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换元积分法与分部积分法

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 第一类换元（凑微分）：把链式法则反过来

链式法则说

[F (g (x))]^{'} = F^{'} (g (x)) g^{'} (x)

。倒过来读就是

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C,

其中

F

是

f

的原函数。操作上就是令

u = g (x)

，把

g^{'} (x) d x

整体换成

d u

。

认这类题只看一件事：被积函数里有没有「某一块」和「它的导数」同时出现。有，就把那一块设成

u

。

动笔的写法叫凑微分——把

g^{'} (x) d x

写成

d (g (x))

：

x d x \frac{d x}{x} e^{x} d x cos x d x = \frac{1}{2} d (x^{2}), = d (ln x), = d (e^{x}), = d (sin x) .

这几个凑法要熟到不用想。凑出来之后整个式子里只剩 $u$ ，才算凑对了；还留着

x

就说明设错了。

2. 第二类换元：主动设 $x$ 等于一个新变量

第一类是「从式子里认出

u

」，第二类反过来——主动令 $x = φ (t)$ ，把

x

整个换掉：

\int f (x) d x = \int f (φ (t)) φ^{'} (t) d t .

用在什么地方？根号化不掉的时候。两类常见的：

① 带 $a^{2} - x^{2}$ 等的三角换元.

a^{2} - x^{2} a^{2} + x^{2} x^{2} - a^{2} x = a sin t x = a tan t x = a sec t

换完之后根号靠三角恒等式消掉（如

a^{2} - a^{2} sin^{2} t = a cos t

）。

② 带 $n a x + b$ 的直接令根号整体为 $t$ ，两边

n

次方后解出

x

。

第二类换元有两件事比第一类多：要写出

d x = φ^{'} (t) d t

，而且最后要把 $t$ 换回 $x$ ——三角换元回代时画个辅助直角三角形最稳。

3. 分部积分：乘积的求导法则反过来

乘积法则

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

两边积分并移项，得

\int u d v = uv - \int v d u .

它不是把积分算出来，而是把一个积分换成另一个——所以换完必须比原来好算，否则就是白换。

全部的技巧在于挑谁当 $u$ 。口诀是「反对幂三指」：

反三角 \to 对数 \to 幂 \to 三角 \to 指数,

排在前面的当 $u$ （要被求导的那个），排在后面的和 $d x$ 一起当 $d v$ 。

道理不难懂：反三角与对数求导之后会变成有理式（变简单），而指数与三角积分之后形状不变（不会变复杂）。把「求导能变简单的」放在

u

的位置，换出来的新积分才会更好算。

两类常见的题：

① 幂 $\times$ 指数（或三角）. 幂当

u

，每用一次幂次降一级，用到幂次为零。

② 单独一个对数或反三角. 把它当

u

，

d v = d x

。

4. 认题：看一眼就知道走哪条路

某块与其导数同现 根号化不掉 两类函数相乘 单独的 ln x 第一类换元 第二类换元 分部 分部， d v = d x

两条实战经验：

① 先试第一类. 它最省事（不用回代），而且很多看着像分部的题其实凑一下就完了。例如

\int x e^{x^{2}} d x

是换元不是分部——区别在指数上是 $x^{2}$ 还是 $x$ 。

② 分部积分可能要用两次.

\int x^{2} e^{x} d x

用一次降到

\int x e^{x}

，再用一次才完。幂次是几，就用几次。

还有一类「转圈」题：

\int e^{x} sin x d x

用两次分部之后会转回原积分，这时把它当未知数解方程。基础阶段知道有这回事即可。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

第一类换元：认 $u$ ，凑微分，回代

第一步：找「某块

g (x)

与它的导数

g^{'} (x)

同时出现」，令

u = g (x)

。

第二步：把

g^{'} (x) d x

凑成

d u

，差的常数倍提到外面。

第三步：确认式子里只剩 $u$ ，再按基本积分表积出来。

第四步：把

u

换回

g (x)

，求导验一次。

例例. 求

\int 2 x e^{x^{2}} d x

。

第一步，找「某块与它的导数同时出现」：

x^{2}

在指数上，而

2 x

正是它的导数。令

u = x^{2}

。

第二步，

d u = 2 x d x

，式子里现成就有

2 x d x

，直接换：

\int e^{u} d u .

第三步，里面只剩

u

，查表积出

e^{u} + C

。

第四步，回代

u = x^{2}

，得

e^{x^{2}} + C

；求导验：

e^{x^{2}} \cdot 2 x

✓。

若原题是

\int x e^{x^{2}} d x

（少一个

2

），就在外面补

\frac{1}{2}

：答案是

\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C

。

第二类换元：设 $x = φ (t)$ ，别忘 $d x$ 和回代

第一步：根号化不掉时才用。带

a^{2} - x^{2}

设

x = a sin t

，带

n a x + b

直接设根号为

t

。

第二步：写出

d x = φ^{'} (t) d t

，一起换进去。

第三步：化简（根号应当消掉），积出来。

第四步：把 $t$ 换回 $x$ 。三角换元时画个辅助直角三角形最稳。

例例. 求

\int 1 - x^{2} d x

。

第一步，根号化不掉，按

a^{2} - x^{2}

这一型设

x = sin t

，

- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}

。

第二步，

d x = cos t d t

，连微分一起换。

第三步，

1 - sin^{2} t = ∣ cos t ∣ = cos t

（这个区间上

cos t \geq 0

），于是

\int cos t \cdot cos t d t = \int cos^{2} t d t = \frac{t}{2} + \frac{sin 2 t}{4} + C .

