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定积分几何应用（面积、体积、弧长）

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 微元法：先写出「一小片」，再积起来

定积分的一切应用都走同一条路，叫微元法：

① 取一小片. 在

[a, b]

内取一小段

[x, x + d x]

，写出这一小片对应的量

d A

（称为微元）。

② 积起来.

A = \int_{a}^{b} d A

。

要害全在第一步：那一小片要近似成一个规则图形（矩形、圆盘、直条），而且误差必须比

d x

高阶——这一点由「

d x

很小」保证，基础阶段按规矩写即可，不必每次论证。

举面积为例：那一小片是一个竖直细条，宽

d x

、高

f (x)

，面积

d A = f (x) d x,

积起来就是

\int_{a}^{b} f (x) d x

——正好回到定积分的定义。

所以微元法不是新东西，是把定义倒着用：定义是「分割求和取极限」，微元法是「写出一片、直接积」。

2. 面积：竖条、横条与极坐标

① 竖条（对 $x$ 积分）. 上下由两条

y = f (x)

、

y = g (x)

围成：

A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x (f \geq g) .

② 横条（对 $y$ 积分）. 左右由

x = φ (y)

、

x = ψ (y)

围成：

A = \int_{c}^{d} [φ (y) - ψ (y)] d y (φ \geq ψ) .

挑竖条还是横条，看哪种分段少. 图形左右边界是同一条曲线、而上下边界要换表达式时，用横条就不必分段——这是选对积分变量能省半道题的地方。

③ 极坐标. 曲边扇形

r = r (θ)

，

θ

从

α

到

β

：

A = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} (θ) d θ .

那个 $\frac{1}{2}$ 和平方都不能漏——微元是一个小扇形，面积为

\frac{1}{2} r^{2} d θ

，不是矩形。

三种切法各有各的场合：竖条、横条、以及极坐标下的扇形微元

d A = \frac{1}{2} r^{2} d θ

：

3. 旋转体体积：圆盘法与柱壳法

① 绕 $x$ 轴转（圆盘法）. 曲边梯形

y = f (x)

、

x \in [a, b]

绕

x

轴旋转：

V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x .

微元是一个薄圆盘，半径

f (x)

、厚

d x

，体积

π f^{2} d x

。

那个平方和 $π$ 都不能漏。 若图形是两条曲线之间的部分，转出来是个垫圈，体积是

π \int (f^{2} - g^{2})

——是平方之差，不是差的平方。

② 绕 $y$ 轴转（柱壳法）. 同一个曲边梯形绕

y

轴旋转：

V = 2 π \int_{a}^{b} x f (x) d x .

微元是一个薄柱壳：把竖条绕

y

轴转一圈，展开是一张长

2 π x

、高

f (x)

、厚

d x

的薄片。

柱壳法的好处是仍对 $x$ 积分，不必把

y = f (x)

反解成

x = φ (y)

。反解得出来时也可以用圆盘法对

y

积分，两条路答案一样。

记法：绕谁转，微元就垂直于谁——绕

x

轴得圆盘（垂直于

x

轴），绕

y

轴得柱壳（竖条转出来的筒）。

三种微元摆在一起就不会选错：圆盘（绕

x

轴、切竖条）、垫圈（中间有洞）、柱壳（绕

y

轴）：

4. 弧长与旋转曲面面积

弧长. 曲线

y = f (x)

、

x \in [a, b]

的长度为

s = \int_{a}^{b} 1 + f^{' 2} (x) d x .

微元来自勾股定理：一小段曲线近似成斜边，

d s = (d x)^{2} + (d y)^{2} = 1 + y^{' 2} d x .

这个 $d s$ 叫弧微分，后面物理应用里还要用。

参数方程

{x = φ (t) y = ψ (t)

时：

s = \int_{α}^{β} φ^{' 2} + ψ^{' 2} d t .

旋转曲面面积（绕

x

轴）：

S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + f^{' 2} d x .

