于 x 与 x + h 之间) .

令

h \to 0

，则

ξ \to x

；由

f

连续得

f (ξ) \to f (x)

，故

Φ^{'} (x) = f (x)

。

② 因

Φ

与

F

都是

f

的原函数，而任两个原函数相差一个常数，故

F = Φ + C

。令

x = a

（注意

Φ (a) = 0

），得

C = F (a)

；再令

x = b

，得

\int_{a}^{b} f (t) d t = Φ (b) = F (b) - F (a)

。

③ 取

f

的一个原函数

F

，由①知它存在，于是

\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = F (v (x)) - F (u (x)),

两端对

x

求导，由复合函数求导法则即得

f (v) v^{'} - f (u) u^{'}

。

■

举例说明

真题（2004 数一第 7 题，选择 4 分） 把

x \to 0^{+}

时的无穷小量

α = \int_{0}^{x} cos (t^{2}) d t

，

β = \int_{0}^{x^{2}} tan t d t

，

γ = \int_{0}^{x} sin (t^{3}) d t

排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（　　）

(A)

α, β, γ

.　(B)

α, γ, β

.　(C)

β, α, γ

.　(D)

β, γ, α

.

解. 用③求导以确定阶数（下限为常数，只剩

f (v (x)) v^{'} (x)

一项）。由

α^{'} = cos (x^{2}) \to 1

得

α \sim x

，为

1

阶；

β^{'} = tan x^{2} \cdot 2 x = 2 x tan x \sim 2 x^{2}

，积分回去得

β \sim \frac{2}{3} x^{3}

，为

3

阶；

γ^{'} = sin (x^{3/2}) \cdot \frac{1}{2 x} \sim x^{3/2} \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{x}{2}

，故

γ \sim \frac{x ^{2}}{4}

，为

2

阶。按阶数由低到高排列为

α, γ, β

，故选 B。（运算的要点是：上限是

x^{2}

就乘以

(x^{2})^{'} = 2 x

，上限是

x

就乘以

\frac{1}{2 x}

，这就是公式中的

f (v (x)) v^{'} (x)

。）

2. 变限积分函数的奇偶性与周期性★ 要懂

由

f

所定义的变限积分

Φ (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

（下限取

0

），其奇偶性与周期性由

f

决定。这是常考的内容，也极易记反： $f$ 奇 $\Rightarrow Φ$ 偶； $f$ 偶 $\Rightarrow Φ$ 奇，即积分把奇偶性对调； $f$ 以 $T$ 为周期且 $\int_{0}^{T} f = 0 \Rightarrow Φ$ 以 $T$ 为周期（若

\int_{0}^{T} f = A \neq = 0

，则

Φ (x + T) = Φ (x) + A

，即在周期性之外还有线性的漂移，因而不再是周期函数）。直观地看，奇函数在对称区间上的积分相消，故累积量关于

x

对称，即为偶函数；周期函数每积满一个周期净增

A

，只有当

A = 0

时才真正具有周期性。

证明 / 推导

奇偶性. 设

f

为奇函数。在

Φ (- x) = \int_{0}^{- x} f (t) d t

中令

t = - u

（

d t = - d u

），得

\int_{0}^{x} f (- u) (- d u) = \int_{0}^{x} [- f (- u)] d u

；因

f

为奇函数，有

- f (- u) = f (u)

，故

Φ (- x) = \int_{0}^{x} f (u) d u = Φ (x)

，即

Φ

为偶函数。设

f

为偶函数，同法可得

Φ (- x) = \int_{0}^{x} [- f (u)] d u = - Φ (x)

，即

Φ

为奇函数。
周期性.

