定积分的计算

§3.6 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

4.36 分/卷近 11 年平均

11/11 年出现年份

9.3 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）微积分基本定理与变限积分换元积分法与分部积分法③ 掌握后可解锁定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）定积分的经济应用（由边际求总量、剩余）二重积分的概念与性质二重积分的计算（直角坐标、交换积分次序）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 区间再现公式 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x$ ：处理区间对称而被积函数并非奇偶函数的积分★★ 必会

这是定积分特有的一种算法，许多真题不必求出原函数，就是依靠它。其要点是作换元

x = a + b - t

，把积分翻折到自身，再与原式相加或联立，常常可以化成很简单的形式。最常用的推论是

\int_{0}^{π} x f (sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin x) d x

，它把不便处理的因子

x

换成常数

\frac{π}{2}

。

证明 / 推导

令

x = a + b - t

，则

d x = - d t

，积分限由

a \to b

变为

b \to a

，于是

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{b}^{a} f (a + b - t) (- d t) = \int_{a}^{b} f (a + b - t) d t .

积分变量用什么字母无关紧要，这就得到了区间再现公式。推论的证明（取

a = 0, b = π

）：记

I = \int_{0}^{π} x f (sin x) d x

，用

x = π - t

、

sin (π - t) = sin t

，得

I = \int_{0}^{π} (π - t) f (sin t) d t = π \int_{0}^{π} f (sin t) d t - I,

移项即得

I = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin x) d x

。

■

举例说明

求

\int_{0}^{π} \frac{x sin x}{1 + cos ^{2} x} d x

。用上述推论（此时

f (sin x) = \frac{s i n x}{1 + c o s ^{2} x}

），得

= \frac{π}{2} \int_{0}^{π} \frac{sin x}{1 + cos ^{2} x} d x = \frac{π}{2} [- arctan (cos x)]_{0}^{π} = \frac{π}{2} (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) = \frac{π ^{2}}{4} .

2. 定积分换元时换限而不必代回：这样做的理由与前提★★ 必会

定积分换元

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t

与不定积分的换元有一点最大的不同：积分的上下限要同时换成新变量的相应值，算完直接代入 $α, β$ ，而不必再代回 $x$ 。这是因为牛顿-莱布尼茨公式把积分化成原函数在两端点处的值之差，端点用哪一个变量来表示，结果都相同。前提是 $φ$ 在 $[α, β]$ 上单调，即为一一对应，并且有连续的导数，否则换限时区间会发生重叠而出错。

证明 / 推导

设

F

是

f

的原函数（

F^{'} = f

），

φ (α) = a, φ (β) = b

。由链式法则，右端的被积函数

f (φ (t)) φ^{'} (t) = \frac{d}{d t} F (φ (t))

，因此

\int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = [F (φ (t))]_{α}^{β} = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} f (x) d x .

由此可见，换元以后只需代入新的积分限，所得结果自然等于原来的积分，再代回

x

是多余的。

■

举例说明

求

\int_{0}^{1} e^{x} d x

。令

t = x

（它在

[0, 1]

上单调），

x = t^{2}, d x = 2 t d t

，积分限相应地变为

0 \to 0, 1 \to 1

，于是

\int_{0}^{1} e^{x} d x = \int_{0}^{1} 2 t e^{t} d t = 2 [(t - 1) e^{t}]_{0}^{1} = 2 (0 - (- 1)) = 2.

整个过程都不必代回

x

，直接用

t

的积分限

0, 1

。

3. 周期函数在一个周期上的积分可以平移： $\int_{a}^{a + T} f = \int_{0}^{T} f$ ★ 要懂

设

f

以

T

为周期，那么它在任何一个长为 $T$ 的区间上的积分都相等，与起点无关。推广之，有

\int_{a}^{a + n T} f = n \int_{0}^{T} f

。当积分上限很大时，利用这条性质可以把长区间分成整数个周期，只算一个周期上的积分，再乘以周期的个数。它常与

1 - cos 2 x = 2 ∣ sin x ∣

这类化简一起使用。

证明 / 推导

设

g (a) = \int_{a}^{a + T} f (x) d x

。对

a

求导（这是变限积分求导，上、下限都随之变动），得

g^{'} (a) = f (a + T) - f (a) = 0 (因 f 周期 T),

于是

g (a)

是常数。取

a = 0

，即得

g (a) \equiv \int_{0}^{T} f

。

■

举例说明

求

\int_{0}^{100 π} 1 - cos 2 x d x

。先化简

1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x = 2 ∣ sin x ∣

，它的周期为

π

。区间

[0, 100 π]

恰好包含

100

个周期，于是

\int_{0}^{100 π} 2 ∣ sin x ∣ d x = 100 \int_{0}^{π} 2 sin x d x = 1002 [- cos x]_{0}^{π} = 1002 \cdot 2 = 2002 .

