不定积分的概念与性质

§3.1 · 核心概念🌱 基础篇 →

考频价值

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前置诊断

① 直接前置（需先掌握）导数与微分的概念求导法则（四则、复合、反函数）③ 掌握后可解锁换元积分法与分部积分法有理函数及三角有理式积分微积分基本定理与变限积分一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

要点精讲

把关键道理、证明与典型例子重新过一遍。

1. 原函数只差一个常数，其前提是函数定义在一个区间上★ 要懂

教材中的结论是：

f

的任意两个原函数只差一个常数。但是在同一个区间上这一前提常被忽略，试题也常在这里设问。这条结论的证明依赖拉格朗日中值定理，而中值定理要求函数定义在一个连通的区间上。如果定义域是断开的（例如

(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)

），那么各连通分支上的常数可以互不相同，原函数的全体也就不再是只差一个常数那样简单了。

证明 / 推导

设

F, G

都是

f

在区间

I

上的原函数，令

H = F - G

，则对每个

x \in I

有

H^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0

。任取

I

中两点

x_{1} < x_{2}

，对

H

在

[x_{1}, x_{2}]

上应用拉格朗日中值定理，得

H (x_{2}) - H (x_{1}) = H^{'} (ξ) (x_{2} - x_{1}) = 0

，故

H (x_{2}) = H (x_{1})

。由此可见

H

在

I

上恒为常数，即

F - G \equiv C

。这里用到了 $[x_{1}, x_{2}] \subset I$ ，只有当 $I$ 是区间时才能保证这一点。

■

举例说明

考察

\int \frac{1}{x} d x

在

x \neq = 0

上（定义域

(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)

是断开的）。它的全体原函数是

F (x) = {ln x + C_{1}, ln (- x) + C_{2}, x > 0, x < 0, C_{1}, C_{2} 可不相等 .

可见严格说来，这里的原函数并非只差一个常数，而是在各个分支上分别相差一个常数。平时写成

ln ∣ x ∣ + C

，只是默认在某一个不含

0

的区间上讨论。因此，做这类判断题时必须先看清定义域。

2. 判断原函数是否存在：含第一类间断点的函数一定没有原函数★★ 必会

f

连续

\Rightarrow

有原函数，这只是一个充分条件。试题更常反过来问：不连续的

f

是否有原函数。判据来自达布定理：导函数一定具有介值性，即能取到任意两个函数值之间的一切中间值，即使它本身并不连续。由此立即得到一条判别法则。只要 $f$ 在某点有第一类间断点（跳跃或可去）， $f$ 就没有原函数；而某些具有第二类（振荡）间断点的函数反而可能有原函数。必须注意：在跳跃间断处函数跳过了一整段值，介值性被破坏，因此它不可能是任何函数的导数。

证明 / 推导

达布定理（导函数取中间值）的证明要点. 设

F

在

[a, b]

上可导，且

F^{'} (a) < c < F^{'} (b)

。令

g (x) = F (x) - c x

，则

g^{'} (a) < 0

、

g^{'} (b) > 0

。由

g^{'} (a) < 0

可知

g

从

a

向右仍在下降，因此最小值不在端点

a

处取到；同理也不在

b

处取到。而连续函数

g

必在

[a, b]

的某个内点

ξ

处取到最小值，由费马定理得

g^{'} (ξ) = 0

，即

F^{'} (ξ) = c

。这就证明了导函数能取到中间值

c

。推论. 若

f

有跳跃间断点，则它在断点两侧的取值之间留有空缺，介值性被破坏，因此

f

没有原函数。

■

举例说明

试问：符号函数

f (x) = sgn x

（

x > 0

时取

1

，

x < 0

时取

- 1

，

x = 0

时取

0

）在

[- 1, 1]

上是否有原函数？
答：没有。 如果存在

F

使

F^{'} = sgn x

，那么当

x > 0

时

F = x + a

、当

x < 0

时

F = - x + b

。要使

F

在

0

处可导，先须连续，由此得

a = b

，即

F = ∣ x ∣ + a

。但

∣ x ∣

在

x = 0

处不可导，与假设矛盾。其原因在于

sgn x

在

0

处从

- 1

跳到

1

，跳过了

(- 1, 1)

中的一切值，介值性因而被破坏。

3. 微分号 $d$ 与积分号 $\int$ 的抵消规则，是凑微分的基础★★ 必会

积分运算与微分运算互逆，但并不完全对称，两个记号相邻时的结果必须分清：

(\int f d x)^{'} = f, d (\int f d x) = f d x (先积后微，完全抵消);

\int d F = \int F^{'} d x = F + C (先微后积，多出一个 C) .