Φ (x + T) - Φ (x) = \int_{x}^{x + T} f = \int_{0}^{T} f = A

，这里用到了周期函数在任一长为

T

的区间上的积分都相等。当

A = 0

时

Φ (x + T) = Φ (x)

，即以

T

为周期；当

A \neq = 0

时则不是周期函数。

■

3. 第一基本定理中连续这一前提不能减弱：在 $f$ 的跳跃点处 $Φ$ 不可导★ 要懂

第一基本定理是：

f

连续

\Rightarrow Φ^{'} = f

。其中连续这一条件是本质的：只要

f

可积，

Φ (x) = \int_{a}^{x} f

就一定连续，因为积分具有抹平的作用；但要保证

Φ

处处可导且 $Φ^{'} = f$ ，就必须要求

f

连续。在

f

的跳跃间断点处，

Φ

虽连续却可能不可导，它的左、右导数分别等于

f

的左、右极限，而二者并不相等。由此可见，积分使函数提高一档光滑性是有限度的：可积

\to

连续、连续

\to

可导，各提高一档，但跳跃这一档跨不过去。

证明 / 推导

① 只要 $f$ 可积， $Φ$ 就连续. 设

f

在

[a, b]

上可积，则

f

有界，即存在

M > 0

，使得对一切

t

有

∣ f (t) ∣ \leq M

。于是对任意的

x

与

x + h

，有

∣Φ (x + h) - Φ (x) ∣ = \int_{x}^{x + h} f (t) d t \leq M ∣ h ∣.

令

h \to 0

，右端趋于

0

，故

Φ (x + h) \to Φ (x)

，即

Φ

在

x

处连续。这一步只用到

f

有界，没有用到

f

连续。

② $Φ$ 的单侧导数等于 $f$ 的单侧极限. 设

f

可积，且右极限

A = f (x_{0}^{+})

存在。对任给的

ε > 0

，由右极限的定义，存在

δ > 0

，使得当

x_{0} < t < x_{0} + δ

时有

∣ f (t) - A ∣ < \frac{ε}{2}

。于是当

0 < h < δ

时，

\frac{Φ ( x _{0} + h ) - Φ ( x _{0} )}{h} - A = \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} [f (t) - A] d t \leq \frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} ∣ f (t) - A ∣ d t \leq \frac{ε}{2} < ε .

按导数的定义即得

Φ_{+}^{'} (x_{0}) = A = f (x_{0}^{+})

。同法可证

Φ_{-}^{'} (x_{0}) = f (x_{0}^{-})

。

③ 跳跃点处 $Φ$ 不可导. 如果

x_{0}

是

f

的跳跃间断点，那么两个单侧极限都存在而且

f (x_{0}^{-}) \neq = f (x_{0}^{+})

。由②知

Φ

在

x_{0}

处的左、右导数都存在，但二者不相等，因此

Φ

在

x_{0}

处不可导。这就证明了第一基本定理中的连续性不能减弱为可积性。

④ 条件可以减弱到什么程度. 由②还可以看出，结论是局部的。只要

f

在一点

x_{0}

处连续，就有

f (x_{0}^{-}) = f (x_{0}^{+}) = f (x_{0})

，从而

Φ^{'} (x_{0}) = f (x_{0})

。即使

f

在别处另有间断点，这一点也不受影响。但是间断的类型不同，结论也不同。设

f (x) = 0 (x \neq = 0)

而

f (0) = 1

，这时

x = 0

是可去间断点，

Φ \equiv 0

在该点可导，然而

Φ^{'} (0) = 0 \neq = f (0)

，等式

Φ^{'} = f

在该点仍不成立。

■

举例说明

取

f (x) = sgn x

于

[- 1, 1]

，它有界且可积，则

Φ (x) = \int_{0}^{x} sgn (t) d t = ∣ x ∣

。

Φ

处处连续，但在

x = 0

处不可导，而该点是

f

的跳跃间断点：

Φ_{-}^{'} (0) Φ_{+}^{'} (0) = - 1 = f (0^{-}) = 1 = f (0^{+})

左、右导数不相等。此处

Φ^{'} \neq = f

，第一基本定理不成立，原因就在于

f

在

0

处不连续。

4. 利用 $Φ^{'} = f$ 讨论变限积分函数的单调性与极值★★ 必会

变限积分

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

常以抽象函数的形式出现在讨论单调性、极值与最值的题目中。这里起决定作用的是

Φ^{'} (x) = f (x)

，于是 $Φ$ 的单调性完全由被积函数 $f$ 的符号决定， $f$ 的变号零点就是 $Φ$ 的极值点，并不需要（往往也无法）把

Φ

显式地积出来。因此这类题目的解法就是讨论被积函数

f

的符号。

举例说明

讨论

F (x) = \int_{0}^{x} t (t - 2) e^{- t} d t

在

[0, + \infty)

