反常（广义）积分

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 两类反常积分：区间无穷，或函数无界

定积分

\int_{a}^{b} f

的前提是区间有限且函数有界。破掉其中任何一条，就叫反常积分，要用极限重新定义。

第一类：无穷区间.

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = b \to + \infty lim \int_{a}^{b} f (x) d x .

极限存在就说它收敛，否则发散。

\int_{- \infty}^{a}

同理。

第二类：无界函数（瑕积分）. 若

f

在

b

的左邻域内无界（称

b

为瑕点），

\int_{a}^{b} f (x) d x = t \to b^{-} lim \int_{a}^{t} f (x) d x .

瑕点在哪儿要自己找——它通常是分母的零点，或

ln

的零点。这是整节最要紧的一件事：看不出瑕点，就会把反常积分当普通定积分算，得到一个荒唐的数而毫无察觉。

典型的事故：

\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}

。硬套牛顿–莱布尼茨得

[- \frac{1}{x}]_{- 1}^{1} = - 2

，而被积函数处处为正，积分不可能是负的—— $x = 0$ 是瑕点，这个积分其实发散。

2. 两个基准： $p$ 积分

判敛散时的尺子只有两把，都要记牢。

无穷区间的 $p$ 积分：

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}} {收敛, 发散, p > 1, p \leq 1.

瑕积分的 $p$ 积分：

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}} {收敛, 发散, p < 1, p \geq 1.

两条的方向正好相反，这是最容易记混的地方。理解着记：

无穷远处要求函数衰减得够快（

p

大才收敛）；瑕点附近要求函数发散得够慢（

p

小才收敛）。

分界点都是

p = 1

，而且

p = 1

时两边都发散——

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x} = + \infty

、

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = + \infty

。记住「

\frac{1}{x}

两头都不收敛」，方向就不会弄反。

3. 比较判别法：和 $p$ 积分比

多数题不要求算出值，只问收不收敛。办法是和 $p$ 积分比。

比较判别法. 设

0 \leq f \leq g

，则

\int g 收敛 \int f 发散 \Rightarrow \int f 收敛, \Rightarrow \int g 发散 .

一句话：大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散。

极限形式（更好用）. 设

f, g > 0

，若

lim \frac{f}{g} = c \in (0, + \infty),

则

\int f

与

\int g

同敛散。

用法是固定的：把 $f$ 在出事的那一点处与 $\frac{1}{x ^{p}}$ 比，定出那个 $p$ 。定

p

的办法就是看

f

在那里的阶——这正是第一章「无穷小与无穷大的阶」的用处。

例如

x \to + \infty

时

\frac{1}{x ^{2} + 1} \sim \frac{1}{x ^{2}}

，故取

p = 2 > 1

，收敛。

注意判别法都要求被积函数非负（至少在出事点附近保号）。

4. 多处出事时：拆开，每段单独判

一个积分可能同时在好几处出事：两端都是无穷、区间内部有瑕点、或者既无穷又带瑕点。规矩只有一条：

按出事点把积分拆开，每一段单独判断；只要有一段发散，整个积分就发散。

$\int_{- \infty}^{+ \infty}$ 要拆成两段（中间插一个常数

c

）：

\int_{- \infty}^{+ \infty} f = \int_{- \infty}^{c} f + \int_{c}^{+ \infty} f,

两段必须各自收敛。不能用

R \to + \infty lim \int_{- R}^{R} f

代替——那个极限对

\int_{- \infty}^{+ \infty} x d x

也等于

0

，而这个积分其实是发散的。

瑕点在区间内部时也要拆。

\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}

必须拆成

\int_{- 1}^{0} + \int_{0}^{1}

，而右边那一段发散，所以整体发散。

先数一数有几个出事点，再决定拆几段——这是动笔的第一步。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

动笔第一步：找出事点

第一步：看区间——有没有

\pm \infty

。

第二步：看被积函数——在区间内（含端点）有没有无界的点（分母零点、

ln

的零点）。

第三步：数清楚一共几处出事，按它们把积分拆开。

第四步：每段单独判断，有一段发散整体就发散。

例例. 判断

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( 1 + x )}

的敛散性。

第一步，看区间：带

+ \infty

，远处是一处。

第二步，看函数：

x \to 0^{+}

时

\frac{1}{x} \to + \infty

，近处又是一处。

第三步，一共两处出事，随便取个中间点（比如

1

）拆开：

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( 1 + x )} + \int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( 1 + x )} .

第四步，两段各自判：近处

f \sim x^{- 1/2}

，

p = \frac{1}{2} < 1

，瑕积分收敛；远处

f \sim x^{- 3/2}

，

p = \frac{3}{2} > 1

，收敛。两段都收敛，所以原积分收敛。

漏看近处那一处，就会把一个两段的问题当成一段，结论未必还对。

按定义算：先算有限，再取极限

第一步：把出事的那个限换成变量（

b

或

t

）。

第二步：按普通定积分算出含该变量的表达式。

第三步：让那个变量趋向出事点，求极限。

第四步：极限存在就写「收敛，等于⋯」，否则写「发散」。

例例. 求

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}

。

第一步，把出事的上限换成变量

b

。

第二步，先当普通定积分算：

\int_{1}^{b} x^{- 2} d x = [- \frac{1}{x}]_{1}^{b} = 1 - \frac{1}{b} .

