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有理函数及三角有理式积分

高等数学 · 一元函数积分学

先打基础

一条一条过。读完点「已懂」或「待回顾」，这条就收起来，页面上剩下的就是还没过的。

1. 有理函数积分：先化真分式，再拆成部分分式

有理函数指两个多项式之比

\frac{P ( x )}{Q ( x )}

。它总能积出来，而且有固定程序——这在积分里是罕见的好事。

第一步，化成真分式. 分子次数不低于分母时先做多项式除法：

\frac{P}{Q} = 多项式 + \frac{R}{Q} (de g R < de g Q) .

多项式那部分直接积，剩下的真分式进第二步。

第二步，分母因式分解. 把

Q

分解成一次因式与不可约二次因式的乘积。

第三步，拆成部分分式. 按分母的因式写出待定系数的形式，再解出系数（下一条专讲）。

第四步，逐项积分. 拆完之后每一项都落在这三类里：

\int \frac{d x}{x - a}, \int \frac{d x}{( x - a ) ^{k}}, \int \frac{A x + B}{x ^{2} + p x + q} d x .

前两类直接出

ln

或幂；第三类要配方再拆成

ln

加

arctan

。

2. 部分分式：按分母的因式写形式，再定系数

拆的形式由分母的因式决定，是死规矩：

分母因式 x - a (x - a)^{k} x^{2} + p x + q 对应的项 \frac{A}{x - a} \frac{A _{1}}{x - a} + \dots + \frac{A _{k}}{( x - a ) ^{k}} \frac{A x + B}{x ^{2} + p x + q}

两件事最常写错：

① $k$ 重因式要写 $k$ 项，从一次方一直到

k

次方，不能只写最高那一项。

② 二次因式的分子是 $A x + B$ （一次式），不是常数

A

。

定系数有两条路：

赋特殊值法. 两边通分后比较分子，代入使某个因式为零的

x

，一次消掉一个未知数。最快，一次因式用它。

比较系数法. 展开后按

x

的同次幂比较，列方程组。二次因式用它。

两种常常混用：先用赋值法打掉几个，剩下的再比较系数。

3. 二次因式那一类：配方，拆成 $ln$ 加 $arctan$

\int \frac{A x + B}{x ^{2} + p x + q} d x (p^{2} - 4 q < 0)

做法三步：

① 分母配方.

x^{2} + p x + q = (x + \frac{p}{2})^{2} + a^{2}

，其中

a^{2} = q - \frac{p ^{2}}{4} > 0

。

② 分子拆成「分母的导数」加「常数」. 分母的导数是

2 x + p

，把分子

A x + B

凑成

\frac{A}{2} (2 x + p) + (B - \frac{A p}{2})

。

③ 分成两个积分. 前一半是

\int \frac{d u}{u}

型，出

ln

；后一半是

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}}

型，出

arctan

：

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C .

最后那条公式里的两个 $a$ 都不能漏：外面有

\frac{1}{a}

，里面是

\frac{x}{a}

。

第②步的用意很直接：凑出分母的导数，就能凑微分，这和第一类换元是同一件事。

4. 三角有理式：万能代换与三条更快的路

被积函数是

sin x

、

cos x

的有理式时，万能代换

t = tan \frac{x}{2}

一定能把它变成有理函数：

sin x cos x d x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, = \frac{2 d t}{1 + t ^{2}} .

它一定管用，但往往很繁——换完之后的有理函数常常比原式还难算。所以它是最后的退路，不是首选。

先试这三条快路：

① 只含 $sin$ 的奇次幂

\to

拆一个

sin x

凑

d (cos x)

，其余用

sin^{2} = 1 - cos^{2}

换成

cos

。

② 只含 $cos$ 的奇次幂

\to

对称地凑

d (sin x)

。

③ 全是偶次幂

\to

用降幂公式

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

、

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

。

基础阶段把这三条用熟就够了，万能代换知道有、会写那三个式子即可。

常用结构

这类题反复出现的那个写法骨架——按这个顺序动笔。

有理函数积分：四步固定程序

第一步：比次数。分子次数

\geq

分母就先做多项式除法。

第二步：分母因式分解。

第三步：按因式写出部分分式的形式——

k

重因式写

k

项，二次因式的分子写

A x + B

。

第四步：定系数（赋值法优先），逐项积分。

例例. 求

\int \frac{x + 3}{x ^{2} - x - 2} d x

。

第一步，比次数：分子一次、分母二次，已经是真分式，不必做除法。

第二步，分母因式分解：

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

。

第三步，按因式写形式（都是一重的一次因式，各写一项）：

\frac{x + 3}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1} .

第四步，定出

A = \frac{5}{3}

、

B = - \frac{2}{3}

（做法见下一条），逐项积分：

\frac{5}{3} ln ∣ x - 2∣ - \frac{2}{3} ln ∣ x + 1∣ + C .

定系数：先赋值，再比较

第一步：两边乘掉公分母，得到多项式恒等式。

第二步：代入使某个一次因式为零的

x

，一次消掉一个未知数。

第三步：剩下的（通常是二次因式那几个）按同次幂比较系数，列方程组。

第四步：把系数代回去，逐项积分。

例例. 承上，定

\frac{x + 3}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}

里的

A

、

B

。

第一步，两边乘掉公分母：

x + 3 = A (x + 1) + B (x - 2) .

