换元积分法与分部积分法

§3.2 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

0.85 分/卷近 11 年平均

5/11 年出现年份

5.9 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）不定积分的概念与性质求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁有理函数及三角有理式积分定积分的计算一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 凑微分（第一类换元法）实质上是链式法则的逆用，要领在于认出 $g^{'} (x) d x = d g$ ★★ 必会

凑微分之所以成立，就是把链式法则反过来读。使用时的要领不在于记忆，而在于从被积表达式中认出某个函数的微分：看到

2 x d x

就想到

d (x^{2})

，看到

\frac{d x}{x}

就想到

d (ln x)

，看到

\frac{d x}{c o s ^{2} x}

就想到

d (tan x)

，等等。凑不齐的常数因子，随手补上即可。只要把微分公式表用熟，大半基础积分都能一眼凑出。

证明 / 推导

第一类换元定理及其证明。 设

\int f (u) d u = F (u) + C

，即

F^{'} = f

。断言

\int f (φ (x)) φ^{'} (x) d x = F (φ (x)) + C

。只需对右端求导，由链式法则得

\frac{d}{d x} F (φ (x)) = F^{'} (φ (x)) \cdot φ^{'} (x) = f (φ (x)) φ^{'} (x),

它恰等于被积函数，故等式成立。由此可见，凑微分就是把链式法则从右往左看。

■

举例说明

求

\int tan x d x

。把它改写成

\frac{sin x}{cos x}

，并注意

- sin x d x = d (cos x)

，于是

\int tan x d x = \int \frac{sin x}{cos x} d x = - \int \frac{d ( cos x )}{cos x} = - ln ∣ cos x ∣ + C .

与此相类似，

\int cot x d x = ln ∣ sin x ∣ + C

。这两个是应当记住的凑微分标准结果。

2. 第二类换元法中的三角代换：三种根式各有相应的代换，并须限定 $t$ 的范围★ 要懂

去根号是第二类换元法的主要用途，三种根式分别对应三种代换：

a^{2} - x^{2}

用

x = a sin t

，

a^{2} + x^{2}

用

x = a tan t

，

x^{2} - a^{2}

用

x = a sec t

。最容易出错的不是代换本身，而是忘记限定 $t$ 的范围：范围一经确定（通常取

t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

等），既保证

x = ψ (t)

单调可逆，又保证根号开出来时取正号，例如

a^{2} - x^{2} = a cos t

就要求

cos t > 0

。算完以后还必须回代原变量 $x$ 。

证明 / 推导

以

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}}

（其中

a > 0

）为例，令

x = a tan t, t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

。在此范围内

sec t > 0

，故

x^{2} + a^{2} = a tan^{2} t + 1 = a sec t

；又

d x = a sec^{2} t d t

。代入，得

\int \frac{a sec ^{2} t}{a sec t} d t = \int sec t d t = ln ∣ sec t + tan t ∣ + C .

回代

tan t = \frac{x}{a}, sec t = \frac{x ^{2} + a ^{2}}{a}

，并把常数

- ln a

并入

C

，得

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = ln (x + x^{2} + a^{2}) + C .

这是一条常用的补充公式，应当记住。

■

举例说明

求

\int 1 - x^{2} d x

。令

x = sin t, t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

，则

1 - x^{2} = cos t (\geq 0)

，

d x = cos t d t

，于是

\int cos^{2} t d t = \int \frac{1 + cos 2 t}{2} d t = \frac{t}{2} + \frac{sin 2 t}{4} = \frac{t}{2} + \frac{sin t cos t}{2} .

回代

t = arcsin x, sin t = x, cos t = 1 - x^{2}

，得

\int 1 - x^{2} d x = \frac{1}{2} arcsin x + \frac{1}{2} x 1 - x^{2} + C .

3. 分部积分中按反、对、幂、三、指的次序选取 $u$ ，使 $\int v d u$ 比原积分更易计算★★ 必会

分部积分公式

\int u d v = uv - \int v d u

把计算

\int u d v

化为计算

\int v d u

，只有当后者更简单时才有意义。按反、对、幂、三、指（即反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数）的次序给出选取

u

的优先级：排在越前面的越优先取作

u

。其道理在于：越靠前的函数求导以后越简单（

arctan x, ln x

求导后成为有理式，幂函数求导后降次），故把它放进

d u

；越靠后的函数越容易求出原函数（

e^{x}, sin x

都便于积分），故把它连同

d x

放进

d v

。这样

\int v d u

才会比原积分容易计算。

举例说明

求

\int arctan x d x

（被积函数只有反三角函数，没有与之配对的初等积分）。按上述次序，反三角函数优先取作

u

：

u = arctan x, d v = d x, v = x

，

d u = \frac{d x}{1 + x ^{2}}

，于是

\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C .

