有理函数及三角有理式积分

§3.3 · 方法技巧🌱 基础篇 →

考频价值

1.84 分/卷近 11 年平均

4/11 年出现年份

1.8 分支撑的下游价值

前置诊断

① 直接前置（需先掌握）换元积分法与分部积分法不定积分的概念与性质

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 真分式为什么一定能分解为部分分式，以及最快的定系数方法：赋值（遮盖）法★★ 必会

任何真分式都能唯一地分解为若干最简分式之和，这是代数基本定理的推论。事实上，实系数多项式

Q (x)

必可分解为一次因式与二次质因式之积，据此真分式

\frac{P}{Q}

就有相应的部分分式结构。确定系数有两种办法：赋值（遮盖）法，用于单根时最快；比较系数法，用于重根与二次质因式的一般情形。解题时先用遮盖法求出单根所对应的系数，再回代求其余系数，可以省去大量计算。

证明 / 推导

遮盖法原理。 设

\frac{P ( x )}{( x - a ) R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \frac{( 其余 )}{R ( x )}

，其中

R (a) \neq = 0

。两边同乘

(x - a)

，得

\frac{P ( x )}{R ( x )} = A + (x - a) \cdot \frac{( 其余 )}{R ( x )} .

令

x \to a

，右端第二项含有因子

(x - a)

，故趋于零，于是

A = \frac{P ( a )}{R ( a )} .

这就是说，把分母中的

(x - a)

遮住，把余下的部分在

x = a

处取值，一步即得该系数。

■

举例说明

求

\int \frac{x + 3}{x ^{2} - x - 2} d x

。分母

= (x - 2) (x + 1)

，设

\frac{x + 3}{( x - 2 ) ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}

。用遮盖法得

A B = \frac{x + 3}{x + 1}_{x = 2} = \frac{5}{3} = \frac{x + 3}{x - 2}_{x = - 1} = \frac{2}{- 3} = - \frac{2}{3} .

故

\int \frac{x + 3}{x ^{2} - x - 2} d x = \frac{5}{3} ln ∣ x - 2∣ - \frac{2}{3} ln ∣ x + 1∣ + C

。

2. 二次质因式所对应项的一般方法：分子凑出分母的导数，再配方，化为对数与反正切★★ 必会

含二次质因式的最简分式

\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}

（

p^{2} - 4 q < 0

）在计算中最易出错，但它有固定的两个步骤：① 把分子拆成分母的导数

2 x + p

的倍数与一个常数之和，前一部分可直接凑成对数；② 余下的常数项，把分母配方成

(x + \frac{p}{2})^{2} + k^{2}

，凑成反正切。按照这一步骤，任何二次质因式所对应的项都能拆开。

证明 / 推导

一般推导。 记分母的导数为

(x^{2} + p x + q)^{'} = 2 x + p

。把分子改写为

B x + C = \frac{B}{2} (2 x + p) + (C - \frac{B p}{2}) .

于是

\int \frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} d x = \frac{B}{2} \int \frac{2 x + p}{x ^{2} + p x + q} d x + (C - \frac{B p}{2}) \int \frac{d x}{( x + \frac{p}{2} ) ^{2} + k ^{2}},

其中

k^{2} = q - \frac{p ^{2}}{4} > 0

。前一个积分

= \frac{B}{2} ln (x^{2} + p x + q)

（因为分母恒为正），后一个积分

= \frac{1}{k} arctan \frac{x + p /2}{k}

。

■

举例说明

求

\int \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 3} d x

。分母的导数为

2 x + 2

，把分子拆成

x = \frac{1}{2} (2 x + 2) - 1

，于是

\int \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 3} d x - \int \frac{d x}{( x + 1 ) ^{2} + 2} .

= \frac{1}{2} ln (x^{2} + 2 x + 3) - \frac{1}{2} arctan \frac{x + 1}{2} + C .

3. 万能代换 $t = tan \frac{x}{2}$ 的三个公式是怎样得来的，以及它为什么一定能把被积函数有理化★ 要懂

万能代换的三个公式都可以由二倍角公式与

tan \frac{x}{2} = t

推出。掌握了推导过程，就不会记混（特别是

cos x

与

sin x

之中哪一个等于

\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

）。它之所以对一切三角有理式都适用，是因为作了这个代换以后，

sin x, cos x, d x

全部变成

t

的有理式，于是

\int R (sin x, cos x) d x

必然化为

t

的有理函数的积分，而有理函数的积分总是可以求出的。

证明 / 推导

设

t = tan \frac{x}{2}

。由二倍角公式以及

1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ

，得

sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = \frac{2 tan \frac{x}{2}}{sec ^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 t}{1 + t ^{2}};

cos x = cos^{2} \frac{x}{2} - sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - tan ^{2} \frac{x}{2}}{sec ^{2} \frac{x}{2}} = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}};