第三步，令

b \to + \infty

：极限是

1

。

第四步，极限存在，所以写「收敛，且等于 $1$ 」。

和

p

判据对一下：

p = 2 > 1

，无穷区间该收敛 ✓。

判敛散：和 $p$ 积分比阶

第一步：确认被积函数在出事点附近保号（通常为正）。

第二步：看

f

在出事点处的阶，定出要比的

\frac{1}{x ^{p}}

。

第三步：算

lim \frac{f}{1/ x ^{p}}

，是正的有限数就同敛散。

第四步：按对应的那条

p

判据下结论——无穷区间要 $p > 1$ ，瑕积分要 $p < 1$ 。

例例. 判断

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x + x}

的敛散性。

第一步，

x \geq 1

时被积函数为正，保号 ✓。

第二步，看阶：

x \to + \infty

时分母的主部是

x

（

x

低一阶），所以拿

\frac{1}{x}

去比，即

p = 1

。

第三步，算极限形式：

x \to + \infty lim \frac{1/ ( x + x )}{1/ x} = x \to + \infty lim \frac{x}{x + x} = 1,

是正的有限数，两者同敛散。

第四步，

p = 1

时无穷区间的

p

积分发散，所以原积分发散。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

没看出瑕点，硬套牛顿–莱布尼茨

\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}

硬算得

- 2

，而被积函数处处为正——答案的符号本身就在报警。

牛顿–莱布尼茨要求在整个区间上连续。动笔前先扫一眼有没有无界的点。

两个 $p$ 判据记反

无穷区间 $p > 1$ 收敛，瑕积分 $p < 1$ 收敛，方向相反。

记法：远处要衰减得快（

p

大），近处要发散得慢（

p

小）；

p = 1

时两头都发散（

\frac{1}{x}

）。

例例. 同一个

\frac{1}{x}

（即

p = \frac{1}{2}

），两处的结论正好相反。

无穷区间：

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x} = b \to + \infty lim [2 x]_{1}^{b} = b \to + \infty lim 2 (b - 1) = + \infty (发散) .

瑕积分：

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = a \to 0^{+} lim [2 x]_{a}^{1} = a \to 0^{+} lim 2 (1 - a) = 2 (收敛) .

同一个

p = \frac{1}{2} < 1

，一个发散一个收敛。

记法：远处要衰减得够快（

p

大才收敛），近处要发散得够慢（

p

小才收敛）。

$\int_{- \infty}^{+ \infty}$ 用对称极限代替

R \to + \infty lim \int_{- R}^{R} x d x = 0

，但

\int_{- \infty}^{+ \infty} x d x

发散。

必须拆成两段、各自收敛才算收敛。这与定积分「与取法无关」是同一种讲究。

用比较判别法时不检查保号

比较判别法（含极限形式）都要求被积函数非负，至少在出事点附近保号。

变号的函数要另想办法（绝对收敛等），基础阶段先记住这个前提。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 认出反常

练 1

下列积分中，不是反常积分的是（）。

A $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}}$
B $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}$
C $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}$
D $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}$

练 2

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}} =

________。

练 3

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}}

收敛的充要条件是（）。

A $p < 1$
B $p \leq 1$
C $p \geq 1$
D $p > 1$

练 4

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}}

收敛的充要条件是（）。

A $p < 1$
B $p > 1$
C $p \geq 1$
D任意 $p$

第二组 · 算与判

练 5

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} =

________。

练 6

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x}

（）。

A收敛于 $1$
B收敛于 $0$
C收敛于 $ln 2$
D发散

练 7

判断

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2} + 1}

的敛散性时，应拿

\frac{1}{x}

去比，指数填 ________。

练 8

极限形式的比较判别法要求（）。

A被积函数保号（通常为正）
B被积函数单调
C被积函数连续可导
D积分区间有限

第三组 · 多处出事

练 9

\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}

（）。

A等于 $- 2$
B等于 $2$
C等于 $0$
D发散

练 10

\int_{- \infty}^{+ \infty} x d x

（）。

A收敛于 $0$ （由对称性）
B发散
C收敛于 $+ \infty$
D收敛于 $1$

练 11

\int_{0}^{+ \infty} e^{- x} d x =

________。

练 12

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{2}}

（）。

A发散（ $x = 0$ 处那一段就发散）
B收敛，因为 $p = 2 > 1$
C收敛于 $1$
D收敛于 $0$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

反常（广义）积分

先打基础

1. 两类反常积分：区间无穷，或函数无界

2. 两个基准：p 积分

3. 比较判别法：和 p 积分比

4. 多处出事时：拆开，每段单独判

常用结构

动笔第一步：找出事点

按定义算：先算有限，再取极限

判敛散：和 p 积分比阶

基础易错

没看出瑕点，硬套牛顿–莱布尼茨

两个 p 判据记反

∫−∞+∞​ 用对称极限代替

用比较判别法时不检查保号

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 两个基准： $p$ 积分

3. 比较判别法：和 $p$ 积分比

判敛散：和 $p$ 积分比阶

两个 $p$ 判据记反

$\int_{- \infty}^{+ \infty}$ 用对称极限代替