定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）

§3.8 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

2.43 分/卷近 11 年平均

6/11 年出现年份

2.4 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）定积分的概念与性质定积分的计算

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 微元法中以直代曲为什么合法：高阶误差在积分中自动消失★ 要懂

定积分的一切几何应用与物理应用都建立在微元法之上，而微元法本身的合理性却常被略去。其要点在于：在长为

d x

的小区间上，用直代曲、以匀代变所写出的微元

d U

，与真实的增量只相差一个比 $d x$ 高阶的无穷小

o (d x)

；求和以后再取极限，也就是作积分时，这些高阶误差之和

\to 0

，因而不影响结果。这就是可以把曲边梯形的窄条看作矩形、把小弧段看作斜直线的原因。掌握了这一点，遇到新的量时也能自行写出它的微元。

证明 / 推导

以曲边梯形的面积为例。面积函数为

A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

，其真实增量为

Δ A = A (x + d x) - A (x) = \int_{x}^{x + d x} f (t) d t

。由积分中值定理，

Δ A = f (ξ) d x (ξ \in [x, x + d x])

。而所取的微元是

d A = f (x) d x

，二者之差为

Δ A - d A = (f (ξ) - f (x)) d x .

当

f

连续时

f (ξ) - f (x) \to 0

，故这个差是

o (d x)

。作积分，即对所有小区间求和再取极限，就把

o (d x)

这一级的误差消去，因此

A = \int_{a}^{b} f (x) d x

精确成立。

■

举例说明

已知平行截面面积求体积是微元法的直接推广：若立体在

x

处垂直于

x

轴的截面面积为

A (x)

，则

V = \int_{a}^{b} A (x) d x

。例如，设一立体的底面是半径为

R

的圆，而垂直于某一直径的各个截面都是等边三角形。在

x

处截面的边长为

2 R^{2} - x^{2}

，等边三角形的面积

A (x) = \frac{3}{4} (2 R^{2} - x^{2})^{2} = 3 (R^{2} - x^{2})

，故

V = \int_{- R}^{R} 3 (R^{2} - x^{2}) d x = 3 \cdot \frac{4 R ^{3}}{3} = \frac{4 3}{3} R^{3} .

2. 旋转体的体积：圆盘法、垫圈法与柱壳法，按旋转轴选用，也可绕非坐标轴旋转★★ 必会

求旋转体的体积时，应按绕哪一条轴旋转、中间是否空心来选择公式：圆盘法（绕

x

轴，实心）

V = π \int y^{2} d x

；垫圈法（绕

x

轴，空心）

V = π \int (R^{2} - r^{2}) d x

，这里是两个半径的平方之差，而不是两半径之差的平方；柱壳法（绕

y

轴）

V = 2 π \int x y d x

，即把竖条卷成薄壳。若绕非坐标轴（如

x = c

、

y = c

）旋转，只需把半径写成点到该轴的距离，再用同样的公式。

证明 / 推导

柱壳法的微元推导：绕

y

轴旋转时，在

x

处取宽为

d x

、高为

y

的竖条，它绕轴旋转一周得到一个薄圆筒。把这个圆筒剪开摊平，就是一块薄板，其长

=

圆筒的周长

2 π x

，宽

=

圆筒的高

y

，厚

= d x

，故体积微元为

d V = 2 π x \cdot y \cdot d x .

积分即得

V = 2 π \int_{a}^{b} x y d x

。

■

举例说明

求由

y = x^{2}

、

y = 0

、

x = 1

所围成的区域绕直线 $x = 1$ （这是一条非坐标轴）旋转所得立体的体积。用柱壳法，点到轴

x = 1

的距离即为半径

= (1 - x)

，而高为

y = x^{2}

，故

V = 2 π \int_{0}^{1} (1 - x) x^{2} d x = 2 π \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{3}) d x = 2 π (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{π}{6} .

3. 求面积的三种公式：直角坐标下用上减下、极坐标下用 $\frac{1}{2} r^{2}$ 、参数方程下须注意符号★★ 必会

求面积时应按所用坐标系选择公式，各有容易出错之处：直角坐标

A = \int ∣ f - g ∣ d x

，若两曲线有交点，则要分段确定谁在上、谁在下；极坐标的扇形微元为

d A = \frac{1}{2} r^{2} d θ

，其中的

\frac{1}{2}

绝不能漏掉；参数方程

A = \int y x^{'} d t

（或

- \int x y^{'} d t

），要注意积分的方向与符号。极坐标中的

\frac{1}{2} r^{2}

来自扇形面积公式

\frac{1}{2} r^{2} Δ θ

。

证明 / 推导

极坐标面积微元的推导：在

[θ, θ + d θ]

上，所论图形近似于半径为

r (θ)

、圆心角为

d θ

的扇形。扇形面积

= \frac{1}{2} r^{2} \cdot (圆心角)

，故

d A = \frac{1}{2} r^{2} d θ

，积分即得

A = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} (θ) d θ

。

■

举例说明

求心形线

r = 1 + cos θ

所围成的面积。由对称性，对

θ \in [0, 2 π]

积分，得

A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + cos θ)^{2} d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + 2 cos θ + \frac{1 + cos 2 θ}{2}) d θ = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2} .