也就是说，

d

写在

\int

外面时可以完全抵消，而

\int

作用在

d

上时会多出一个任意常数

C

。理解了这一点，就能把

g^{'} (x) d x

看成

d g (x)

，这就是下一节凑微分（第一类换元法）所依据的原理。

证明 / 推导

两条规则的证明. 按定义，

\int f d x

表示

f

的全体原函数。设

F^{'} = f

，则

\int f d x = F + C

，其中

C

为任意常数。

先看先积后微。求导得

(\int f d x)^{'} = (F + C)^{'} = F^{'} = f

，两边乘以

d x

，即得

d (\int f d x) = f d x

。可见求导把任意常数消去了，因此两个记号完全抵消。

再看先微后积。由

d F = F^{'} d x

得

\int d F = \int F^{'} d x

。因为

F

是

F^{'}

的一个原函数，所以按定义

\int F^{'} d x = F + C

。这里的

C

不能省去。事实上

F

与

F + C

的微分相同，只知道

d F

无法定出常数项。因此积分只能把

F

还原到相差一个常数的程度。

凑微分法的一般定理. 设

\int f (u) d u = Φ (u) + C

，即

Φ^{'} = f

；又设

u = g (x)

可导。由复合函数求导法则，得

\frac{d}{d x} Φ (g (x)) = Φ^{'} (g (x)) g^{'} (x) = f (g (x)) g^{'} (x) .

这说明

Φ (g (x))

是

f (g (x)) g^{'} (x)

的一个原函数。由不定积分的定义，得

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = Φ (g (x)) + C = [\int f (u) d u]_{u = g (x)} .

这就证明了下述做法是正确的：把

g^{'} (x) d x

写成

d g (x)

，按新变量

u

积出，再把

u = g (x)

回代。使用时只要求

g

可导，且

f

在相应区间上有原函数。

■

举例说明

用凑成

d (某函数)

的方法计算

\int \frac{e ^{a r c t a n x}}{1 + x ^{2}} d x

。
注意到

\frac{d x}{1 + x ^{2}} = d (arctan x)

，于是可以把

arctan x

看作一个新的变量：

\int \frac{e ^{a r c t a n x}}{1 + x ^{2}} d x = \int e^{a r c t a n x} d (arctan x) = e^{a r c t a n x} + C .

求导即可验证：

(e^{a r c t a n x})^{'} = e^{a r c t a n x} \cdot \frac{1}{1 + x ^{2}}

，它就是被积函数。这就是先识别出

d

、再与

\int

相抵消的方法。

4. 认清没有初等原函数的常见被积函数，不必强求积出

求导运算对初等函数是封闭的，积分运算却不然：有不少形式十分简单的初等函数，它们的原函数不能用初等函数表示（这一点由刘维尔理论严格保证，了解即可）。因此应当能够一眼认出这些积不出来的被积函数，改用别的方法。试题几乎从不单独要求求出它们的不定积分，而总是把它们以变限积分的形式放在极限题或变限求导题中。下面列出常见的一些（必须眼熟）：

\int e^{- x^{2}} d x, \int \frac{sin x}{x} d x, \int \frac{cos x}{x} d x, \int \frac{e ^{x}}{x} d x, \int \frac{d x}{ln x}, \int sin x^{2} d x, \int 1 + x^{4} d x .

它们并非难以计算，而是在初等函数的范围内根本不存在相应的原函数。

举例说明

如果极限题中出现积不出来的变限积分，那么不必去求它，可以利用变限积分求导与洛必达法则绕过。例如

x \to 0 lim \frac{1}{x} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t \frac{0}{0} x \to 0 lim \frac{e ^{- x^{2}}}{1} = 1.