第四步，回代。

t = arcsin x

；画个直角三角形（对边

x

、斜边

1

）读出

cos t = 1 - x^{2}

，故

sin 2 t = 2 sin t cos t = 2 x 1 - x^{2}

：

\frac{arcsin x}{2} + \frac{x 1 - x ^{2}}{2} + C .

分部积分：按「反对幂三指」挑 $u$

第一步：按「反三角 → 对数 → 幂 → 三角 → 指数」，排在前面的当 $u$ 。

第二步：剩下的连同

d x

当

d v

，积出

v

（不用加

C

）。

第三步：代入

\int u d v = uv - \int v d u

。

第四步：看新积分是不是更简单——不是就说明

u

挑反了。幂次是几就重复几次。

例例. 求

\int x cos x d x

。

第一步，按「反对幂三指」：幂排在三角前面，所以取

u = x

。

第二步，剩下的

cos x d x

当

d v

，积出

v = sin x

（不加

C

）。

第三步，代公式

\int u d v = uv - \int v d u

：

\int x cos x d x = x sin x - \int sin x d x = x sin x + cos x + C .

第四步，检查：新积分

\int sin x d x

比原来简单，说明

u

挑对了。

挑反了会怎样：取

u = cos x

的话，

v = \frac{x ^{2}}{2}

，新积分成了

\int \frac{x ^{2}}{2} sin x d x

——幂次不降反升，这时立刻退回来换一种分法。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

换元后不回代

答案必须用原来的变量

x

写出来。停在

e^{u} + C

上，等于没答完。

检验办法：求导验算时如果发现变量对不上，多半就是漏了回代。

第二类换元忘了换 $d x$

令

x = φ (t)

时，

d x = φ^{'} (t) d t

必须一起换。

只换被积函数不换微分，等于凭空改了式子。这是第二类换元最常见的错。

例例. 求

\int 1 - x^{2} d x

，设

x = sin t

。

错：只把被积函数换掉——

\int cos t d t = sin t + C = x + C .

求导验一下：得

1

，而被积函数是

1 - x^{2}

，完全不对。

对：

d x = cos t d t

必须一起换进去——

\int cos t \cdot cos t d t = \int cos^{2} t d t .

多出来的那个

cos t

正是微分带来的。

判据：换完之后式子里不该再出现 $d x$ ，看到它就说明漏换了。

分部积分挑反了 $u$

\int x e^{x} d x

取

u = e^{x}

会换出

\int \frac{x ^{2}}{2} e^{x}

，幂次反而升了。

按「反对幂三指」，排在前面的当 $u$ 。换完若新积分更难，立刻退回去换一种分法。

把该换元的题当成分部

\int x e^{x^{2}} d x

凑微分一行就完（

\frac{1}{2} e^{x^{2}} + C

），用分部会越做越乱。

先试凑微分，凑不出才分部。区别往往只在指数上是

x

还是

x^{2}

。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 凑微分

练 1

x d x = 1 d (x^{2})

，横线上填 ________。

练 2

\int 2 x e^{x^{2}} d x =

________（含

C

）。

练 3

求

\int \frac{ln x}{x} d x

时，应令

u =

（）。

A $x$
B $ln x$
C $\frac{1}{x}$
D $x ln x$

练 4

\int cos x d x =

________（含

C

）。

第二组 · 分部积分

练 5

分部积分公式是（）。

A $\int u d v = uv + \int v d u$
B $\int u d v = uv - \int v d u$
C $\int u d v = \int u \cdot \int d v$
D $\int u d v = uv$

练 6

\int x e^{x} d x = x e^{x} -

________

+ C

。

练 7

求

\int ln x d x

时，应取（）。

A $u = 1$ ， $d v = ln x d x$
B用第一类换元，令 $u = ln x$
C $u = ln x$ ， $d v = d x$
D无法积分

练 8

分部积分挑

u

的口诀是「反对幂三指」，其中排在最前的是 ________ 函数。

第三组 · 认题与综合

练 9

\int x e^{x^{2}} d x

应该用（）。

A分部积分，取 $u = x$
B分部积分，取 $u = e^{x^{2}}$
C第二类换元，令 $x = sin t$
D第一类换元，令 $u = x^{2}$

练 10

求

\int \frac{d x}{x + 1}

时，令

t = x

，则

d x =

________

d t

。

练 11

求

\int x^{2} e^{x} d x

需要用分部积分（）次。

A一
B三
C二
D无穷多

练 12

求

\int \frac{d x}{1 - x ^{2}}

（不查表）应令（）。

A $x = tan t$
B $x = sec t$
C $u = 1 - x^{2}$
D $x = sin t$

读完了？下一步是同一个知识点的完整讲解，那一档按考试难度写。

数一 · 完整讲解数二 · 完整讲解数三 · 完整讲解大学版 · 完整讲解

换元积分法与分部积分法

先打基础

1. 第一类换元（凑微分）：把链式法则反过来

2. 第二类换元：主动设 x 等于一个新变量

3. 分部积分：乘积的求导法则反过来

4. 认题：看一眼就知道走哪条路

常用结构

第一类换元：认 u，凑微分，回代

第二类换元：设 x=φ(t)，别忘 dx 和回代

分部积分：按「反对幂三指」挑 u

基础易错

换元后不回代

第二类换元忘了换 dx

分部积分挑反了 u

把该换元的题当成分部

自己试一试

练 1

练 2

练 3

练 4

练 5

练 6

练 7

练 8

练 9

练 10

练 11

练 12

2. 第二类换元：主动设 $x$ 等于一个新变量

第一类换元：认 $u$ ，凑微分，回代

第二类换元：设 $x = φ (t)$ ，别忘 $d x$ 和回代

分部积分：按「反对幂三指」挑 $u$

第二类换元忘了换 $d x$

分部积分挑反了 $u$