（这里用到了

\int_{0}^{2 π} cos θ d θ = 0

、

\int_{0}^{2 π} cos^{2} θ d θ = π

，以及不能漏掉的因子

\frac{1}{2}

。）

💡 小知识

早在两千多年前，阿基米德就用穷竭法算出了球的体积

\frac{4}{3} π r^{3}

，并证明它恰好是外切圆柱体积的

\frac{2}{3}

。穷竭法可以看作微元法的雏形。他对这个结果十分得意，留下遗嘱要把圆柱容球的图形刻在自己的墓碑上。微元法的思想，比牛顿和莱布尼茨的符号早了近两千年。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求由抛物线

y = x^{2}

与直线

y = x

所围平面图形的面积。难度 1

先求交点：

x^{2} = x \Rightarrow x = 0

或

x = 1

。在

(0, 1)

上比较上下：取

x = \frac{1}{2}

，

y = x

给

0.5

、

y = x^{2}

给

0.25

，故直线 $y = x$ 在上、抛物线在下。用「上减下」的面积微元

d A = (x - x^{2}) d x

：

A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} .

方法总结：直角坐标求面积三步——求交点定区间、判上下、上减下积分。

例 2 求曲线

y = x

、

x = 1

与

x

轴所围区域绕

x

轴旋转所得旋转体的体积。难度 2

绕

x

轴旋转，垂直于

x

轴切薄圆盘，半径为

y = x

，体积微元

d V = π y^{2} d x = π x d x

。

x

从

0

到

1

积分（圆盘法）：

V = π \int_{0}^{1} (x)^{2} d x = π \int_{0}^{1} x d x = π \cdot \frac{1}{2} = \frac{π}{2} .

方法总结：绕

x

轴用圆盘法

V_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x

；关键是把半径（到旋转轴的距离）写对。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2024 年 · 数三 · 第 19 题 · 解答题 · 12 分

设

t > 0

，平面有界区域

D

由曲线

y = x e^{- 2 x}

与直线

x = t

，

x = 2 t

及

x

轴围成，

D

的面积为

S (t)

，求

S (t)

的最大值。

2023 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知平面区域

D = {(x, y) 0 \leq y \leq \frac{1}{x 1 + x ^{2}}, x \geq 1}

。（Ⅰ）求

D

的面积；（Ⅱ）求

D

绕

x

轴旋转所成旋转体的体积。

2021 年 · 数三 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

设平面区域

D

由曲线

y = x sin π x (0 \leq x \leq 1)

与

x

轴围成，则

D

绕

x

轴旋转所围成的旋转体的体积为 ______。

2020 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 4 分

设平面区域

D = {(x, y) \frac{x}{2} \leq y \leq \frac{1}{1 + x ^{2}}, 0 \leq x \leq 1}

，则

D

绕

y

轴旋转所成的旋转体的体积为 ______.

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

由抛物线

y = x^{2}

与直线

y = 1

所围图形的面积为 ______

练习 2 · 选择题

曲线

y = x

、

x = 4

与

x

轴所围区域绕

x

轴旋转，所得旋转体体积为（　　）

A $4 π$
B $8 π$
C $16 π$
D $\frac{32}{3} π$

练习 3 · 填空题

曲线

y = x^{2}

、

x = 1

与

x

轴所围区域绕

y

轴旋转所得旋转体的体积为 ______

练习 4 · 选择题

由曲线

y = ln x

、直线

x = e

与

x

轴所围平面图形绕

y

轴旋转一周所得旋转体的体积为（　　）

A $\frac{π ( e ^{2} + 1 )}{2}$
B $\frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2}$
C $\frac{π ( e ^{2} + 1 )}{4}$
D $π (e^{2} - 1)$

练习 5 · 填空题

由曲线

y^{2} = x

与直线

y = x - 2

所围平面图形的面积为 ______

练习 6 · 解答题

设平面区域

D = {(x, y) : x \geq 0, 0 \leq y \leq x e^{- x}} .

(1) 求

D

的面积

S

；

(2) 求

D

绕

x

轴旋转一周所得旋转体的体积

V_{x}

；

(3) 求

D

绕

y

轴旋转一周所得旋转体的体积

V_{y}

。

2019 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 10 分

求曲线

y = e^{- x} sin x (x \geq 0)

与

x

轴之间图形的面积.

2017 年 · 数三 · 第 9 题 · 填空题 · 4 分

\int_{- π}^{π} (sin^{3} x + π^{2} - x^{2}) d x =

______。

定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 微元法中以直代曲为什么合法：高阶误差在积分中自动消失★ 要懂

2. 旋转体的体积：圆盘法、垫圈法与柱壳法，按旋转轴选用，也可绕非坐标轴旋转★★ 必会

3. 求面积的三种公式：直角坐标下用上减下、极坐标下用 21​r2、参数方程下须注意符号★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 求面积的三种公式：直角坐标下用上减下、极坐标下用 $\frac{1}{2} r^{2}$ 、参数方程下须注意符号★★ 必会