这里

\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

没有初等表达式，但题目并不需要它的显式表达。认出它积不出来，正确的解法也就清楚了。

💡 小知识

牛顿与莱布尼茨几乎同时各自独立创立了微积分，却为谁先发明争执了一生。今天通用的积分号

\int

和微分号

d x

全部沿用莱布尼茨的写法，牛顿的流数一词则早已弃用。可见一套好的符号本身就是能够流传下来的思想。

基础例题

从最基础开始，循序渐进；先独立尝试，再展开完整解答。

例 1 已知

F (x) = x^{2} e^{x}

是

f (x)

的一个原函数，求

f (x)

，并写出

\int f^{'} (x) d x

。难度 1

「

F (x) = x^{2} e^{x}

是

f (x)

的原函数」的意思就是

F^{'} (x) = f (x)

。所以直接求导：

f (x) = (x^{2} e^{x})^{'} = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = (x^{2} + 2 x) e^{x} .

再看

\int f^{'} (x) d x

。由「先求导、再积分只能还原到差一个常数」这条性质：

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C = (x^{2} + 2 x) e^{x} + C .

方法总结：牢牢抓住原函数定义

F^{'} = f

与两条互逆性质——

\int f^{'} (x) d x = f (x) + C

、

(\int f d x)^{'} = f (x)

，这类概念题即可一步写出。

例 2 求不定积分

\int \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} d x

。难度 1

被积函数不在基本积分表里，先展开、降幂化成幂函数之和：

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x} .

再逐项套基本积分表：

\int \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} - 2 x + ln ∣ x ∣ + C .

注意

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

，绝对值不能丢。求导检验：

(\frac{x ^{2}}{2} - 2 x + ln ∣ x ∣)^{'} = x - 2 + \frac{1}{x} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x}

，正确。

例 3 求不定积分

\int tan^{2} x d x

。难度 1

表里没有

tan^{2} x

的积分，先用三角恒等式把它化到表内。由

sec^{2} x = 1 + tan^{2} x

得

tan^{2} x = sec^{2} x - 1.

于是

\int tan^{2} x d x = \int (sec^{2} x - 1) d x = tan x - x + C .

方法总结：三角被积函数「表里没有」时，第一反应是用恒等式（

tan^{2} = sec^{2} - 1

、

sin^{2} = \frac{1 - c o s 2 x}{2}

等）化成表内形式再积。

例 4 求不定积分

\int \frac{d x}{1 + cos 2 x}

。难度 2

关键是用倍角公式把分母化简。由

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

得

1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x .

于是被积函数变成表内形式：

\int \frac{d x}{1 + cos 2 x} = \int \frac{d x}{2 cos ^{2} x} = \frac{1}{2} \int sec^{2} x d x = \frac{1}{2} tan x + C .

方法总结：含

1 \pm cos 2 x

、

1 \pm sin 2 x

的积分，优先用倍角/半角公式「降次」或「化平方」，往往一步就落到

sec^{2} x

、

csc^{2} x

这类表内函数。

真题精选

近年原题，先做做看、自动判分，再对照答案、思路与完整解答。

2023 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 5 分

函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 + x ^{2}}, (x + 1) cos x, x ⩽ 0, x > 0

的一个原函数为（　　）

A $F (x) = {ln (1 + x^{2} - x), (x + 1) cos x - sin x, x ⩽ 0, x > 0$
B $F (x) = {ln (1 + x^{2} - x) + 1, (x + 1) cos x - sin x, x ⩽ 0, x > 0$
C $F (x) = {ln (1 + x^{2} + x), (x + 1) sin x + cos x, x ⩽ 0, x > 0$
D $F (x) = {ln (1 + x^{2} + x) + 1, (x + 1) sin x + cos x, x ⩽ 0, x > 0$

2018 年 · 数二 · 第 15 题 · 解答题 · 10 分

求不定积分

\int e^{2 x} arctan e^{x} - 1 d x

。

2016 年 · 数二 · 第 2 题 · 选择题 · 4 分

已知函数

f (x) = {2 (x - 1), ln x, x < 1, x \geq 1,

则

f (x)