又

x = 2 arctan t \Rightarrow d x = \frac{2}{1 + t ^{2}} d t

。把这三个式子代入，被积函数与

d x

就都化成

t

的有理式。

■

举例说明

求

\int \frac{d x}{2 + cos x}

。代入

cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, d x = \frac{2}{1 + t ^{2}} d t

，得

\int \frac{\frac{2}{1 + t ^{2}}}{2 + \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}} d t = \int \frac{2}{2 ( 1 + t ^{2} ) + ( 1 - t ^{2} )} d t = \int \frac{2}{3 + t ^{2}} d t = \frac{2}{3} arctan \frac{t}{3} + C,

即

\frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} tan \frac{x}{2}) + C

。

4. 三角有理式先按奇偶性寻找简便代换，万能代换只作为最后的办法

万能代换虽然普遍适用，但计算量较大，因此应先看被积函数关于 $sin x, cos x$ 的奇偶性，找出简便的代换，只有当这些办法都不奏效时才使用

t = tan \frac{x}{2}

。三条判据如下：
- 关于

sin x

为奇（

R (- sin x, cos x) = - R

）时，凑

d (cos x)

；
- 关于

cos x

为奇时，凑

d (sin x)

；
- 关于两者同时为偶（等价于它是

tan x

的有理式）时，令

t = tan x

。
这样的代换只需一步，比万能代换简便得多。

举例说明

三种情形各举一例。
（关于

sin

为奇）

\int \frac{sin x}{1 + cos ^{2} x} d x = - \int \frac{d ( cos x )}{1 + cos ^{2} x} = - arctan (cos x) + C

；
（关于

cos

为奇）

\int \frac{cos x}{1 + sin ^{2} x} d x = arctan (sin x) + C

；
（关于二者同时为偶，令

t = tan x

）

\int \frac{d x}{1 + sin ^{2} x}

，分子分母同除以

cos^{2} x

得

\int \frac{sec ^{2} x d x}{sec ^{2} x + tan ^{2} x} = \int \frac{d ( tan x )}{1 + 2 tan ^{2} x} = \frac{1}{2} arctan (2 tan x) + C

。如果这些办法都不适用，再使用万能代换。

💡 小知识

有理函数一定积得出初等原函数，这是一条有严格证明的定理。可是被积函数只要稍稍换一换，

\int e^{- x^{2}} d x

、

\int \frac{s i n x}{x} d x

、

\int \frac{d x}{l n x}

就再也写不出初等表达式了。在初等函数的世界里，像有理函数这样总能积出来的情形并不多见。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 求

\int \frac{d x}{( x + 1 ) ( x + 2 )}

。难度 1

分母已是两个不同的一次因式，作部分分式分解：

\frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} ⟹ 1 = A (x + 2) + B (x + 1) .

用赋值（遮盖）法：令

x = - 1

得

1 = A (1)

，即

A = 1

；令

x = - 2

得

1 = B (- 1)

，即

B = - 1

。于是

\int \frac{d x}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \int (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}) d x = ln ∣ x + 1∣ - ln ∣ x + 2∣ + C = ln \frac{x + 1}{x + 2} + C .

方法总结：分母是相异一次因式之积时，部分分式 + 赋值法最快；对数记得加绝对值。

例 2 求

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} d x

。难度 2

被积函数是假分式（分子次数

=

分母次数），先用多项式除法降为「多项式 + 真分式」：

\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} = \frac{( x ^{2} - 1 ) + 1}{x ^{2} - 1} = 1 + \frac{1}{x ^{2} - 1} .

再把真分式部分分解，

\frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})

。逐项积分：

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} d x = x + \frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1} + C .

方法总结：

de g P \geq de g Q

必须先除再分解，否则分式拆不开。

例 3 求

\int \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

。难度 2

分母

x^{2} + 2 x + 5

的判别式

4 - 20 < 0

，是二次质因子，用固定套路「前半凑对数、后半配方凑反正切」。先把分子拼出分母的导数

(x^{2} + 2 x + 5)^{'} = 2 x + 2

：

2 x + 3 = (2 x + 2) + 1.

于是拆成两块：

\int \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = 凑对数 \int \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 5} d x + 配方凑反正切 \int \frac{d x}{x ^{2} + 2 x + 5} .