4. 华里士公式的递推来历，以及它只对 $[0, \frac{π}{2}]$ 成立这一使用条件★★ 必会

这一公式并不是只能死记的结论，它是由分部积分建立的递推关系

I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}

逐步递降而得到的，试题有时就直接考查这一递推关系。使用时必须注意它的适用范围：华里士公式只适用于 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的 $sin^{n} x$ 或 $cos^{n} x$ 。如果区间不同，或者被积函数中还含有别的因子，就不能直接套用，须先利用对称性或区间再现公式化成上述标准形式。

证明 / 推导

记

I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x

。对

I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n - 1} x \cdot sin x d x

用分部积分法（取

u = sin^{n - 1} x, d v = sin x d x, v = - cos x

），得

I_{n} = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{π /2} + (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x cos^{2} x d x .

其中已积出的项等于

0

。再由

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

得

I_{n} = (n - 1) (I_{n - 2} - I_{n})

，解得

I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}

。再由

I_{0} = \frac{π}{2}, I_{1} = 1

逐步递降，即得华里士公式。

■

举例说明

对称性与华里士公式合用：求

\int_{- π /2}^{π /2} (sin^{2} x + x cos x + sin^{3} x) d x

。积分区间对称，先判断被积函数各项的奇偶性：

x cos x

是奇函数，

sin^{3} x

也是奇函数，它们的积分都等于

0

；而

sin^{2} x

是偶函数，化到半区间上再用华里士公式，得

\int_{- π /2}^{π /2} sin^{2} x d x = 2 \int_{0}^{π /2} sin^{2} x d x = 2 \cdot \frac{1 !!}{2 !!} \cdot \frac{π}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{2} .

所以原积分

= \frac{π}{2}

。

💡 小知识

华里士在 1655 年就是用点火公式这一类积分，得到了圆周率的无穷乘积

\frac{π}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots

，这是人类第一次用纯代数的连乘去逼近

π

。今天它成了考场上速算

\int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x

的常用工具。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 利用对称性求

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + x^{2}) d x

。难度 1

积分区间

[- 1, 1]

关于原点对称，第一步判被积各项的奇偶：
-

x^{3}

是奇函数，

\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0

；
-

x^{2}

是偶函数，

\int_{- 1}^{1} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x

。
于是

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + x^{2}) d x = 0 + 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} .

方法总结：遇到

\int_{- a}^{a}

，先拆项、判奇偶——奇项直接扔掉、偶项化半区间，往往一步化简大半。

例 2 用换元法求

\int_{0}^{4} \frac{d x}{1 + x}

。难度 2

被积含

x

，作根式代换

t = x

，则

x = t^{2}

，

d x = 2 t d t

。换元同时换限：

x = 0 \Rightarrow t = 0

，

x = 4 \Rightarrow t = 2

。代入（注意换限后不必回代）：

\int_{0}^{4} \frac{d x}{1 + x} = \int_{0}^{2} \frac{2 t}{1 + t} d t .

对

\frac{2 t}{1 + t} = 2 \cdot \frac{( 1 + t ) - 1}{1 + t} = 2 (1 - \frac{1}{1 + t})

积分：

\int_{0}^{2} 2 (1 - \frac{1}{1 + t}) d t = 2 [t - ln (1 + t)]_{0}^{2} = 2 (2 - ln 3) = 4 - 2 ln 3.

方法总结：定积分换元「换元 + 换限」，算完直接代新限，比不定积分省去回代。

例 3 用华里士（点火）公式求

\int_{0}^{π /2} sin^{4} x d x

。难度 2

华里士公式：

\int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = \frac{( n - 1 )!!}{n !!} \cdot \frac{π}{2}

（

n

为正偶数，带 $\frac{π}{2}$ ）。这里

n = 4

：

\int_{0}^{π /2} sin^{4} x d x = \frac{3 !!}{4 !!} \cdot \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2} = \frac{3 π}{16} .