的一个原函数是（　　）

A $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x - 1), x < 1, x \geq 1.$
B $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x + 1) - 1, x < 1, x \geq 1.$
C $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x + 1) + 1, x < 1, x \geq 1.$
D $F (x) = {(x - 1)^{2}, x (ln x - 1) + 1, x < 1, x \geq 1.$

2014 年 · 数二 · 第 10 题 · 填空题 · 4 分

设

f (x)

是周期为

4

的可导奇函数，且

f^{'} (x) = 2 (x - 1), x \in [0, 2]

，则

f (7) =

___。

随堂练习

先用基础题热身，再按年份从新到旧挑战本知识点的其余真题。

练习 1 · 填空题

\int (sec^{2} x - \frac{1}{x}) d x =

______

练习 2 · 选择题

\int 3^{x} d x =

（　　）

A $3^{x} + C$
B $\frac{3 ^{x}}{ln 3} + C$
C $3^{x} ln 3 + C$
D $\frac{3 ^{x + 1}}{x + 1} + C$

练习 3 · 选择题

若

\int f (x) d x = x^{2} + C

，则

f (x) =

（　　）

A $x^{2}$
B $\frac{x ^{3}}{3}$
C $2 x$
D $2 x + C$

练习 4 · 填空题

\int \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1} d x =

______

练习 5 · 选择题

\int \frac{cos 2 x}{cos x - sin x} d x =

（　　）

A $sin x - cos x + C$
B $sin x + cos x + C$
C $- sin x - cos x + C$
D $cos x - sin x + C$

练习 6 · 选择题

设

f (x) = {e^{x}, 1 + x^{2}, x < 0, x \geq 0,

则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上满足

F (0) = 0

的原函数

F (x) =

（　）。

A $⎩ ⎨ ⎧ e^{x}, x + \frac{x ^{3}}{3}, x < 0, x \geq 0$
B $⎩ ⎨ ⎧ e^{x} - 1, x + \frac{x ^{3}}{3}, x < 0, x \geq 0$
C $⎩ ⎨ ⎧ e^{x} + 1, x + \frac{x ^{3}}{3}, x < 0, x \geq 0$
D $⎩ ⎨ ⎧ e^{x} - 1, x + \frac{x ^{3}}{3} + 1, x < 0, x \geq 0$

练习 7 · 填空题

\int \frac{1 + ln x}{( x ln x ) ^{2}} d x =

______（

x > 1

）

练习 8 · 解答题

求下列不定积分：

(1)

\int \frac{x + 2}{x ^{2} ( x + 1 )} d x

；

(2)

\int arctan x d x

。

2005 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 4 分

设

F (x)

是连续函数

f (x)

的一个原函数，「

M \Leftrightarrow N

」表示「

M

的充分必要条件是

N

」，则必有（　　）

A $F (x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f (x)$ 是奇函数。
B $F (x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f (x)$ 是偶函数。
C $F (x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f (x)$ 是周期函数。
D $F (x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f (x)$ 是单调函数。

1999 年 · 数二 · 第 8 题 · 选择题 · 3 分

设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则（　　）

A当 $f (x)$ 是奇函数时， $F (x)$ 必是偶函数。
B当 $f (x)$ 是偶函数时， $F (x)$ 必是奇函数。
C当 $f (x)$ 是周期函数时， $F (x)$ 必是周期函数。
D当 $f (x)$ 是单调函数时， $F (x)$ 必是单调函数。

不定积分的概念与性质

考频价值

前置诊断

要点精讲

1. 原函数只差一个常数，其前提是函数定义在一个区间上★ 要懂

2. 判断原函数是否存在：含第一类间断点的函数一定没有原函数★★ 必会

3. 微分号 d 与积分号 ∫ 的抵消规则，是凑微分的基础★★ 必会

4. 认清没有初等原函数的常见被积函数，不必强求积出

基础例题

真题精选

随堂练习

3. 微分号 $d$ 与积分号 $\int$ 的抵消规则，是凑微分的基础★★ 必会