前一块

= ln (x^{2} + 2 x + 5)

（分子恰是分母导数，无需绝对值因分母恒正）；后一块配方

x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4

：

\int \frac{d x}{( x + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{1}{2} arctan \frac{x + 1}{2} .

合并：

\int \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 2 x + 5} d x = ln (x^{2} + 2 x + 5) + \frac{1}{2} arctan \frac{x + 1}{2} + C .

例 4 用万能代换求

\int \frac{d x}{1 + sin x + cos x}

。难度 2

令

t = tan \frac{x}{2}

，则

sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}

，

cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

，

d x = \frac{2}{1 + t ^{2}} d t

。先算分母：

1 + sin x + cos x = 1 + \frac{2 t}{1 + t ^{2}} + \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = \frac{( 1 + t ^{2} ) + 2 t + ( 1 - t ^{2} )}{1 + t ^{2}} = \frac{2 + 2 t}{1 + t ^{2}} = \frac{2 ( 1 + t )}{1 + t ^{2}} .

代入，

\frac{1}{1 + t ^{2}}

与分母的

\frac{1}{1 + t ^{2}}

约去：

\int \frac{\frac{2}{1 + t ^{2}}}{\frac{2 ( 1 + t )}{1 + t ^{2}}} d t = \int \frac{d t}{1 + t} = ln ∣1 + t ∣ + C = ln 1 + tan \frac{x}{2} + C .

方法总结：万能代换把三角有理式机械地变成

t

的有理函数，必可积；代价是计算量，故一般作「保底」手段。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2025 年 · 数二 · 第 11 题 · 填空题 · 5 分

设

\int_{1}^{+ \infty} \frac{a}{x ( 2 x + a )} d x = ln 2

，则

a =

___。

2025 年 · 数二 · 第 17 题 · 解答题 · 10 分

计算

\int_{0}^{1} \frac{1}{( x + 1 ) ( x ^{2} - 2 x + 2 )} d x

。

2022 年 · 数二 · 第 13 题 · 填空题 · 5 分

\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x ^{2} - x + 1} d x =

___。

2019 年 · 数二 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

求不定积分

\int \frac{3 x + 6}{( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} + x + 1 )} d x

。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\int \frac{d x}{x ^{2} - 4} =

______

练习 2 · 选择题

将

\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 2 )}

分解为

\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}

，则

A =

（　　）

A $\frac{1}{3}$
B $- \frac{1}{3}$
C $1$
D $\frac{1}{2}$

练习 3 · 填空题

\int \frac{d x}{x ^{2} + 4 x + 5} =

______

练习 4 · 选择题

作万能代换

t = tan \frac{x}{2}

时，

sin x =

（　　）

A $\frac{2 t}{1 + t ^{2}}$
B $\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$
C $\frac{2 t}{1 - t ^{2}}$
D $\frac{1 + t ^{2}}{2 t}$

练习 5 · 填空题

\int \frac{2 x - 1}{x ^{2} + 1} d x =

______

练习 6 · 选择题

把真分式

\frac{2 x + 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} + x + 1 )}

化为部分分式之和，正确的待定形式是（　）

A $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{C}{x ^{2} + x + 1}$
B $\frac{A}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{B x + C}{x ^{2} + x + 1}$
C $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{C x + D}{x ^{2} + x + 1}$
D $\frac{A x + B}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{C x + D}{x ^{2} + x + 1}$

练习 7 · 填空题

\int \frac{x + 3}{x ^{2} + 2 x + 10} d x =

____。

练习 8 · 解答题

(1) 用适当的三角代换求

\int \frac{d x}{sin x ( 2 + cos x )}

；

(2) 再用万能代换

t = tan \frac{x}{2}

求一次，并说明两个结果之间的关系。

2009 年 · 数二 · 第 16 题 · 解答题 · 10 分

计算不定积分

\int ln (1 + \frac{1 + x}{x}) d x (x > 0)

。

1999 年 · 数二 · 第 3 题 · 填空题 · 3 分

\int \frac{x + 5}{x ^{2} - 6 x + 13} d x =

___。

有理函数及三角有理式积分

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 真分式为什么一定能分解为部分分式，以及最快的定系数方法：赋值（遮盖）法★★ 必会

2. 二次质因式所对应项的一般方法：分子凑出分母的导数，再配方，化为对数与反正切★★ 必会

3. 万能代换 t=tan2x​ 的三个公式是怎样得来的，以及它为什么一定能把被积函数有理化★ 要懂

4. 三角有理式先按奇偶性寻找简便代换，万能代换只作为最后的办法

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 万能代换 $t = tan \frac{x}{2}$ 的三个公式是怎样得来的，以及它为什么一定能把被积函数有理化★ 要懂