微元是一条细带子：周长

2 π f

乘上弧长微元

d s

。

这里最常见的错是把 $d s$ 写成 $d x$ ，即漏掉

1 + f^{' 2}

。记住：算面积用 $d s$ ，算体积用 $d x$ ——侧面是沿着曲线铺的，底面是垂直切下去的。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

求面积：画草图，定交点，判上下

第一步：画草图（哪怕很糙），看清图形的样子。

第二步：联立求交点，它们定出积分限、也定出要不要分段。

第三步：选竖条还是横条——看哪种分段少。

第四步：每段判一次「谁在上（右）」，写出上减下的被积函数，再积。

例例. 求

y = x

与

y = x^{2}

围成的面积。

第一步，画草图：一条直线、一条抛物线，在原点与

(1, 1)

之间直线在上。

第二步，联立

x = x^{2}

解出交点

x = 0

与

x = 1

——它们就是积分限。

第三步，选竖条：上下只换一次，不必分段。

第四步，判上下。取区间内一点

x = \frac{1}{2}

代进去比一比：直线给

0.5

、抛物线给

0.25

，直线在上。于是

S = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} .

求旋转体体积：绕谁转，定哪种微元

绕 $x$ 轴：圆盘法

V = π \int f^{2} d x

；两条曲线之间用

π \int (f^{2} - g^{2})

。

绕 $y$ 轴：柱壳法

V = 2 π \int x f (x) d x

；或反解后用圆盘法对

y

积分。

检查：平方有没有写、

π

有没有漏、是不是「平方之差」。

核对：结果必须为正，而且量级上说得通。

柱壳法为什么是

2 π x \cdot f (x) d x

——把那层薄壳沿母线剪开摊平，就是一张长

2 π x

、高

f (x)

、厚

d x

的纸：

例例. 求

y = x^{2}

、

y = 0

、

x = 1

围成的图形绕 $y$ 轴旋转所得的体积。

第一步，绕

y

轴转，用柱壳法最省事（不必反解

x = y

）。

第二步，套公式

V = 2 π \int x f (x) d x

：

V = 2 π \int_{0}^{1} x \cdot x^{2} d x = 2 π \int_{0}^{1} x^{3} d x = 2 π \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{2} .

第三步，检查：

π

没漏、结果为正、量级也说得通。

第四步，换条路核对——反解后用圆盘法对

y

积分（外半径

1

、内半径

y

）：

π \int_{0}^{1} (1^{2} - (y)^{2}) d y = π (1 - \frac{1}{2}) = \frac{π}{2} .

同一个数。

弧长 / 侧面积：先算 $1 + y^{' 2}$

第一步：求

y^{'}

，算出

1 + y^{' 2}

。

第二步：看它能不能开方——不能的话多半前面算错了。

第三步：弧长就积

1 + y^{' 2} d x

；侧面积再乘

2 π f (x)

。

第四步：别把 $d s$ 写成 $d x$ 。

例例. 求

y = \frac{2}{3} x^{3/2}

在

[0, 3]

上的弧长。

第一步，

y^{'} = x^{1/2}

，于是

1 + y^{' 2} = 1 + x

。

第二步，看能不能开方：

1 + x

开得出来 ✓（开不出来的话，多半是前面哪一步算错了——这类题都是凑好的）。

第三步，积

d s = 1 + y^{' 2} d x

：

s = \int_{0}^{3} 1 + x d x = [\frac{2}{3} (1 + x)^{3/2}]_{0}^{3} = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3} .

第四步，若问的是绕

x

轴转出来的侧面积，就在同一个

d s

前面乘

2 π f (x)

——积的仍然是

d s

，不是 $d x$ 。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

不画草图就定上下

「谁在上」要看图，而且在交点处会换。

不分段直接积，相交的两块会互相抵消一部分，面积算小了。判上下的办法：每段取一个点代进去比一比。

例例. 求

y = x

与

y = x^{3}

围成的面积。

错：解出交点

x = 0, \pm 1

之后直接写

\int_{- 1}^{1} (x - x^{3}) d x = 0.

面积不可能是零——这个

0

本身就在报警。

对：画草图就看出上下关系在 $x = 0$ 处换了：

(- 1, 0)

上

x^{3}

在上，

(0, 1)

上

x

在上。按

0

拆开：

\int_{- 1}^{0} (x^{3} - x) d x + \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .

不分段的话，两块面积一正一负正好抵消。判上下的办法：每段取一个点代进去比一比。

圆盘法漏掉平方

V = π \int f^{2} (x) d x

，被积函数要先平方。

y = x^{2}

绕

x

轴转是

π \int x^{4}

，不是

π \int x^{2}

。

微元是圆盘，面积

π r^{2}

——平方来自这里。

垫圈写成「差的平方」

两曲线之间绕

x

轴转是

π \int (f^{2} - g^{2})

，不是

π \int (f - g)^{2}

。

微元是大圆挖掉小圆。

f = 2

、

g = 1

时正确答案是

3 π

，错的只有

π

。

算侧面积用了 $d x$

旋转曲面面积是

2 π \int f 1 + f^{' 2} d x

，那个根号就是 $d s$ 。

记法：体积用 $d x$ （垂直切），侧面积用 $d s$ （沿曲线铺）。

例例. 求

y = x

（

0 \leq x \leq 1

）绕

x

轴旋转所得的侧面积。

错：写成

2 π \int_{0}^{1} x d x = π

。

对：

y^{'} = 1

，故

d s = 1 + 1 d x = 2 d x

：

S = 2 π \int_{0}^{1} x \cdot 2 d x = 2 π .

核对：这是底半径

1

、母线长

2

的圆锥侧面，公式

π r l = π \cdot 1 \cdot 2

✓。错的那个答案

π

对不上。

体积用 $d x$ （垂直切片），侧面积用 $d s$ （沿曲线铺开）。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 面积

练 1

由

y = x^{2}

与

y = x

围成的图形，交点的横坐标是

x = 0

与

x =

________。

练 2

由

y = f (x)

、

y = g (x)

（

f \geq g

）与

x = a

、

x = b

围成的面积是（）。

A $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x$
B $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x$
C $\int_{a}^{b} f (x) d x$
D $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)]^{2} d x$

练 3

\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x =

________（结果用分数）。

练 4

极坐标下曲边扇形的面积公式是（）。

A $\int_{α}^{β} r (θ) d θ$
B $π \int_{α}^{β} r^{2} (θ) d θ$
C $2 π \int_{α}^{β} r (θ) d θ$
D $\frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} (θ) d θ$

第二组 · 体积

练 5

y = x^{2}

、

x \in [0, 1]

与

x

轴围成的图形绕

x

轴旋转，体积

V = π \int_{0}^{1} x d x

，指数填 ________。

练 6

同一图形绕

y

轴旋转，用柱壳法得

V =

（）。

A $π \int_{0}^{1} x^{4} d x$
B $2 π \int_{0}^{1} x \cdot x^{2} d x$
C $2 π \int_{0}^{1} x^{2} d x$
D $π \int_{0}^{1} x^{2} d x$

练 7

两条曲线之间的图形绕

x

轴旋转（

f \geq g \geq 0

），体积为（）。

A $π \int (f - g)^{2} d x$
B $π \int (f - g) d x$
C $2 π \int x (f - g) d x$
D $π \int (f^{2} - g^{2}) d x$

练 8

设

y^{'} = x^{1/2}

，则

1 + y^{' 2} = 1 +

________。

第三组 · 弧长与选法

练 9

曲线

y = \frac{2}{3} x^{3/2}

在

[0, 3]

上的弧长为 ________（结果用分数）。

练 10

旋转曲面面积公式

S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) \cdot () d x

，括号里应是（）。

A $1$
B $f (x)$
C $1 + f^{' 2} (x)$
D $f^{'} (x)$

练 11

求

y^{2} = x

与

y = x - 2

围成的面积时，对

y

积分比对

x

积分省事，因为（）。

A对 $y$ 积分不必求交点
B对 $y$ 积分时左右边界各只有一条曲线，不必分段
C对 $x$ 积分时公式不成立
D两者一样方便

练 12

y^{2} = x

与

y = x - 2

的交点的纵坐标是

y = - 1

与

y =

________。

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

定积分几何应用（面积、体积、弧长）

先打基础

1. 微元法：先写出「一小片」，再积起来

2. 面积：竖条、横条与极坐标

3. 旋转体体积：圆盘法与柱壳法

4. 弧长与旋转曲面面积

常用结构

求面积：画草图，定交点，判上下

求旋转体体积：绕谁转，定哪种微元

弧长 / 侧面积：先算 1+y′2

基础易错

不画草图就定上下

圆盘法漏掉平方

垫圈写成「差的平方」

算侧面积用了 dx

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

弧长 / 侧面积：先算 $1 + y^{' 2}$

算侧面积用了 $d x$