上的单调性与极值。解. 由第一基本定理得

F^{'} (x) = x (x - 2) e^{- x}

。因

e^{- x} > 0

，故

F^{'}

的符号

=

x (x - 2)

的符号：在

(0, 2)

上

F^{'} < 0

，即

F

单调减少；在

(2, + \infty)

上

F^{'} > 0

，即

F

单调增加。因此

x = 2

是

F

的极小值点，也是

[0, + \infty)

上的最小值点。整个过程无须算出

F

的表达式。

5. 被积函数中含有上限变量 $x$ ：先把它移出积分号，再求导★★ 必会

变限积分的求导公式只适用于被积函数不含上限变量 $x$ 的情形。如果积分形如

\int_{0}^{x} g (x, t) d t

，被积式中也含有

x

，那么直接套用

Φ^{'} = f

是错误的。处理的办法有两条：(1) 如果

x

能提到积分号外（例如

x

是一个因子，或把

(x - t)

展开），那么先化成上限含

x

而被积函数不含

x

的形式，再逐项用变限求导公式与乘积求导法则；(2) 如果

x

只以

x - t

这样的组合出现，那么可用换元

u = x - t

把

x

移到上限中去。

举例说明

求

H (x) = \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

的一阶与二阶导数（设

f

连续）。解. 先把

x

提到积分号外，得

H (x) = x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t .

对第一项用乘积求导法则，两项都用变限积分求导公式，得

H^{'} (x) H^{''} (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t + x f (x) - x f (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t = f (x) .

于是

H

是

f

的二次累积：

H^{''} = f, H^{'} (0) = 0, H (0) = 0

。由此便可用变限积分求解方程

y^{''} = f

。

💡 小知识

微积分基本定理常被称作微积分的心脏。它证明了看似风马牛不相及的两件事，求切线斜率的微分与求曲边面积的积分，原来是同一枚硬币的正反面。牛顿从流数入手，莱布尼茨从求和入手，两条完全不同的思路，最后殊途同归。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用牛顿-莱布尼茨公式计算

\int_{0}^{1} x^{2} d x

。难度 1

先求被积函数的一个原函数

F (x) = \frac{x ^{3}}{3}

（

F^{'} (x) = x^{2}

），再代上下限作差：

\int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1 ^{3}}{3} - \frac{0 ^{3}}{3} = \frac{1}{3} .

三步口诀：求原函数、代端点、作差。原函数不必写

+ C

（作差时会抵消）。

例 2 求

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} sin (t^{2}) d t

。难度 1

由微积分第一基本定理：若

f

连续，则

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)

。这里

f (t) = sin (t^{2})

，上限就是

x

，直接把被积函数中的

t

换成

x

：

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} sin (t^{2}) d t = sin (x^{2}) .

注意：被积变量必须用

t

（与上限

x

区分），求导后才把

t

替换为上限

x

。

例 3 求

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} e^{- t} d t

。难度 2

上限是复合函数

φ (x) = x^{2}

，用复合变限求导公式

\frac{d}{d x} \int_{a}^{φ (x)} f (t) d t = f (φ (x)) φ^{'} (x)

：

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} e^{- t} d t = e^{- x^{2}} \cdot (x^{2})^{'} = 2 x e^{- x^{2}} .

易错点：上限是

x^{2}

时别忘了乘

φ^{'} (x) = 2 x

（链式法则）。

例 4 求极限

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} ( e ^{t^{2}} - 1 ) d t}{x ^{3}}

。难度 2

x \to 0

时分子分母都趋于

0

，为

\frac{0}{0}

型，用洛必达法则。分子是变上限积分，由第一基本定理求导得

e^{x^{2}} - 1

，分母求导得

3 x^{2}

：

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} ( e ^{t^{2}} - 1 ) d t}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - 1}{3 x ^{2}} .

再用等价无穷小

e^{x^{2}} - 1 \sim x^{2} (x \to 0)

：

= x \to 0 lim \frac{x ^{2}}{3 x ^{2}} = \frac{1}{3} .