剩下的

\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x

果然比原积分简单，凑微分即可求出，这就是选对

u

所带来的好处。

4. 分部积分的两种进一步用法：循环后解方程与建立递推公式降幂★ 要懂

分部积分不只用于一次凑出答案，还有两类常见的用法：
（一）循环型：例如

\int e^{a x} cos b x d x

、

\int e^{a x} sin b x d x

，两次分部以后原积分重新出现；记原积分为

I

，便得到

I = (\dots) \pm I

型的方程，移项即可解出

I

。
（二）递推型：例如

\int x^{n} e^{x} d x

、

\int sin^{n} x d x

等，分部一次就把幂次

n

降为

n - 1

，由此建立递推公式逐步下推。这两类用法都说明，分部积分能把复杂的积分转化为较简单的积分。

证明 / 推导

循环型的一般结论（应当记住）：

\int e^{a x} cos b x d x = \frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C,

\int e^{a x} sin b x d x = \frac{e ^{a x} ( a sin b x - b cos b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C .

以第一式为例，记

I = \int e^{a x} cos b x d x, J = \int e^{a x} sin b x d x

。两次分部（每次都取

e^{a x}

作

u

），得

I J = \frac{e ^{a x} sin b x}{b} - \frac{a}{b} J = - \frac{e ^{a x} cos b x}{b} + \frac{a}{b} I .

把

J

代入

I

的表达式，解这个关于

I

的一次方程，即得上式。

■

举例说明

递推型的示例：求

\int x^{2} e^{x} d x

。取

u = x^{2}, d v = e^{x} d x

，得

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x .

对

\int x e^{x} d x

再作一次分部，得

(x - 1) e^{x}

，代回，得

\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 (x - 1) e^{x} + C = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C .

每分部一次幂次降低

1

，故

n

次以后就化为

\int e^{x} d x

。

💡 小知识

分部积分有个口诀叫反对幂三指，依次是反三角、对数、幂、三角、指数，排在前面的优先选作

u

。这个次序背后有道理：越靠前的函数求导之后越简单，越靠后的越容易求出原函数，这样换出来的

\int v d u

才会比原来的积分好算。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 用凑微分法求

\int 2 x 1 + x^{2} d x

。难度 1

观察到

2 x d x

恰好是

1 + x^{2}

的微分：

d (1 + x^{2}) = 2 x d x

。于是把

1 + x^{2}

整体看作新变量：

\int 2 x 1 + x^{2} d x = \int 1 + x^{2} d (1 + x^{2}) .

套幂函数公式

\int u^{1/2} d u = \frac{2}{3} u^{3/2}

（这里

u = 1 + x^{2}

）：

= \frac{2}{3} (1 + x^{2})^{3/2} + C .

方法总结：凑微分的关键是认出「被积式里藏着某个函数的微分」。看到

2 x d x

就想到

d (1 + x^{2})

。

例 2 求

\int \frac{ln x}{x} d x

。难度 1

这里

\frac{d x}{x}

正是

ln x

的微分：

d (ln x) = \frac{d x}{x}

。把

ln x

当新变量：

\int \frac{ln x}{x} d x = \int ln x d (ln x) = \frac{1}{2} ln^{2} x + C .

方法总结：出现

\frac{1}{x}

、

\frac{1}{x}

、

e^{x}

、

cos x

等「和某函数微分成比例」的因子时，先凑微分。求导检验：

(\frac{1}{2} ln^{2} x)^{'} = ln x \cdot \frac{1}{x}

，正确。

例 3 用分部积分法求

\int x e^{x} d x

。难度 2

被积函数是「幂

\times

指数」，按口诀「反对幂三指」取幂函数作

u

：设

u = x

、

d v = e^{x} d x

，则

d u = d x

、

v = e^{x}

。代入分部公式

\int u d v = uv - \int v d u

：

\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C .

方法总结：选

u

要让

d u

更简单——

x

求导变常数，正好把积分「降一档」。求导检验：

((x - 1) e^{x})^{'} = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}

。

例 4 求

\int e^{x} cos x d x

。难度 2

这是「指数

\times

三角」型，连用两次分部会「转回原积分」，用解方程的办法。记

I = \int e^{x} cos x d x

。
第一次分部（取

u = e^{x}

、

d v = cos x d x

、

v = sin x

）：

I = e^{x} sin x - \int e^{x} sin x d x .