第二步，赋值。代

x = 2

：左边

5

，右边

3 A

（

B

那项带的

x - 2

变成

0

），得

A = \frac{5}{3}

。

再代

x = - 1

：左边

2

，右边

- 3 B

，得

B = - \frac{2}{3}

。

第三步，本题没有不可约二次因式，不必再比较系数。

第四步，代回去逐项积分。

赋值法省在哪：每代一个值就消掉一个未知数，不用解方程组。

三角有理式：先看奇偶次

$sin$ 奇次

\to

拆一个

sin x

凑

d (cos x)

，其余换成

cos

。

$cos$ 奇次

\to

对称地凑

d (sin x)

。

全偶次

\to

降幂公式。

都不行

\to

万能代换

t = tan \frac{x}{2}

（保底，但繁）。

例例. 求

\int sin^{3} x d x

。

第一步，看奇偶次：

sin

是三次，奇次。

第二步，拆一个

sin x

出来凑微分（

sin x d x = - d (cos x)

），其余的用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

换成

cos

：

\int sin^{2} x \cdot sin x d x = - \int (1 - cos^{2} x) d (cos x) .

第三步，令

u = cos x

，积出

- (u - \frac{u ^{3}}{3})

，回代：

- cos x + \frac{cos ^{3} x}{3} + C .

若改成

\int sin^{2} x d x

（全偶次），这条路走不通，要用降幂公式

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

。

基础易错

基础阶段真的会犯的那几处，每条都指到动笔的哪一步。

假分式直接拆

部分分式只对真分式成立。

\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{A}{x - 1}

根本解不出

A

。

第一步永远是比次数，分子不低于分母就先做除法。

重因式只写一项

(x - a)^{k}

要写

k

项，从

\frac{A _{1}}{x - a}

一直到

\frac{A _{k}}{( x - a ) ^{k}}

。

少写一项，待定系数的方程组就无解——这是能自己发现的错误。

例例. 拆

\frac{1}{x ( x - 1 ) ^{2}}

。

错：写成

\frac{A}{x} + \frac{B}{( x - 1 ) ^{2}}

。乘掉分母得

A (x - 1)^{2} + B x = 1

，比较

x^{2}

的系数要

A = 0

，而常数项又要

A = 1

——矛盾，解不出来。

对：

(x - 1)^{2}

是二重因式，要写两项：

\frac{1}{x ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{( x - 1 ) ^{2}} .

代

x = 0

得

A = 1

；代

x = 1

得

C = 1

；再比较

x^{2}

的系数得

A + B = 0

，故

B = - 1

。

方程组无解，就是在提醒你少写了一项——这个错能自己发现。

二次因式的分子写成常数

不可约二次因式

x^{2} + p x + q

对应的分子是 $A x + B$ ，一次式。

写成常数

A

会少一个自由度，同样解不出来。

例例. 拆

\frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )}

。

错：写成

\frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2} + 1}

。乘掉分母得

A (x^{2} + 1) + B x = 1

，比较

x^{2}

的系数要

A = 0

，常数项又要

A = 1

——同样解不出来。

对：不可约二次因式对应的分子是一次式

B x + C

：

\frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 1} .

乘开得

A (x^{2} + 1) + (B x + C) x = 1

。代

x = 0

得

A = 1

；比较

x^{2}

得

A + B = 0

，故

B = - 1

；比较

x

得

C = 0

。于是

\int \frac{d x}{x ( x ^{2} + 1 )} = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C .

$arctan$ 公式漏掉 $\frac{1}{a}$

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C

，外面的 $\frac{1}{a}$ 和里面的 $\frac{x}{a}$ 要一起出现。

记不住就求导验一次，几秒钟的事。

自己试一试

这一档不判分、不记进度，想不出来就直接看解答。

第一组 · 先除再拆

练 1

求

\int \frac{x ^{2}}{x - 1} d x

的第一步应该是（）。

A做多项式除法，化成真分式
B直接设 $\frac{x ^{2}}{x - 1} = \frac{A}{x - 1}$
C令 $u = x - 1$ 换元
D用分部积分

练 2

\frac{x ^{2}}{x - 1} = x + 1 + x - 1

，横线上填 ________。

练 3

\frac{1}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )}

拆成部分分式时，应设为（）。

A $\frac{A}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{B}{x + 2}$
B $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 2}$
C $\frac{A x + B}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 2}$
D $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

练 4

\int \frac{d x}{x ^{2} + 1} =

________（含

C

）。

第二组 · 定系数

练 5

设

\frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}

，则

A =

________。

练 6

\int \frac{d x}{x ^{2} - 1} =

（）。

A $arctan x + C$
B $ln ∣ x^{2} - 1∣ + C$
C $\frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1} + C$
D $\frac{1}{2} ln \frac{x + 1}{x - 1} + C$

练 7

x^{2} + 2 x + 5

配方后等于

(x + 1)^{2} +

________。

练 8

\int \frac{d x}{x ^{2} + 4} =

（）。

A $arctan \frac{x}{2} + C$
B $\frac{1}{2} arctan \frac{x}{2} + C$
C $2 arctan 2 x + C$
D $\frac{1}{4} arctan \frac{x}{2} + C$

第三组 · 三角有理式

练 9

求

\int sin^{3} x d x

最省事的做法是（）。

A万能代换 $t = tan \frac{x}{2}$
B分部积分
C用降幂公式
D拆一个 $sin x$ 凑 $d (cos x)$

练 10

sin x d x =

________

d (cos x)

（填

1

或

- 1

）。

练 11

\int sin^{3} x d x = - cos x +