方法总结：双阶乘

n!!

是同奇偶递减相乘（

4!! = 4 \cdot 2

，

3!! = 3 \cdot 1

）。口诀「偶数点火带

\frac{π}{2}

，奇数不带」。

例 4 求

\int_{0}^{π} x sin x d x

（尝试用区间再现公式）。难度 2

利用区间再现结论：对

f (sin x)

型有

\int_{0}^{π} x f (sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin x) d x

。这里

f (sin x) = sin x

，于是把碍事的因子

x

「换掉」：

\int_{0}^{π} x sin x d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} sin x d x = \frac{π}{2} [- cos x]_{0}^{π} = \frac{π}{2} (1 + 1) = π .

方法总结：形如

\int_{0}^{π} x f (sin x) d x

一律用此式把

x

变成常数

\frac{π}{2}

。（本题也可直接分部验证：

[- x cos x + sin x]_{0}^{π} = π

。）

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2026 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

\int_{0}^{1} x (x - 1) (x - \frac{1}{2}) d x =

______。

2025 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

计算

\int_{0}^{1} \frac{1}{( x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 2 )} d x

。

2024 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

设

I = \int_{a}^{a + k π} ∣ sin x ∣ d x

，

k

为整数，则

I

的值（　　）。

A只与 $a$ 有关
B只与 $k$ 有关
C与 $a, k$ 均有关
D与 $a, k$ 均无关

2023 年 · 数三 · 第 18 题 · 解答题 · 12 分

已知平面区域

D = {(x, y) 0 \leq y \leq \frac{1}{x 1 + x ^{2}}, x \geq 1}

。（Ⅰ）求

D

的面积；（Ⅱ）求

D

绕

x

轴旋转所成旋转体的体积。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\int_{- π}^{π} x^{2} sin x d x =

______

练习 2 · 选择题

\int_{- 2}^{2} (x^{3} + 3 x^{2}) d x =

（　　）

A $8$
B $16$
C $24$
D $0$

练习 3 · 填空题

\int_{0}^{π /2} cos^{5} x d x =

______

练习 4 · 选择题

\int_{0}^{1} x 1 - x^{2} d x =

（　　）

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{2}{3}$
D $\frac{π}{4}$

练习 5 · 填空题

\int_{0}^{π /2} \frac{cos x}{sin x + cos x} d x =

______

练习 6 · 选择题

\int_{- 1}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + e ^{x}} d x =

（　）

A $\frac{1}{6}$
B $\frac{2}{3}$
C $\frac{1}{3}$
D $0$

练习 7 · 填空题

\int_{0}^{π} \frac{x sin x}{1 + cos ^{2} x} d x =

____。

练习 8 · 解答题

设

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x (n = 0, 1, 2, \dots) .

(1) 证明：当

n \geq 1

时，

I_{n} = e - n I_{n - 1}

；

(2) 求

I_{4}

；

(3) 证明：

n \to \infty lim I_{n} = 0

。

2022 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

\int_{0}^{2} \frac{2 x - 4}{x ^{2} + 2 x + 4} d x =

______.

2021 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

\int_{5}^{5} \frac{x}{∣ x ^{2} - 9∣} d x =

______。

定积分的计算

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 区间再现公式 ∫ab​f(x)dx=∫ab​f(a+b−x)dx：处理区间对称而被积函数并非奇偶函数的积分★★ 必会

2. 定积分换元时换限而不必代回：这样做的理由与前提★★ 必会

3. 周期函数在一个周期上的积分可以平移：∫aa+T​f=∫0T​f★ 要懂

4. 华里士公式的递推来历，以及它只对 [0,2π​] 成立这一使用条件★★ 必会

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 区间再现公式 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x$ ：处理区间对称而被积函数并非奇偶函数的积分★★ 必会

3. 周期函数在一个周期上的积分可以平移： $\int_{a}^{a + T} f = \int_{0}^{T} f$ ★ 要懂

4. 华里士公式的递推来历，以及它只对 $[0, \frac{π}{2}]$ 成立这一使用条件★★ 必会