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数一 · 第 20 题 · 解答题 · 12 分

设可导函数

f (x)

严格单调递增且满足

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 0

。记

a = \int_{0}^{1} f (x) d x

。

（1）证明

a > 0

；

（2）令

F (x) = a (1 - x^{2}) + \int_{1}^{x} f (t) d t

，证明：存在

ξ \in (- 1, 1)

，使得

F^{''} (ξ) = 0

。

2025 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} sin t d t

，

g (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \cdot sin^{2} x

，则（　　）

A $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，也是 $g (x)$ 的极值点.
B $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的拐点.
C $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点， $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点.
D $(0, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的拐点，也是曲线 $y = g (x)$ 的拐点.

2025 年 · 数一 · 第 3 题 · 选择题 · 5 分

设函数

f (x)

在区间

[0, + \infty)

上可导，则（　　）

A当 $x \to + \infty lim f (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim f^{'} (x)$ 存在.
B当 $x \to + \infty lim f^{'} (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim f (x)$ 存在.
C当 $x \to + \infty lim \frac{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}{x}$ 存在时， $x \to + \infty lim f (x)$ 存在.
D当 $x \to + \infty lim f (x)$ 存在时， $x \to + \infty lim \frac{\int _{0}^{x} f ( t ) d t}{x}$ 存在.

2024 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 5 分

已知函数

f (x) = \int_{0}^{x} e^{c o s t} d t

，

g (x) = \int_{0}^{s i n x} e^{t^{2}} d t

，则（　　）

A $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数.
B $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 是奇函数.
C $f (x)$ 与 $g (x)$ 均是奇函数.
D $f (x)$ 与 $g (x)$ 均是周期函数.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\int_{0}^{1} e^{x} d x =

______

练习 2 · 选择题

设

f

连续，则

\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t =

（　　）

A $f (x)$
B $f (t)$
C $f (a)$
D $F (x) - F (a)$

练习 3 · 选择题

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} sin t d t =

（　　）

A $sin (x^{2})$
B $2 x sin (x^{2})$
C $cos (x^{2})$
D $2 x cos (x^{2})$

练习 4 · 填空题

\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x =

______

练习 5 · 选择题

x \to 0 lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} cos t d t =

（　　）

A $1$
B $0$
C $+ \infty$
D $\frac{1}{2}$

练习 6 · 填空题

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} ( x - t ) sin t d t}{x ^{3}} =

____。

练习 7 · 选择题

设

f (x)

连续，

F (x) = \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t

，则

F^{'} (x) =

（　　）。

A $f (x^{2})$
B $2 x f (x^{2})$
C $2 x f (x)$
D $x^{2} f (x^{2})$

练习 8 · 解答题

设

f (x)

为连续函数，令

F (x) = \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t .

求

F^{'} (x)

。

2020 年 · 数一 · 第 1 题 · 选择题 · 4 分

当

x \to 0^{+}

时，下列无穷小量中最高阶的是（　　）

A $\int_{0}^{x} (e^{t^{2}} - 1) d t$ .
B $\int_{0}^{x} ln (1 + t^{3}) d t$ .
C $\int_{0}^{s i n x} sin t^{2} d t$ .
D $\int_{0}^{1 - c o s x} sin^{3} t d t$ .

2016 年 · 数一 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} t ln ( 1 + t sin t ) d t}{1 - cos x ^{2}} =

___.

微积分基本定理与变限积分

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 微积分基本定理：Φ′(x)=f(x)、牛顿–莱布尼茨公式、变限求导 (∫uv​fdt)′=f(v)v′−f(u)u′★★ 必会

2. 变限积分函数的奇偶性与周期性★ 要懂

3. 第一基本定理中连续这一前提不能减弱：在 f 的跳跃点处 Φ 不可导★ 要懂

4. 利用 Φ′=f 讨论变限积分函数的单调性与极值★★ 必会

5. 被积函数中含有上限变量 x：先把它移出积分号，再求导★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 微积分基本定理： $Φ^{'} (x) = f (x)$ 、牛顿–莱布尼茨公式、变限求导 $(\int_{u}^{v} f d t)^{'} = f (v) v^{'} - f (u) u^{'}$ ★★ 必会

3. 第一基本定理中连续这一前提不能减弱：在 $f$ 的跳跃点处 $Φ$ 不可导★ 要懂

4. 利用 $Φ^{'} = f$ 讨论变限积分函数的单调性与极值★★ 必会

5. 被积函数中含有上限变量 $x$ ：先把它移出积分号，再求导★★ 必会