反常（广义）积分

反常积分（广义积分）分为两类，计算的第一步永远是判明它在何处反常。

① 无穷限的反常积分：积分区间无界。定义是把无穷的一端换成变量，再取极限，
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{+\infty }f(x)dx& =\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx\\ {\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx& =\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx.\end{array}$$
两端都是无穷时，${\int }_{-\infty }^{+\infty }$ 必须拆成 ${\int }_{-\infty }^c+{\int }_c^{+\infty }$，只有两段各自收敛，原积分才收敛。

② 瑕积分（无界函数的反常积分）：积分区间有限，但被积函数在区间内某点附近无界，这样的点称为瑕点。定义是把瑕点附近的一小段除去，再取朝瑕点方向的单侧极限：如果瑕点是下限 $a$，那么 ${\int }_a^{b}f={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{a+\epsilon }^{b}f$；如果瑕点是上限 $b$，那么 ${\int }_a^{b}f={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_a^{b-\epsilon }f$；如果瑕点落在区间内部，即 $c\in (a,b)$，那么必须拆成 ${\int }_a^c+{\int }_c^b$ 两段，分别取单侧极限。例如 ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}[2\sqrt{x}{]}_{\epsilon }^1={\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}(2-2\sqrt{\epsilon })=2$，其中瑕点是 $0$，最后由单侧极限得出结果。

计算的三个步骤：
① 判明反常点。 把积分区间逐处检查：端点是否为 $\pm \infty$？被积函数在何处无界（分母的零点、根式取零后又取负指数幂、$\ln$ 的零点等）？最容易出错的情形是端点或区间内部隐藏着瑕点，被积函数表面上并无异常，实际上却在某点趋于 $\infty$。如果漏判而按普通定积分计算，那么结论必然是错的。
② 化为极限。 把每个反常的端点换成变量：无穷限取 $b\to +\infty$，瑕点取单侧极限 $\epsilon \to 0^{+}$。如果反常点不止一个，那么先分段，每段各写各的极限。
③ 求原函数，再在端点取极限。 求出原函数 $F$ 后，使用推广的牛顿-莱布尼茨公式。必须注意，在反常的端点处代入的不是端点本身，而是$F$ 在该端点的极限值：
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{+\infty }f& =\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)-F(a)\\ {\int }_a^{b}f& =\underset{x\to b^{-}}{\lim }F(x)-F(a)(\text{瑕点在 }b).\end{array}$$
如果这个极限存在且有限，那么积分收敛，其值就等于该极限；否则积分发散。最后一步常与换元、分部积分、夹逼等方法配合使用（见下文说明）。

前面已给出两个 $p$-积分比较标准的结论：在 $+\infty$ 一端 $p>1$ 时收敛，在 $0$ 一端 $p<1$ 时收敛，条件的方向相反。下面把它们直接算一遍，使分界为何在 $p=1$、方向为何相反不再依靠记忆。关键在于 $x^{1-p}$ 当 $x\to +\infty$ 与 $x\to 0^{+}$ 时的变化趋势恰好相反：在无穷远处要求 $x^{1-p}\to 0$，这需要 $p>1$；在原点附近要求 $x^{1-p}$ 保持有界，这需要 $1-p>0$，即 $p<1$。同一个指数 $1-p$，在两端所要求的方向正相反，这就是两个比较标准条件相反的根源。

判定敛散性最简便的方法是极限比较法。在积分反常的那一端（$+\infty$ 处或瑕点处）取被积函数的主项，即衰减最慢或发散最强的那一部分，再与比较标准 $x^{-p}$ 相比。如果 $\lim \frac{f}{x^{-p}}=\ell \in (0,+\infty )$，那么 $\int f$ 与 $\int x^{-p}$ 同敛散，于是可用上面两条结论判定。实际操作时，只需看当 $x\to +\infty$（或趋于瑕点）时 $f$ 与哪一个 $x^{-p}$ 同阶。注意对数因子的作用是微弱的：$\ln x$ 比任何正幂 $x^{\delta }$ 增长都慢，因此通常不改变由幂次主导的敛散性；但对于纯对数型的积分（如 ${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x(\ln x{)}^q}$），必须单独令 $u=\ln x$ 另作判定。

一个积分可能两端都反常：一端趋于无穷，另一端（或区间内部）有瑕点。这时必须按每个反常点把积分拆成若干段，每段单独判定，只有各段都收敛，原积分才收敛；只要有一段发散，整个积分就发散。常见的错误是只注意无穷限而遗漏了端点处的瑕点，或者反过来。通常的做法是取一个中间点（例如 $1$）把区间断开，再分别处理。

反常积分也有绝对收敛与条件收敛之分：如果 $\int |f|$ 收敛，那么称原积分绝对收敛，并且绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛。但反过来并不成立，存在收敛而不绝对收敛的积分，这种积分称为条件收敛的。典型的例子是 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$。由狄利克雷判别法，$\frac{1}{x}$ 单调趋于 $0$，而 $\sin$ 的原函数有界，故该积分收敛；但 ${\int }_1^{+\infty }\frac{|\sin x|}{x}dx$ 发散。明确这一点，可以避免由 $\int f$ 收敛就断定 $\int |f|$ 也收敛的错误（数一只要求了解这一层次，但结论必须知道）。