第二次对

\int e^{x} sin x d x

分部（

u = e^{x}

、

d v = sin x d x

、

v = - cos x

）：

\int e^{x} sin x d x = - e^{x} cos x + \int e^{x} cos x d x = - e^{x} cos x + I .

代回：

I = e^{x} sin x - (- e^{x} cos x + I) = e^{x} (sin x + cos x) - I

。移项解出

2 I = e^{x} (sin x + cos x) ⟹ I = \frac{1}{2} e^{x} (sin x + cos x) + C .

方法总结：「指数×三角」两次分部后原积分重现，令其为

I

解方程即可。别忘最后补

+ C

。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数三 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 + x ^{2}}, (x + 1) cos x, x \leq 0, x > 0

的一个原函数为（　　）。

A $F (x) = {ln (1 + x^{2} - x), (x + 1) cos x - sin x, x \leq 0, x > 0$
B $F (x) = {ln (1 + x^{2} - x) + 1, (x + 1) cos x - sin x, x \leq 0, x > 0$
C $F (x) = {ln (1 + x^{2} + x), (x + 1) sin x + cos x, x \leq 0, x > 0$
D $F (x) = {ln (1 + x^{2} + x) + 1, (x + 1) sin x + cos x, x \leq 0, x > 0$

2021 年 · 数三 · 第 12 题 · 填空题 · 5 分

\int_{5}^{5} \frac{x}{∣ x ^{2} - 9∣} d x =

______。

2019 年 · 数三 · 第 11 题 · 填空题 · 4 分

已知函数

f (x) = \int_{1}^{x} 1 + t^{4} d t

，则

\int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x =

2019 年 · 数三 · 第 19 题 · 解答题 · 10 分

设

a_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} 1 - x^{2} d x (n = 0, 1, 2, \dots)

.
（Ⅰ）证明数列

{a_{n}}

单调递减，且

a_{n} = \frac{n - 1}{n + 2} a_{n - 2} (n = 2, 3, \dots)

；
（Ⅱ）求

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\int sin 3 x d x =

______

练习 2 · 选择题

\int x e^{x^{2}} d x =

（　　）

A $e^{x^{2}} + C$
B $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$
C $2 e^{x^{2}} + C$
D $\frac{x ^{2}}{2} e^{x^{2}} + C$

练习 3 · 填空题

\int ln x d x =

______

练习 4 · 选择题

\int \frac{d x}{4 - x ^{2}} =

（　　）

A $arcsin \frac{x}{2} + C$
B $arcsin x + C$
C $\frac{1}{2} arcsin \frac{x}{2} + C$
D $2 arcsin \frac{x}{2} + C$

练习 5 · 填空题

\int x cos x d x =

______

练习 6 · 选择题

\int \frac{d x}{x ( 1 + x ^{4} )} =

（　　）

A $\frac{1}{4} ln \frac{x ^{4}}{1 + x ^{4}} + C$
B $\frac{1}{4} ln \frac{1 + x ^{4}}{x ^{4}} + C$
C $\frac{1}{4} arctan x^{4} + C$
D $ln \frac{x}{1 + x ^{4}} + C$

练习 7 · 填空题

\int_{0}^{1} \frac{x d x}{1 + x + 1 - x} =

______

练习 8 · 解答题

计算

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{( 1 + x ) ^{2}} d x

。

2018 年 · 数三 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

\int e^{x} arcsin 1 - e^{2 x} d x =

______。

2011 年 · 数三 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

求不定积分

\int \frac{arcsin x + ln x}{x} d x

．

换元积分法与分部积分法

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 凑微分（第一类换元法）实质上是链式法则的逆用，要领在于认出 g′(x)dx=dg★★ 必会

2. 第二类换元法中的三角代换：三种根式各有相应的代换，并须限定 t 的范围★ 要懂

3. 分部积分中按反、对、幂、三、指的次序选取 u，使 ∫vdu 比原积分更易计算★★ 必会

4. 分部积分的两种进一步用法：循环后解方程与建立递推公式降幂★ 要懂

基础例题

真题精选

随堂练习

1. 凑微分（第一类换元法）实质上是链式法则的逆用，要领在于认出 $g^{'} (x) d x = d g$ ★★ 必会

2. 第二类换元法中的三角代换：三种根式各有相应的代换，并须限定 $t$ 的范围★ 要懂

3. 分部积分中按反、对、幂、三、指的次序选取 $u$ ，使 $\int v d u$ 比原积分更易计算★★ 必会